中学受験算数の樹形図｜書き方と場合の数の解き方

中学受験算数の樹形図とは？

この記事では、中学受験算数の樹形図について、基本的な書き方から、カード・並べ方・組み合わせの問題への使い方、数え漏れを防ぐコツまで順を追って解説します。

樹形図は、場合の数を整理するときに使う代表的な方法です。

枝が分かれていく木のような形になるため、「樹形図」と呼ばれます。

中学受験では、

並べ方
組み合わせ
カード
サイコロ
コイン
道順

など、場合の数の問題でよく使われます。

樹形図は場合の数を整理する道具

例えば、

赤・青の2種類のシャツ
白・黒の2種類のズボン

から1つずつ選ぶとします。

樹形図では、

赤
├ 白
└ 黒

青
├ 白
└ 黒

というように書けます。

できる組み合わせは、

赤・白
赤・黒
青・白
青・黒

の4通りです。

頭の中だけで考えるより、全部の場合を見える形にできます。

枝分かれで「選び方」を見える化する

樹形図では、1回目の選択から2回目、3回目へ枝を伸ばします。

例えば、A・B・Cの3人から順番に2人を選ぶとします。

最初にAを選んだら、

A→B
A→C

です。

最初にBなら、

B→A
B→C

最初にCなら、

C→A
C→B

となります。

全部で6通りです。

「最初に何を選んだか」を固定して考えるのがポイントです。

樹形図が向いている問題と向かない問題

樹形図は、選択肢が少ないときに便利です。

例えば、

3枚のカードから2枚選ぶ
コインを2回投げる
3色から2色選ぶ

などです。

一方、選択肢が多すぎると枝が増えすぎます。

例えば8人を並べる問題で、全部の樹形図を書くのは大変です。

この場合は、

8×7×6×……

のように掛け算で数えるほうが効率的です。

樹形図は「全部を書き出して整理できる範囲」で使うのが基本です。

樹形図の基本的な書き方を例題で解説

樹形図は、ルールを決めて書けば数え漏れを防げます。

2つの選択肢を順番に書く

例題1：赤・青・黄の3色の帽子と、白・黒の2色の靴があります。帽子と靴を1つずつ選ぶ方法は何通りありますか。

まず帽子を選びます。

赤
├ 白
└ 黒

青
├ 白
└ 黒

黄
├ 白
└ 黒

となります。

赤から2通り
青から2通り
黄から2通り

なので、

2＋2＋2＝6通り

です。

掛け算なら、

3×2＝6通り

とも求められます。

同じものを使えない場合の書き方

例題2：1・2・3・4のカードから異なる2枚を使って2桁の整数を作ります。何個できますか。

十の位が1なら、

12、13、14

の3個です。

十の位が2なら、

21、23、24

の3個。

同様に3、4でも3個ずつです。

樹形図で書くと、

1→2、3、4
2→1、3、4
3→1、2、4
4→1、2、3

です。

したがって、

3×4＝12個

です。

ここで大切なのは、同じカードを2回使わないことです。

11、22などを入れないよう注意します。

条件付きの並べ方を樹形図で整理する

例題3：1・2・3のカードから異なる2枚を使って2桁の偶数を作ります。何個できますか。

偶数なので、一の位は2でなければなりません。

十の位には1か3が使えます。

したがって、

12
32

の2個です。

何も考えず全部を書き出すより、先に条件を使うと枝を減らせます。

樹形図では、

一の位2
├ 十の位1
└ 十の位3

と考えてもよいでしょう。

最後に枝の本数を数える

樹形図では、最後まで到達した枝1本が1通りです。

途中の枝を数えてはいけません。

例えばコインを2回投げるなら、

表
├ 表
└ 裏

裏
├ 表
└ 裏

となり、

表表
表裏
裏表
裏裏

の4通りです。

最後の枝が4本あるので4通りです。

中学受験でよく出る樹形図の問題

中学受験では、単純な組み合わせだけでなく、条件付きの問題へ発展します。

カードで2桁・3桁の数を作る問題

例題4：0・1・2・3のカードから異なる3枚を使って3桁の整数を作ります。何個できますか。

百の位に0は使えません。

百の位は、

1、2、3

の3通りです。

例えば百の位を1にすると、十の位は残り3枚から選べます。

十の位が0なら、一の位は2か3。

十の位が2なら、一の位は0か3。

十の位が3なら、一の位は0か2。

したがって、百の位1からは、

3×2＝6通り

です。

百の位2、3でも同じく6通りなので、

6×3＝18通り

です。

0がある問題では、「一番上の位に0は使えない」という条件に注意します。

コインやサイコロの結果を数える問題

コインを3回投げるときは、毎回、

表
裏

の2通りがあります。

したがって樹形図では、

1回目2本
2回目で各2本
3回目でさらに各2本

となります。

全部で、

2×2×2＝8通り

です。

樹形図を書いていると、同じ数の枝が繰り返されていることに気づきます。

ここから掛け算へつなげられます。

色や服の組み合わせを求める問題

例えば、

シャツ3種類
ズボン4種類
帽子2種類

から1つずつ選ぶなら、

3×4×2＝24通り

です。

最初は樹形図で、

シャツ1枚につきズボン4本
さらに各組み合わせに帽子2個

と確認します。

一度意味を理解すれば、毎回24本の枝を書かなくても掛け算で求められます。

樹形図から掛け算へ発展させる

樹形図の目的は、ずっと全部を書き続けることではありません。

例えば、

4種類から1つ選び、その後3種類から1つ選ぶ

なら、樹形図では最初の4本それぞれから3本ずつ枝が出ます。

つまり、

4×3＝12通り

です。

樹形図を使うことで、「なぜ掛け算になるのか」を視覚的に理解できます。

場合の数が得意になってきたら、規則性を見つけて計算へ移行しましょう。

樹形図が苦手な子への家庭での教え方

樹形図は、書き方が乱れると数え漏れや重複が起きます。

家庭では、きれいさより規則性を意識させましょう。

最初は少ない選択肢で練習する

いきなり4回、5回と選ぶ問題ではなく、

コイン2回
カード3枚から2枚
服2種類ずつ

などから始めます。

例えばA・B・Cから異なる2人を選んで順番に並べるなら、

A→B、C
B→A、C
C→A、B

の6通りです。

小さい問題なら、抜けがあっても自分で気づきやすくなります。

上から順に同じルールで枝を出す

樹形図でありがちなミスが、途中から順番を変えることです。

例えば最初に、

1→2、3、4

と書いたなら、次も、

2→1、3、4

と同じ順序で書きます。

毎回、

小さい数字から
五十音順
左から順

などのルールを決めると、漏れを防ぎやすくなります。

数え漏れと重複をチェックする

樹形図を書き終わったら、

同じ組み合わせが2回ないか
条件違反がないか
枝の本数がそろっているか

を確認します。

例えば1・2・3・4から異なる2枚なら、最初の数字ごとに3本ずつ枝があるはずです。

1だけ3本、2だけ2本なら、どこか抜けています。

このように「枝の数の規則性」で確認できます。

慣れたら表や掛け算と使い分ける

樹形図だけが場合の数の解き方ではありません。

例えば2種類のものを組み合わせるだけなら表が見やすいこともあります。

また、

5種類から1つ
4種類から1つ
3種類から1つ

と選ぶなら、

5×4×3＝60通り

と掛け算したほうが速いでしょう。

最初は樹形図で意味を理解し、慣れたら、

樹形図
表
書き出し
掛け算

を問題に応じて選べるようにするのが理想です。

まとめ｜樹形図は「全部の場合」を整理するために使おう

中学受験算数の樹形図は、場合の数を漏れなく整理するための道具です。

基本は、

1回目の選択を書く
↓
そこから2回目の枝を出す
↓
必要なら3回目へ進む
↓
最後まで到達した枝を数える

という流れです。

特に、

カード
並べ方
コイン
サイコロ
服や色の組み合わせ

などで役立ちます。

ただし、樹形図が大きくなりすぎる問題では、すべてを書き出す必要はありません。

枝の規則性が見えたら、

3×2
4×3
2×2×2

のように掛け算へ切り替えます。

家庭では、最初は少ない選択肢から始め、「毎回同じ順番で枝を出す」ことを徹底すると数え漏れが減ります。

中学受験算数の樹形図で大切なのは、きれいな図を書くことではなく、あり得る場合を重複なく、漏れなく、決まった順番で整理することです。