中学受験の立体図形切断｜断面の見つけ方を解説

中学受験の立体図形切断が難しい理由

この記事では、中学受験で頻出の立体図形切断について、基本ルール・断面の見つけ方・家庭での教え方まで順番に解説します。

立体図形の切断は、中学受験算数の中でも苦手になりやすい単元です。

計算問題のように公式へ当てはめるだけではなく、

どの面を通るか
切断線がどこへ続くか
断面が何角形になるか

を頭の中で想像する必要があるからです。

見えない面まで想像する必要がある

紙に描かれた立方体では、通常3つの面しか見えていません。

しかし実際には、

上
下
前
後
左
右

の6面があります。

例えば切断線が手前の面から横の面へ進んだあと、さらに奥の面へ続くことがあります。

見えている部分だけで考えると途中で線が止まってしまいます。

立体切断が苦手な子は、まず「見えない面も存在している」と意識することが第一歩です。

3点をただ結ぶだけでは解けない

よくある間違いが、

「3点を通る平面だから、3点を全部直線で結べばよい」

と考えることです。

しかし、立方体の違う面にある2点は、立方体の表面上で直接結べない場合があります。

大切なのは、

同じ1つの面にある2点を結ぶ

ことです。

最初からすべての点を結ぶのではなく、「この2点は同じ面にあるか？」を確認します。

平面図形の知識も同時に使う

立体切断は立体だけの問題ではありません。

断面ができたあとには、

三角形
四角形
平行線
相似
面積比

などの平面図形の知識を使うことがあります。

例えば、切断面にできた2本の辺が平行と分かれば、相似を使って長さを求められることがあります。

そのため、立体切断が苦手な場合、実は平面図形や比の理解に原因があることもあります。

立体図形切断の基本ルールを理解しよう

立体図形切断では、いきなり難しい補助線を覚える必要はありません。

まず4つの基本ルールを押さえます。

同じ面にある2点は直線で結ぶ

最も大切なルールです。

例えば立方体の上面に点PとQがあるなら、

PとQを直線で結ぶ

ことができます。

切断面は平らな面なので、同じ面にある2つの切断点の間は直線になります。

問題を見たら最初に、

「同じ面にある点はどれ？」

と探してください。

この1本目の線が引けるだけで、その後の切断線が見えやすくなります。

向かい合う面では切断線が平行になることがある

立方体や直方体では、向かい合う面どうしは平行です。

1枚の平面で切ると、平行な2つの面にできる切断線も平行になる場合があります。

例えば前面に切断線ができ、その切断面が奥の面まで到達するなら、奥の面にできる線は前面の切断線と平行になります。

この性質を使うと、見えない面の切断線を探しやすくなります。

ただし「何でも平行」と覚えるのではなく、

向かい合う平行な面を同じ平面で切っている

という条件を確認しましょう。

切断面は1枚の平面としてつながる

切断面は途中で途切れません。

例えば、

上面
右側面
前面

と切断線が続いているなら、次にどの面へ移るかを順番に追います。

切断線が1周して最初の点へ戻れば、断面が完成します。

つまり、

1本引く
次の面を探す
また1本引く

という作業を繰り返します。

最初から完成形を想像できなくても問題ありません。

必要なら辺を延長して交点を探す

難しい問題では、見えている面だけでは切断線を決められないことがあります。

その場合は、立方体の辺や切断線を外側へ延長して、交点を作ることがあります。

ただし、これは基本ルールを理解したあとの技術です。

最初から「とにかく延長線を引く」と覚えると混乱します。

まずは、

同じ面の点を結ぶ
平行を利用する
1枚の平面として追う

という順番を優先してください。

立方体の切断を例題で解いてみよう

立体切断は、実際の流れを確認すると理解しやすくなります。

例題1｜3つの辺上の点を通る切断

立方体の3本の辺上に、点P・Q・Rがあるとします。

まず、

PとQは同じ面にあるか
QとRは同じ面にあるか
RとPは同じ面にあるか

を確認します。

例えばPとQが上面、QとRが右側面にあるなら、

P－Q
Q－R

を結びます。

次にRから切断線がどの面へ続くかを探します。

このように、点を一気に結ぶのではなく、「同じ面ごと」に追うことが基本です。

例題2｜切断面が四角形になる場合

3点を通る平面で切る問題でも、断面が三角形になるとは限りません。

切断面が立方体の4つの辺と交われば、四角形になります。

さらに5本の辺と交われば五角形になることもあります。

つまり、

与えられた点が3個
＝断面が三角形

ではありません。

切断面が立体のどの辺を通るかを最後まで追って、頂点の数を数えましょう。

例題3｜切断後の体積を求める場合

中学受験では、断面を描いたあと、

切り取られた立体の体積

を求める問題もあります。

例えば一辺6cmの立方体から、3つの頂点を結ぶ平面で角を切り落とし、その部分が三角すいになったとします。

三角すいの体積は、

底面積×高さ÷3

です。

底面が直角三角形で、

底辺3cm
高さ4cm

なら、

底面積＝3×4÷2＝6㎠

立体の高さが2cmなら、

6×2÷3＝4㎤

です。

切断面を描けても、体積公式へつなげられなければ得点にはなりません。

断面の形だけで終わらず辺の長さまで考える

応用問題では、

断面の面積
辺の長さ
切断後の体積比

まで聞かれます。

例えば切断面に相似な三角形ができれば、

相似比2：3
→面積比4：9

のように比を使います。

立体切断は最終的に、

立体図形
平面図形
比

が組み合わさる単元です。

断面を書けるようになったら、次は長さ・面積・体積まで練習しましょう。

立体図形切断が苦手な子の家庭学習法

立体切断は、問題数を増やすだけでは伸びにくい分野です。

「どう見えるか」を少しずつ作ることが重要です。

小さい立方体模型で実際に切るイメージを持つ

最初は紙だけで考えなくても構いません。

消しゴム
立方体の箱
発泡スチロール

などを使って、

「この3点を通るように切ったら、断面はどうなる？」

と考えます。

実際に切らなくても、輪ゴムや糸で切断位置を囲むだけでも構いません。

目で見て、手で触る経験が、紙の見取り図につながります。

最初から補助線を教えすぎない

保護者が答えを知っていると、

「ここを延長して、この線と平行にして」

と全部教えたくなります。

しかし、それでは子どもが自分で切断面を追う力が育ちません。

最初は、

「同じ面にある2点はどれ？」
「次はどの面へ進む？」

と聞くだけにします。

1本目を自分で引けるようになることを優先しましょう。

断面を予想してから答えを確認する

答えを見る前に、

三角形
四角形
五角形

のどれになりそうか予想します。

間違っても問題ありません。

「三角形だと思ったけれど、奥の辺とも交わるから四角形だった」

という修正そのものが学習になります。

最初から正解を見るより、予想と結果を比べるほうが形を覚えやすくなります。

翌日に白紙から同じ図を書き直す

その日に理解しても、翌日に同じ図を書けなければまだ定着していません。

翌日は解説を見ず、

立方体を描く
与えられた点を書く
同じ面の2点を結ぶ
断面を完成させる

ところまでやります。

できなければ、前日の解説へ戻ります。

立体切断では、答えを覚えるより「線を引く順序」を再現できることが重要です。

まとめ｜立体図形切断は「同じ面をつなぐ」ことから始めよう

中学受験の立体図形切断は、難しく見えますが、基本は整理できます。

まず覚えたいのは、

同じ面にある2点を結ぶ
向かい合う面の平行関係を見る
切断面を1枚の平面として追う
必要なときだけ辺を延長する

という考え方です。

特に最初の段階では、

「3点を全部結ぶ」

のではなく、

「同じ1つの面にある点を探して1本ずつ線を引く」

ことが大切です。

そして断面を描けるようになったら、

辺の長さ
面積
体積
相似比

までつなげて学びます。

家庭では、立方体模型や身近な箱を使って立体の形を確認し、そのあと紙の見取り図へ戻りましょう。

立体切断はセンスだけで決まる単元ではありません。

同じ面を探す、線をつなぐ、次の面を確認するという手順を繰り返せば、少しずつ自力で断面を描けるようになります。