中学受験の展開図｜苦手でも解ける考え方

中学受験の展開図で押さえたい基本

この記事では、中学受験でよく出る展開図について、立方体の基本から向かい合う面、重なる辺・頂点の考え方、家庭での練習方法まで順を追って解説します。

展開図は、中学受験の立体図形でよく問われるテーマです。

ただし、単に「この形を折ると立方体になるか」を考えるだけではありません。

面・辺・頂点の位置関係や表面積、角柱や円柱までつながっていきます。

展開図は立体を平面に広げたもの

展開図とは、立体の辺を切って平面に広げた図です。

例えば立方体を切り開けば、6枚の正方形がつながった形になります。

反対に、その6枚を正しく折れば立方体に戻ります。

つまり展開図では、

立体→平面
平面→立体

を行き来して考えることが大切です。

「完成した立体を頭の中で一気に作ろう」とすると難しくなるため、まずは一面ずつ折る感覚を身につけましょう。

立方体は6つの正方形でできている

立方体の面は全部で6面です。

上
下
前
後ろ
右
左

と考えると分かりやすいでしょう。

ただし、正方形が6枚つながっていれば、どんな形でも立方体になるわけではありません。

折ったときに2枚の面が同じ場所へ重なってしまう並びは、立方体の展開図にはなりません。

そのため「6枚あるか」だけではなく、「折った後の6方向を1枚ずつ埋められるか」を確認します。

面・辺・頂点の位置関係を区別する

展開図問題では、

向かい合う面
重なる辺
同じ頂点になる点

が別々に問われます。

例えば面Aと面Bが向かい合っているからといって、Aのある辺とBのある辺が直接重なるわけではありません。

面は6面、辺は12本、頂点は8個あります。

この3つを混同すると、展開図問題は急に難しくなります。

まずは面の関係を理解し、その後に辺、最後に頂点へ進むのがおすすめです。

展開図は立体図形全体の土台になる

展開図は、それだけで終わる単元ではありません。

例えば表面積は、展開図にすると「立体を包んでいる面積の合計」だと理解しやすくなります。

角柱や円柱でも、側面を開くと長方形になります。

立体切断でも、各面がどのようにつながっているかを理解できる子ほど線を追いやすくなります。

展開図を学ぶことは、立体図形全体の見方を身につけることにつながります。

展開図の頻出問題を基本から解こう

ここからは、中学受験で出やすい4つのパターンを確認します。

向かい合う面を見つける問題

立方体には、向かい合う面が3組あります。

例えば展開図の中央に面Aがあり、その上下左右に4枚の面がついている場合、その4枚は折るとAの周囲に立ち上がります。

そしてさらに外側についている残り1枚が、Aの向かい側になることがあります。

ポイントは、

Aと辺を共有している面はAの向かい側にはならない

ということです。

まず「Aの隣はどれか」を消していくと考えやすくなります。

重なる辺を見つける問題

面より一段難しいのが辺です。

例えば展開図に辺ア、イ、ウが書かれていて、

「立方体にしたとき辺アと重なる辺を答えなさい」

と問われます。

このときは、面を一気に全部折るのではなく、

面Aを底に固定
↓
隣の面Bを起こす
↓
その隣の面Cを起こす

と順に考えます。

辺アが立体のどこへ移動するかを追えば、重なる辺を見つけやすくなります。

同じ頂点になる点を見つける問題

頂点問題では、展開図上では離れている点が、折ると同じ場所へ集まることがあります。

立方体の1つの頂点には、3つの面が集まります。

そこで、

「この点の周りには、折ったときどの3面が集まるか」

を考えます。

例えば点Pが面Aと面Bの共通する角にあり、そこへ面Cも折れてくるなら、C上の対応する点も同じ頂点になります。

面の関係が分からない状態で頂点問題へ進むと難しいため、順番が重要です。

立方体にならない展開図を見分ける問題

選択肢の中から、

「立方体にならないものを選びなさい」

という問題もあります。

見分けるポイントは、

折ったとき面が重ならないか
6つの方向に1面ずつ配置できるか

です。

例えばある面を底にして折ったとき、2枚が同時に「上の面」へ来てしまえば不成立です。

最初は実際に紙で折って確認して構いません。

繰り返すうちに、「この並びは重なりそうだ」と判断できるようになります。

中学受験の展開図を解くコツ

展開図は、感覚だけに頼らず手順化すると安定します。

基準となる面を1枚決める

展開図を見たら、まず1枚を固定します。

例えば中央に近い面を「底面」と決めます。

すると、

底面の右
底面の左
底面の上
底面の下

という位置関係が作れます。

途中で基準を何度も変えると混乱しやすくなります。

「この1枚は動かさない」と決めるだけでも、かなり考えやすくなります。

隣の面を90度ずつ折る

立方体の隣り合う面は直角に交わっています。

そのため展開図では、

「隣の面を90度起こす」

と考えます。

一気に完成形を思い浮かべる必要はありません。

1枚起こす
↓
その次を起こす
↓
どこに来たか確認する

という流れで十分です。

展開図が苦手な子ほど「一面ずつ」が大切です。

辺や頂点には記号を書き込む

難しい問題では、頭の中だけで管理しないようにします。

例えば、

辺ア
辺イ
点P
点Q

と展開図へ直接書きます。

さらに、

「この面を折ると点Pは右上へ移る」

と追います。

記号を書き込むことで、同じ辺を2回数えたり、別の頂点と混同したりするミスを防げます。

角柱・円柱では側面を平面に直す

展開図は立方体だけではありません。

例えば円柱を開くと、

円が2枚
長方形が1枚

になります。

半径3cm、高さ8cmの円柱なら、側面の長方形は、

たて＝8cm
横＝円周＝3×2×3.14＝18.84cm

です。

角柱でも、

同じ形の底面が2枚
側面が長方形

と考えます。

立体の表面積を求めるときにも、展開図の考え方がそのまま使えます。

展開図が苦手な子への家庭学習法

展開図は、実物を使うと理解が進みやすい分野です。

紙を切って実際に立体を作る

最初はコピー用紙で構いません。

立方体の展開図を描き、切り抜いて折ります。

そのとき、

「この面が上に来た」
「この2辺が重なった」

と確認します。

5種類程度の展開図を実際に組み立てるだけでも、平面と立体の対応がかなり分かりやすくなります。

色や記号で向かい合う面を確認する

実物の立方体に、

上＝A
下＝A’
前＝B
後ろ＝B’

などと書きます。

それを開いた展開図で見ると、

「向かい合う面は展開図ではこの位置にある」

と確認できます。

色を使えるなら、向かい合う面を同系統の色にしてもよいでしょう。

見るだけでなく自分で展開図を描く

選択問題だけではなく、

「この立方体を開いたら、別の展開図を描ける？」

と聞いてみましょう。

立方体の展開図は1種類だけではありません。

自分で複数の並びを作ることで、

どの面とどの面がつながっているか

を深く理解できます。

「正解を当てる」より「自分で作る」練習が効果的です。

基本→面→辺→頂点の順に難度を上げる

家庭学習では、

第1段階
立方体になる展開図を選ぶ

第2段階
向かい合う面を求める

第3段階
重なる辺を求める

第4段階
同じ頂点を求める

と進めます。

基本問題10問で8問程度を自力で解けるようになってから次へ進むとよいでしょう。

最初から頂点問題ばかり解くと、展開図そのものが嫌いになりやすいので注意が必要です。

まとめ｜展開図は一面ずつ折って考えよう

中学受験の展開図では、

立方体になるか
向かい合う面はどれか
重なる辺はどれか
同じ頂点になる点はどれか

といった問題がよく出ます。

解くときは、

基準の面を1枚決める
↓
隣の面を90度ずつ折る
↓
向かい合う面を確認する
↓
辺や頂点へ記号を書く

という順番で考えましょう。

展開図が苦手な子に、「頭の中で立体を作って」と求める必要はありません。

最初は紙を切って折り、実際の形を確認してから問題へ戻れば十分です。

面の関係を理解し、次に辺、最後に頂点へ進むことで、無理なくレベルアップできます。

中学受験の展開図は空間センスだけで決まる単元ではありません。「一面を固定し、隣の面を順番に折る」という手順を身につければ、苦手な子でも安定して解けるようになります。