中学受験算数「比の利用」の解き方！例題とコツを解説

中学受験算数「比の利用」で最初に覚えたい基本

この記事では、中学受験算数の「比の利用」について、基本的な考え方から線分図の使い方、入試でよく出る応用問題、家庭での効果的な練習方法まで解説します。

中学受験算数の比は、割合・速さ・図形など、さまざまな単元で使われる重要な考え方です。

比の計算ができても、文章題で使えない子は少なくありません。

その場合は、公式を増やす前に、比が何を表しているのか確認しましょう。

比は2つの数量の関係を表す

例えば、赤い玉と青い玉の個数の比が3：2だとします。

これは、赤い玉が3個、青い玉が2個という意味だけではありません。

赤い玉が6個なら青い玉は4個、赤い玉が12個なら青い玉は8個です。

どの場合も、赤と青の個数の関係は3：2になっています。

比は、実際の個数ではなく、2つの数量の関係を表しています。

この違いを理解することが、比の利用の第一歩です。

比の1あたりの量を求める

比の問題では、比の1あたりが実際にはいくつなのかを考えます。

例えば、AとBの比が3：5で、合計が64だとします。

比の合計は、

3＋5＝8

です。

実際の合計が64なので、比の1あたりは、

64÷8＝8

となります。

したがって、

A＝8×3＝24

B＝8×5＝40

です。

このように、比の1あたりの量を求めると、複雑に見える問題も整理できます。

比をそろえると複雑な条件を整理できる

比の利用では、複数の比が与えられることがあります。

例えば、

A：B＝2：3

B：C＝4：5

という条件です。

このままでは、2つの比でBの大きさが異なります。

そこで、Bを同じ数にそろえます。

3と4の最小公倍数は12です。

A：B＝8：12

B：C＝12：15

となるため、

A：B：C＝8：12：15

と表せます。

複数の比を利用するときは、共通する数量の比をそろえることが重要です。

比の利用の基本問題を例題で解説

比の基本を理解したら、合計や差から数量を求める問題へ進みましょう。

この段階では、比の1あたりを正確に求めることが大切です。

合計から求める比例配分

例題1：180個のお菓子をAさんとBさんで4：5に分けます。それぞれ何個になりますか。

まず、比の合計を求めます。

4＋5＝9

お菓子180個を9等分すると、

180÷9＝20

です。

したがって、

Aさん＝20×4＝80個

Bさん＝20×5＝100個

となります。

このように、全体を比に応じて分けることを比例配分といいます。

答えを求めたら、80＋100＝180となることも確認しましょう。

差から2つの数を求める

例題2：AとBの比は7：4で、AはBより45大きいとき、それぞれの数を求めなさい。

比の差は、

7－4＝3

です。

実際の差が45なので、

45÷3＝15

となります。

比の1あたりが15だと分かりました。

したがって、

A＝15×7＝105

B＝15×4＝60

です。

和が与えられた問題では比の合計、差が与えられた問題では比の差に注目しましょう。

線分図で数量の関係を整理する

比の文章題では、線分図を利用すると関係を理解しやすくなります。

例えば、AとBの比が5：3なら、Aを同じ長さの5つ分、Bを3つ分の線で表します。

AとBの差は2つ分です。

この差が24なら、

24÷2＝12

となり、1つ分が12だと分かります。

Aは60、Bは36です。

線分図は、実際の長さを正確に描くことより、数量の関係を整理することが目的です。

比が変化する問題を解く

例題3：兄と弟の所持金の比は5：3で、合計は4000円です。兄が弟に500円渡した後の比を求めなさい。

最初の比の合計は8です。

4000÷8＝500

となるため、

兄＝2500円

弟＝1500円

です。

兄が弟に500円渡すと、

兄＝2000円

弟＝2000円

となります。

したがって、渡した後の比は1：1です。

この問題では、最初の比と移動後の比を混同しないことが重要です。

お金を渡しても、2人の所持金の合計は変わりません。

中学受験で差がつく比の利用の応用問題

中学受験では、比を単独で使う問題だけでなく、割合・速さ・図形などと組み合わせた問題も出題されます。

基本的な考え方を応用できるようにしましょう。

割合と比を組み合わせる問題

例題4：AはBの75％です。AとBの比を求めなさい。

75％は、

75÷100＝0.75

です。

したがって、

A：B＝75：100

となります。

両方を25で割ると、

A：B＝3：4

です。

割合と比を組み合わせた問題では、何を100％とするか確認しましょう。

この問題では、Bが100％です。

速さと時間の逆比を利用する問題

例題5：同じ道のりを進むAさんとBさんの速さの比は3：2です。かかる時間の比を求めなさい。

同じ道のりを進む場合、速さが大きいほど時間は短くなります。

そのため、速さと時間は反比例の関係です。

速さの比が3：2なら、時間の比は、

1/3：1/2

となります。

両方を6倍すると、

2：3

です。

したがって、AさんとBさんにかかる時間の比は2：3になります。

ただし、逆比を利用できるのは、進む道のりが同じ場合です。

条件を確認せず、機械的に比を逆にしないようにしましょう。

相似な図形の面積比を求める

例題6：相似な2つの三角形の対応する辺の長さの比は2：3です。面積比を求めなさい。

相似な図形では、対応する辺の比を2乗した比が面積比になります。

したがって、

2×2：3×3

となり、

4：9

です。

答えは4：9になります。

図形問題では、辺の長さの比と面積比を混同しないことが大切です。

相似な立体の場合は、体積比が対応する辺の比の3乗になることも覚えておきましょう。

複数の比をそろえる連比の問題

例題7：A：B＝3：4、B：C＝2：5で、A・B・Cの合計が340のとき、それぞれの数を求めなさい。

まず、Bをそろえます。

A：B＝3：4

B：C＝4：10

となるため、

A：B：C＝3：4：10

です。

比の合計は、

3＋4＋10＝17

となります。

340÷17＝20

なので、

A＝20×3＝60

B＝20×4＝80

C＝20×10＝200

です。

合計すると340となり、両方の比の条件にも一致します。

比の利用が苦手な子への家庭での教え方

比の利用が苦手な子は、計算方法を覚えていても、何を比で表しているのか理解できていない場合があります。

家庭では、具体的な数字から始め、少しずつ文章題へ進むことが大切です。

具体的な数字から比の意味を理解する

最初は、身近なものを使って比の意味を確認しましょう。

例えば、赤い玉が6個、青い玉が4個なら、

6：4＝3：2

です。

赤い玉が12個、青い玉が8個でも、比は3：2になります。

実際の個数が変わっても、比が同じになることを理解させましょう。

この考え方が分かれば、比例配分などの基本問題へ進みやすくなります。

問題文の条件を線分図にする

文章題では、いきなり計算式を作るのではなく、線分図を使って整理する方法がおすすめです。

例えば、A：B＝4：3なら、Aを4つ分、Bを3つ分の線で表します。

合計が分かっている場合は7つ分、差が分かっている場合は1つ分に注目します。

問題文の条件が変わる場合は、変化する前と後の線分図を分けて描くと理解しやすくなります。

基本問題から応用問題へ段階的に進む

比の利用を学習するときは、最初から難しい応用問題へ進む必要はありません。

まず、比の合計から数量を求める問題を練習します。

次に、差から数量を求める問題へ進みましょう。

基本が安定したら、所持金の移動や割合、速さ、面積比などの応用問題に取り組みます。

段階的に学習することで、どの部分が理解できていないのか確認しやすくなります。

間違いの原因を整理して解き直す

比の問題で間違えた場合は、原因を確認しましょう。

比の合計と差を取り違えたのか、比をそろえる計算を間違えたのか、問題文の条件を読み違えたのかによって対策は異なります。

例えば、連比の問題で間違えた場合は、共通する数量の比をそろえられているか確認します。

解説を読んだあとは、翌日に数字を変えた類題へ取り組みましょう。

答えを覚えるのではなく、同じ考え方を利用できる状態を目指すことが重要です。

まとめ｜比の利用は「1あたり」と「比の統一」が重要

中学受験算数の比の利用では、2つの数量の関係を正しく理解することが大切です。

基本問題では、比の合計や差から、比の1あたりの量を求めます。

また、複数の比が登場する場合は、共通する数量の比をそろえて整理しましょう。

応用問題では、割合や速さ、図形など、ほかの単元と比を組み合わせる力も必要になります。

家庭では、具体的な数字や線分図を利用し、比が何を表しているのか説明できるようにしましょう。

そして、基本問題から応用問題へ段階的に進み、間違えた問題を繰り返し解き直すことが重要です。

比の利用は、公式を暗記するだけでなく、比の1あたりの量と数量の関係を理解することが、入試問題を解くための土台になります。