中学受験の立体図形・表面積｜解き方のコツ

中学受験の立体図形で表面積はどう考える？

この記事では、中学受験の立体図形で頻出する表面積について、基本の考え方から直方体・柱体・複合立体・切断後の問題まで、家庭で教えやすい形で解説します。

立体図形の表面積は、公式を丸暗記するより、

「外側に出ている面を全部足す」

と理解することが大切です。

この考え方ができれば、直方体だけでなく、複雑な立体にも対応しやすくなります。

表面積は「外から見える面」の合計

表面積とは、立体を外側から包んでいる面の面積の合計です。

例えば直方体なら、

上
下
前
後ろ
右
左

の6面があります。

それぞれの面積を求めて足します。

ここで大切なのは、「面が何枚あるか」を最初に確認することです。

体積との違いをはっきり分ける

体積と表面積は混同しやすい分野です。

体積は、

中にどれだけ入るか

を表し、単位は㎤です。

一方、表面積は、

外側がどれだけ広いか

を表し、単位は㎠です。

例えば一辺4cmの立方体なら、

体積＝4×4×4＝64㎤

表面積＝4×4×6＝96㎠

です。

計算方法も単位も違います。

展開図にすると面の数を確認しやすい

立体のままでは見えない面があります。

そんなときは、頭の中で展開図にしてみると分かりやすくなります。

直方体なら、

同じ大きさの面が2枚ずつ

あることに気づけます。

例えば、

たて6cm
横4cm
高さ5cm

の直方体では、

6×4の面が2枚
6×5の面が2枚
4×5の面が2枚

です。

単位は㎠になる

表面積は面積なので、単位は平方センチメートルです。

例えば答えが148なら、

148㎠

と書きます。

「cm」と書けば長さ、「㎤」なら体積になってしまいます。

単位まで確認する習慣をつけましょう。

立体図形の表面積を基本例題で解こう

基本形ごとに考え方を整理します。

直方体の表面積を求める

例題1：たて6cm、横4cm、高さ5cmの直方体の表面積を求めなさい。

面は3種類あります。

6×4＝24
6×5＝30
4×5＝20

それぞれ2枚ずつあるので、

24×2＋30×2＋20×2
＝48＋60＋40
＝148

したがって、

148㎠

です。

「3種類の面が2枚ずつ」と見るのがポイントです。

立方体の表面積を求める

例題2：一辺5cmの立方体の表面積を求めなさい。

1つの面は、

5×5＝25㎠

です。

同じ正方形が6面あるので、

25×6＝150㎠

となります。

立方体は全ての面が同じなので、表面積の基本を理解しやすい形です。

三角柱の表面積を求める

例題3：底面が底辺6cm、高さ4cmの直角三角形で、三角柱の長さが10cmです。三角形の3辺が6cm、4cm、約7.2cmだとします。

まず底面積は、

6×4÷2＝12㎠

底面は2枚あるので、

12×2＝24㎠

です。

側面は、

6×10
4×10
7.2×10

の3枚なので、

60＋40＋72＝172㎠

です。

したがって、

24＋172＝196㎠

です。

柱体では、

底面2枚＋側面

と考えると整理しやすくなります。

円柱の表面積を求める

例題4：半径3cm、高さ8cmの円柱の表面積を求めなさい。円周率は3.14とします。

上下面の円2枚は、

3×3×3.14×2
＝56.52㎠

側面は、円周×高さなので、

3×2×3.14×8
＝150.72㎠

よって、

56.52＋150.72
＝207.24㎠

です。

円柱では側面を開くと長方形になり、その横の長さが円周になることを理解しておくと解きやすくなります。

中学受験で差がつく表面積の応用問題

応用問題では、「見えている面がどう変わったか」を追います。

立体をくっつけたときは重なった面を引く

2つの立方体をぴったり1面でくっつけると、その接着面は外から見えなくなります。

例えば一辺3cmの立方体2個なら、別々の表面積は、

3×3×6×2
＝108㎠

です。

しかし、くっつけた面が2枚分隠れます。

1面は、

3×3＝9㎠

なので、

108－9×2
＝90㎠

です。

「くっつけると2面消える」と考えましょう。

切断すると新しい面が増える

立体を切ると、切った場所に新しい面ができます。

例えば直方体をまっすぐ2つに切れば、もとの外側の面に加えて、

切り口が2枚

増えます。

切断後の表面積では、

元の表面積
＋新しくできた切り口

を考えることがあります。

ただし、切ったことで元の面の一部が分かれるだけの場合もあるため、どの面が新しく外側に出たかを確認しましょう。

くり抜き問題は内側の面も数える

直方体の中央に穴をあけた問題では、外側だけでなく穴の内側も表面になります。

ここを数え忘れる子は多いです。

例えば四角い穴なら、

穴の上下面
穴の側面

など、実際に外気に触れる部分を確認します。

「見えない＝表面ではない」ではありません。

複雑な立体は面の種類ごとに整理する

段差のある立体や、直方体を複数組み合わせた形は、面ごとに数えると混乱します。

そこで、

上向きの面
下向きの面
前後の面
左右の面

と方向別に整理します。

例えば階段型立体では、上から見た面積と下から見た面積が同じになる場合もあります。

向きごとに整理すると、重複や数え忘れを減らせます。

表面積が苦手な子への家庭での教え方

表面積は、紙の上だけで覚えるより実物と結びつけたほうが理解しやすい分野です。

まず面の数を声に出して確認する

例えば直方体なら、

「何面ある？」

と聞いて、

6面

と答えられるか確認します。

次に、

「同じ大きさの面はどれとどれ？」

と聞きます。

公式を教える前に、立体の面構成を理解させることが大切です。

箱を開いて展開図と結びつける

お菓子の箱やティッシュ箱を開くと、立体が平面になります。

これだけで、

「表面積＝この紙全部の面積」

と実感できます。

円柱なら、紙コップや筒をイメージすると、

側面を開くと長方形

になることも理解しやすくなります。

公式より「どの面を足すか」を説明させる

「表面積の公式は？」

と聞くより、

「この立体ではどの面を足すの？」

と聞きましょう。

例えば直方体なら、

上と下
前と後ろ
右と左

と答えられれば、意味を理解しています。

中学受験では複雑な立体が出るため、公式暗記だけでは足りません。

間違えた問題は面に色や記号をつけて見直す

同じ面を2回数える、裏面を忘れる、といったミスが多い場合は、

A面
B面
C面

のように記号をつけます。

また、

同じ形の面に同じ印

をつけてもよいでしょう。

例えば、

○＝24㎠の面
△＝30㎠の面
□＝20㎠の面

とすれば、

○2枚
△2枚
□2枚

と整理できます。

まとめ｜表面積は「見える面を漏れなく数える」が基本

中学受験の立体図形で表面積を解くときは、

外側に出ている面をすべて足す

という考え方が基本です。

直方体なら、

同じ面が2枚ずつ

あることを利用します。

柱体なら、

底面2枚＋側面

と考えます。

応用問題では、

立体をくっつける
→接着面が消える

切断する
→新しい面が増える

穴をあける
→内側にも表面ができる

という変化に注目します。

家庭では、

面の数を確認する
↓
展開図をイメージする
↓
面ごとに面積を求める
↓
数え漏れを確認する

という順で教えると分かりやすくなります。

また、答えの単位が㎠になっているかも忘れず確認しましょう。

中学受験の立体図形で表面積を得意にするコツは、公式を増やすことではありません。「どの面が外に出ているか」を一つずつ見える形にし、漏れなく数える習慣をつけることです。