中学受験の立体・展開図｜解き方と頻出問題

中学受験の立体・展開図で押さえる基本

この記事では、中学受験で重要な立体・展開図について、立方体から角柱・円柱までの基本、頻出問題の解き方、家庭で苦手を克服する方法を順番に解説します。

中学受験の展開図では、「立方体を組み立てられるか」だけが問われるわけではありません。

直方体、角柱、円柱などさまざまな立体について、面・辺・頂点の位置や表面積まで考える必要があります。

まずは立体ごとの特徴を整理しましょう。

展開図は立体の表面を平面に開いたもの

展開図とは、立体の辺を切り、表面を1枚の平面になるように開いた図です。

反対に展開図を折りたためば、元の立体になります。

つまり展開図問題では、

立体→平面
平面→立体

を行き来する力が必要です。

ただし、完成後の立体を最初から頭の中で完璧に想像する必要はありません。

「この面を折るとどこへ行くか」を一面ずつ考えれば解けます。

立方体・直方体は6つの面からできている

立方体も直方体も面は6つです。

上
下
前
後ろ
右
左

の6方向に1面ずつあります。

立方体は6面すべてが同じ正方形ですが、直方体では通常、

たて×横
たて×高さ
横×高さ

の3種類の長方形が2枚ずつあります。

この「同じ面が2枚ずつ」という特徴は、展開図だけでなく表面積問題にも役立ちます。

角柱は同じ形の底面が2つある

三角柱なら、同じ三角形が2枚あり、その間を3枚の長方形がつないでいます。

四角柱なら、

同じ四角形2枚＋側面4枚

です。

つまり角柱では、

底面が2枚
側面が底面の辺の数だけある

と整理できます。

三角柱の展開図を見たときは、まず同じ三角形2枚を探すと構造が分かりやすくなります。

円柱の側面を開くと長方形になる

円柱の展開図は、

円2枚
長方形1枚

です。

側面を切って開くと長方形になります。

半径3cm、高さ8cmの円柱なら、長方形のたては8cm、横は底面の円周なので、

3×2×3.14＝18.84cm

です。

展開図を理解していれば、「円柱の側面積＝円周×高さ」を意味から理解できます。

立体の展開図でよく出る問題と解き方

中学受験では、展開図から立体を想像して位置関係を判断する問題が中心です。

立方体になる展開図を見分ける

立方体は正方形6枚ですが、6枚がつながっていれば何でも展開図になるわけではありません。

折ったときに2枚の面が同じ位置へ来れば不成立です。

判断するときは1枚を底面に決め、

前
後ろ
右
左
上

へ残り5面が重ならず配置されるかを確認します。

なお、立方体の展開図は異なる形として11種類あります。

すべてを丸暗記するより、実際に折ったときに面が重ならないか判断できることのほうが重要です。

向かい合う面を見つける

例えば面Aの上下左右に4つの面が直接つながっているとします。

その4面は折るとAの周囲へ立ち上がるため、Aの反対側にはなりません。

残る面が折り返されてAの向かい側へ来ることがあります。

基本的には、

「Aと辺を共有する面はAの反対ではない」

と候補を消していくと考えやすくなります。

ただし展開図の形によって位置関係は異なるので、最後は実際に折る順番を追って確認します。

重なる辺・頂点を追う

面の問題より難しいのが、辺や頂点です。

例えば、

「組み立てたとき辺アと重なる辺を答えなさい」

と聞かれたら、アを含む面を基準にします。

その面を固定し、

隣の面を90度起こす
↓
さらに隣を折る
↓
辺アが立体のどこへ移るか見る

という順に考えます。

頂点も同様です。

立方体の1つの頂点には3面が集まるため、「この点に最終的にどの3面が集まるか」を追うと判断しやすくなります。

展開図から表面積を求める

展開図は表面積の理解にも非常に役立ちます。

例えば、

たて6cm
横4cm
高さ5cm

の直方体なら、展開図には、

6×4の面が2枚
6×5の面が2枚
4×5の面が2枚

あります。

したがって表面積は、

6×4×2＋6×5×2＋4×5×2
＝48＋60＋40
＝148㎠

です。

「公式を使う」のではなく、「展開図にある面を全部足す」と考えると意味が分かります。

中学受験の展開図を解く4つのコツ

展開図が苦手な子ほど、頭の中だけで処理しないことが重要です。

基準となる面を1枚固定する

まず展開図から1枚を選び、

「ここを底面にする」

と決めます。

例えば面Aを底と決めたら、途中でAを右面や上面として考え直さないようにします。

基準が固定されると、

Bは前
Cは右
Dは後ろ

という位置関係を整理しやすくなります。

迷ったら基準面へ戻るのがコツです。

面を一度に動かさず順番に折る

立方体では隣り合う面が90度で交わります。

そこで、

Bを90度起こす
↓
Cを90度起こす
↓
次の面を折る

と一つずつ処理します。

6面を一度に頭の中で動かす必要はありません。

展開図が得意になるとは、「一瞬で立体が見える」ことではなく、正確な手順で組み立てられることです。

辺と頂点には記号を書き込む

辺・頂点問題では、問題用紙へ積極的に書き込みましょう。

例えば、

面A
辺ア
点P

と記号を残します。

折った後も、

「Pは右上に来る」
「アは上面との境になる」

など、位置を追跡します。

頭の中に情報をためるより、図に残したほうが数え間違いや取り違えを防げます。

分からなければ立体から開いて考える

平面から立体へ折るのが難しい子は、逆向きに考えても構いません。

ティッシュ箱などを見ながら、

上の面を残す
右の面を外側へ倒す
前の面も倒す

と、立体を展開していきます。

「折る」より「開く」ほうが分かりやすい子もいます。

両方向から考えられるようになると、初めて見る展開図にも対応しやすくなります。

立体・展開図が苦手な子の家庭学習法

家庭では、高価な教材がなくても十分に練習できます。

紙の模型を作って実際に折る

最初はコピー用紙へ展開図を描き、切って立体を作りましょう。

例えば立方体なら、

面Aと向かい合う面はどこか
どの辺とどの辺が重なるか
どの3面が1つの頂点に集まるか

を、折りながら確認します。

一度実物を作った後で同じ問題を紙だけで解くと、理解がつながりやすくなります。

面→辺→頂点の順番で練習する

展開図が苦手なら、

第1段階：立体になる展開図を選ぶ
第2段階：向かい合う面を求める
第3段階：重なる辺を求める
第4段階：同じ頂点を求める

と進めます。

面の位置関係があいまいなまま頂点問題を繰り返しても、なかなか安定しません。

土台から順番に進めることが大切です。

表面積とセットで理解する

展開図を学んだら、表面積も一緒に確認しましょう。

例えば直方体を紙で作った後に開き、

「この6面の面積を全部足したものが表面積」

と確認します。

円柱なら、側面を開いた長方形の横が円周になることを実物で確かめます。

展開図を「位置関係だけのパズル」にせず、面積と結びつけると理解が深まります。

翌日は模型なしで同じ問題を解く

模型を使えばできた問題も、それだけで終了しません。

翌日は紙の展開図だけを見せます。

そして、

どの面が反対か
どの辺が重なるか

を再度考えさせます。

最初は模型を使う
↓
次は模型を見ずに解く
↓
最後は類題で確認する

という流れにすると、「分かった」から「自力で解ける」へ移りやすくなります。

まとめ｜立体の展開図は「面のつながり」を見る

中学受験の立体・展開図では、

立方体・直方体
角柱
円柱

などについて、

立体になるか
向かい合う面はどこか
重なる辺・頂点はどこか
表面積はいくらか

といった問題が出ます。

解くときは、

基準面を1枚固定する
↓
隣の面を一枚ずつ折る
↓
面の位置を決める
↓
辺・頂点を追う

という順番を守りましょう。

家庭では、紙で実際に模型を作るのも効果的です。

ただし最終目標は模型を使うことではありません。

実物で確認した後、紙だけで同じ位置関係を再現できるようにします。

中学受験の立体・展開図は、空間を一瞬でイメージする能力だけで決まる分野ではありません。「どの面とどの面がつながっているか」を一つずつ整理できれば、苦手な子でも安定して解けるようになります。