中学受験算数「レンズ形」の面積の求め方とコツ

中学受験算数のレンズ形とは？基本の考え方

この記事では、中学受験算数のレンズ形について、基本となる面積の考え方から典型問題、よくあるミス、家庭での教え方まで、図がなくても理解できるように順を追って解説します。

中学受験の平面図形では、2つの円や扇形が重なり、中央にレンズのような形ができる問題があります。

この形は一般に「レンズ形」と呼ばれます。

見た目が複雑なので難しく感じますが、考え方はそれほど多くありません。

基本は、扇形の面積から三角形の面積を引くことです。

レンズ形は2つの円が重なった部分

同じ大きさの円が2つ重なると、中央に左右対称のふくらんだ形ができます。

これがレンズ形です。

中学受験では、円そのものが2つ描かれる場合だけでなく、正方形の頂点を中心として円弧を描き、その重なりがレンズ形になる問題もあります。

まず、「この曲線はどの点を中心とする円の一部なのか」を確認しましょう。

円弧の中心が分かれば、半径と中心角も判断しやすくなります。

基本は「扇形－三角形」を2つ分

レンズ形の半分に注目すると、多くの場合、

扇形－三角形

で求められます。

例えば、半径6cm、中心角90度の扇形があり、その中に半径2本を結んでできる直角三角形があるとします。

扇形の面積は、

6×6×3.14×90/360
＝28.26㎠

です。

三角形の面積は、

6×6÷2
＝18㎠

です。

したがって、

28.26－18＝10.26㎠

が片側の弓形部分です。

同じものが2つなら、

10.26×2＝20.52㎠

となります。

これがレンズ形の基本構造です。

中心角と半径を最初に確認する

レンズ形では、計算を始める前に、

「半径はいくつか」
「中心角は何度か」

を確認します。

中心角が90度なら円の1/4、60度なら円の1/6、120度なら円の1/3です。

例えば半径8cm、中心角90度なら、扇形の面積は、

8×8×3.14÷4

です。

中心角を見ずに円全体の面積を計算すると、最初から大きくずれてしまいます。

レンズ形の面積を例題で解いてみよう

ここからは、中学受験でよく見かけるレンズ形の典型問題を確認します。

図形全体を一気に求めようとせず、扇形と三角形に分けて考えましょう。

90度の扇形が2つ重なる基本問題

例題1：半径10cm、中心角90度の同じ扇形2つでできるレンズ形の面積を求めます。円周率は3.14とします。

まず、扇形1つの面積は、

10×10×3.14÷4
＝78.5㎠

です。

扇形の中の直角三角形は、

10×10÷2
＝50㎠

です。

したがって、片側の弓形は、

78.5－50＝28.5㎠

です。

同じ部分が2つあるので、

28.5×2＝57㎠

となります。

答えは57㎠です。

正方形の中にできるレンズ形

中学入試では、正方形の向かい合う頂点や隣り合う頂点を中心に円弧を描く問題があります。

例えば、1辺6cmの正方形の2つの頂点を中心として半径6cmの1/4円を描き、その重なりがレンズ形になる場合を考えます。

1つの1/4円の面積は、

6×6×3.14÷4
＝28.26㎠

です。

そこから直角二等辺三角形、

6×6÷2＝18㎠

を引くと、

10.26㎠

です。

左右対称なら、

10.26×2＝20.52㎠

となります。

「正方形だから正方形の面積を使う」と決めつけず、レンズ形を作っている扇形に注目しましょう。

60度の扇形を使う問題

中心角が60度の場合は、扇形の面積だけでなく三角形の形にも注意が必要です。

半径6cm、中心角60度なら、2本の半径とその間の辺でできる三角形は正三角形になります。

扇形の面積は、

6×6×3.14×60/360
＝18.84㎠

です。

ただし、正三角形の面積を求めるには、高さが必要です。

中学受験では、問題中に高さが与えられたり、別の条件から求められたりする場合があります。

90度のときのように単純に、

半径×半径÷2

とはできないので注意しましょう。

レンズ形以外の部分を求める問題

「レンズ形の面積」ではなく、「正方形からレンズ形を除いた部分」を求める問題もあります。

例えば正方形の面積が64㎠、レンズ形が20.52㎠なら、

64－20.52＝43.48㎠

です。

このような問題では、最終的に何を求めるのかを確認しましょう。

レンズ形が途中計算にすぎないこともあります。

中学受験で間違えやすいレンズ形のポイント

レンズ形の失点は、難しい発想よりも、足し引きの整理不足から起こることが多いです。

よくある間違いを確認しておきましょう。

扇形の面積だけで終わらない

レンズ形は扇形そのものではありません。

例えば1/4円が2つ見えると、

「1/4円×2」

と計算したくなります。

しかし、レンズ形はそれぞれの扇形から三角形部分を除いた部分です。

基本形では、

（扇形－三角形）×2

と考えます。

問題を見たら、扇形の中に不要な三角形が含まれていないか確認しましょう。

三角形を引く回数に注意する

計算式を書くとき、

扇形×2－三角形

としてしまうミスがあります。

同じ弓形が2つなら、

（扇形－三角形）×2

です。

つまり三角形も2つ分引く必要があります。

展開すれば、

扇形×2－三角形×2

となります。

図の中で同じ形が何個あるのかを数えてから式を作りましょう。

半径と直径を取り違えない

円の問題では、直径12cmを半径12cmとして計算するミスも起こります。

直径12cmなら、

半径＝12÷2＝6cm

です。

円の面積は、

半径×半径×3.14

なので、

6×6×3.14

とします。

レンズ形では円弧が複数あるため、どの長さがどの円の半径なのか、図に直接書き込むと安全です。

円周率は問題の指示に合わせる

中学受験では、円周率を3.14として計算する問題もあれば、「円周率は3.14とする」と明記される場合があります。

問題文の指示を確認しましょう。

また、途中で3.14を含む項をまとめられる場合は、最後まで3.14を残して計算すると楽になることがあります。

例えば、

36×3.14÷4×2

なら、

36÷2×3.14
＝18×3.14

と整理できます。

レンズ形が苦手な子への家庭での教え方

レンズ形を苦手にする子に公式だけを教えると、図が少し変わっただけで対応できなくなります。

家庭では、「どの形に分けられるか」を考える練習を優先しましょう。

レンズ全体を一度に見ない

レンズ形を見ると、左右が曲線で囲まれているため、特殊な形に見えます。

そこでまず、真ん中で2つに分けます。

「この半分は何の形から何を引いたもの？」

と聞いてみましょう。

多くの基本問題では、

「扇形から三角形を引いたもの」

と気づけます。

複雑な図形ほど、小さい知っている形へ分けることが大切です。

「扇形」と「三角形」を色分けして考える

家庭学習では、実際の教材のコピーや手書きの図で、

扇形＝青
三角形＝赤

のように色分けすると分かりやすくなります。

そのうえで、

「青全体から赤を引くと何が残る？」

と確認します。

図形が苦手な子は、式より先に視覚的な関係を理解すると計算へ進みやすくなります。

公式より図を分解する習慣をつける

「レンズ形＝この公式」と覚える必要はありません。

中学受験では、円弧の向きや中心角が変わることがあります。

大切なのは、

扇形
三角形
正方形
長方形

など、すでに面積を求められる図形へ分解する力です。

例えば、「レンズ形を求めなさい」と言われたら、

1. 円弧の中心を確認
2. 半径を確認
3. 中心角を確認
4. 扇形を求める
5. 不要な三角形を引く

という流れを習慣にしましょう。

基本→複合図形の順に練習する

最初から難しい入試問題へ進む必要はありません。

学習順としては、

1. 円・扇形の面積
2. 90度の扇形と三角形
3. レンズ形の基本
4. 正方形と組み合わせた問題
5. 複数の円弧を含む複合問題

がおすすめです。

基本問題で間違える場合は、レンズ形ではなく扇形の理解まで戻ります。

翌日には同じ問題をもう一度解き、さらに数字を変えた類題でも解けるか確認しましょう。

まとめ｜レンズ形は扇形と三角形に分ければ解ける

中学受験算数のレンズ形は、2つの円や扇形が重なってできる図形です。

見た目は複雑ですが、基本的な問題では、

扇形－三角形

で片側を求め、それを2つ分考えれば面積を出せます。

特に90度の扇形では、三角形が直角二等辺三角形になることが多く、

半径×半径÷2

で面積を求められます。

ただし、中心角が60度や120度などに変わる場合は、三角形の形も変わるので注意しましょう。

家庭では公式を丸暗記させるのではなく、「このレンズ形は何と何に分けられる？」と問いかけることが効果的です。

レンズ形を得意にするコツは、特殊な図形として覚えることではなく、扇形と三角形という知っている形に分解して考えることです。