中学受験算数の平方数｜覚え方と問題の解き方

中学受験算数の平方数とは？

この記事では、中学受験算数の平方数について、基本的な意味、覚えておきたい数、規則性・図形・約数問題での使い方、家庭での覚え方まで順を追って解説します。

平方数とは、同じ整数を2回かけてできる数です。

たとえば、

1×1＝1
2×2＝4
3×3＝9
4×4＝16
5×5＝25

なので、

1、4、9、16、25……

が平方数です。

中学受験では、単に「平方数を答える」だけでなく、規則性、図形、約数、整数問題などの中に自然に出てきます。

同じ整数を2回かけた数が平方数

平方数は、

1²＝1
2²＝4
3²＝9
4²＝16

のように表せます。

ただし、小学生の中学受験算数では「2乗」という言葉や記号を無理に使わなくても、

「同じ数を2回かける」

と理解できれば十分です。

たとえば36は、

6×6＝36

なので平方数です。

一方、30は同じ整数どうしの積では表せないため平方数ではありません。

1から20までの平方数を覚える

中学受験では、少なくとも1²から15²程度、余裕があれば20²まで覚えておくと便利です。

1²＝1
2²＝4
3²＝9
4²＝16
5²＝25
6²＝36
7²＝49
8²＝64
9²＝81
10²＝100
11²＝121
12²＝144
13²＝169
14²＝196
15²＝225
16²＝256
17²＝289
18²＝324
19²＝361
20²＝400

これらがすぐ出ると、規則性や整数問題でかなり有利になります。

特に、

121
144
169
196
225

あたりは、九九だけではすぐ思い出せないため意識して覚えておきたいところです。

平方数は正方形の面積と結びつけると分かりやすい

平方数は「正方形の数」と考えると理解しやすくなります。

1辺3cmの正方形なら、

3×3＝9㎠

です。

1辺5cmなら、

5×5＝25㎠

です。

つまり平方数は、整数を1辺とする正方形の面積になっています。

1、4、9、16、25……

という並びをただ暗記するより、

1×1
2×2
3×3
4×4

という正方形の広がりとして理解したほうが定着しやすくなります。

平方根とは分けて考える

「平方数」と「平方根」は似た言葉ですが、同じではありません。

36は6×6でできるので平方数です。

一方、

「2回かけて36になる数は何か」

と考えると6です。

このような考え方が、後に平方根へつながります。

ただし、中学受験算数では平方根の正式な計算を先取りする必要はありません。

まずは平方数を正確に見分け、利用できることを優先しましょう。

平方数が出る中学受験の典型問題

平方数は、独立した単元というより、さまざまな問題の中で登場します。

規則性で平方数を見抜く問題

たとえば、

1、4、9、16、25、□

と並んでいれば、

1×1
2×2
3×3
4×4
5×5

と続いているので、

6×6＝36

です。

したがって□は36です。

規則性では、差だけを見るのではなく、「何かの平方になっていないか」と気づくことが重要です。

タイルや点の並びから平方数を考える問題

正方形状にタイルを並べる問題でも平方数が使われます。

1辺に4枚ずつタイルを並べるなら、

4×4＝16枚

です。

1辺10枚なら、

10×10＝100枚

です。

また、1辺n個の点を正方形状に並べると、点の総数は、

n×n

になります。

図形問題で「縦と横が同じ数」という条件が出たら、平方数を疑いましょう。

約数の個数と平方数の関係

平方数には、約数の個数で特徴があります。

たとえば36の約数を、

1×36
2×18
3×12
4×9
6×6

と組にして考えます。

普通は2個ずつペアになりますが、

6×6

だけは同じ数どうしです。

そのため平方数は、約数の個数が奇数個になるという特徴があります。

たとえば36の約数は、

1、2、3、4、6、9、12、18、36

の9個です。

整数問題で「約数の個数が奇数」と出たら平方数が関係している可能性があります。

平方数にするために掛ける数を求める問題

例題：12に最小の整数を掛けて平方数にしなさい。

12を素因数に分けると、

12＝2×2×3

です。

2は2個ありますが、3は1個だけです。

同じ数が2個ずつそろえば平方数になります。

そこで3をもう1個掛けます。

12×3＝36

36＝6×6

なので、答えは3です。

このタイプでは「素因数を2個ずつそろえる」と考えます。

平方数を速く見つけるための考え方

平方数を全部暗記するだけでなく、規則を知っておくと忘れたときにも復元できます。

隣り合う平方数の差は奇数になる

平方数を並べると、

1、4、9、16、25、36……

です。

差を見ると、

4－1＝3
9－4＝5
16－9＝7
25－16＝9
36－25＝11

となり、

3、5、7、9、11……

と奇数が並びます。

つまり、平方数は次の奇数を足すことで作れます。

たとえば15²＝225を知っていれば、

16²＝225＋31＝256

です。

なぜ31かというと、15²と16²の差が、

15＋16＝31

だからです。

末尾から平方数でない数を絞り込む

整数の平方数の一の位は、

0、1、4、5、6、9

のいずれかです。

つまり、

2、3、7、8

で終わる整数は平方数ではありません。

たとえば、

123
278
347

は、一の位を見るだけで平方数ではないと判断できます。

ただし、一の位が1だから必ず平方数というわけではありません。

121は平方数ですが、141は平方数ではありません。

末尾の特徴は、「候補を減らす方法」として使いましょう。

素因数をペアにして平方数を作る

平方数は、素因数がすべて2個ずつの組になります。

たとえば、

144＝2×2×2×2×3×3

です。

2が4個、3が2個あり、どちらも2個ずつペアにできます。

だから144は平方数です。

一方、

72＝2×2×2×3×3

では2が3個あり、1個余ります。

したがって72は平方数ではありません。

整数問題ではこの見方が非常に役立ちます。

大きな平方数は基準となる数から計算する

たとえば19²を忘れた場合、

20²＝400

を使えば、

19²
＝（20－1）×（20－1）

と考えられます。

小学生なら展開公式を使わなくても、

20×19＝380
そこから19を引く

と考えて、

361

と求められます。

また、

18²＝324

を知っていれば、

19²＝324＋37＝361

でも求められます。

暗記と計算を組み合わせると安心です。

平方数が苦手な子への家庭での教え方

平方数が苦手な子に、いきなり1²～20²を丸暗記させると負担になりやすくなります。

意味と規則を組み合わせて覚えましょう。

まず1²から15²程度まで声に出して確認する

最初は、

1、4、9、16、25……

と数字だけ読むのではなく、

1×1＝1
2×2＝4
3×3＝9

と声に出します。

1日3分程度でも構いません。

特に11²以降は、

11×11＝121
12×12＝144
13×13＝169
14×14＝196
15×15＝225

まで繰り返すと入試で使いやすくなります。

九九と正方形の図を結びつける

例えば7²＝49なら、

7×7＝49

という九九と、

縦7・横7の正方形

を結びつけます。

「平方数」という難しい名前だけで覚えるより、「正方形の面積」と結びつけたほうがイメージしやすくなります。

暗記だけでなく規則性を使って思い出す

14²＝196を忘れたとしても、

13²＝169

を知っていれば、

169＋27＝196

と復元できます。

平方数の差が、

3、5、7、9……

と奇数になることを知っておけば、暗記が抜けても対応できます。

「覚えていない＝解けない」にしないことが大切です。

平方数を使う問題を少量ずつ混ぜる

平方数だけを50問暗記するより、

平方数の判定
規則性
タイル
約数
平方数にする整数

などを少量ずつ混ぜます。

例えば1日5問なら、

暗記確認2問
規則性1問
約数1問
平方数にする問題1問

で十分です。

「どこで平方数を使うのか」を理解できると、実戦で思い出しやすくなります。

まとめ｜平方数は暗記と意味理解の両方が大切

中学受験算数の平方数とは、

1×1＝1
2×2＝4
3×3＝9

のように、同じ整数を2回かけてできる数です。

まず、

1、4、9、16、25、36、49、64、81、100……

と、少なくとも15²程度までをすぐ言える状態にしておくと便利です。

しかし、暗記だけでは十分ではありません。

平方数は、

正方形の面積
規則性
約数の個数
素因数分解
整数問題

などに使われます。

さらに、

隣り合う平方数の差は奇数
平方数の約数は奇数個
素因数は2個ずつペアになる

という特徴を知っておくと、応用問題にも対応できます。

家庭では、

意味を理解する
↓
1²～15²程度を覚える
↓
規則性で復元する
↓
実際の問題で使う

という順番がおすすめです。

中学受験算数の平方数は、ただ数字の並びを暗記する単元ではありません。「正方形」「規則性」「整数」の3つをつなげて理解すると、入試問題で使える知識になります。