中学受験算数 図形の求積を解説

中学受験算数の図形の求積でつまずく理由

この記事では、中学受験算数の図形の求積でつまずくお子さんを持つ保護者の方に向けて、なぜ解けないのか・家庭でどう説明すればよいのかを順番に解説します。

公式を覚えても使う場所が見えない

中学受験算数の図形の求積でつまずく子は、公式をまったく覚えていないわけではありません。三角形の面積は「底辺×高さ÷2」、長方形の面積は「たて×横」、円の面積は「半径×半径×3.14」と言える子は多いです。

それでも問題になると手が止まるのは、公式を使う場所が見えていないからです。たとえば、三角形が斜めに置かれていたり、複数の図形が重なっていたりすると、どこを底辺にするのか、どこが高さなのかを自分で判断しなければなりません。

入試や塾の応用問題では、公式をそのまま使える形で図が出るとは限りません。求めたい部分がへこんだ形だったり、円と四角形が組み合わさっていたり、面積比を使わないと求めにくかったりします。

つまり、図形の求積は「公式を知っているか」だけでなく、「公式を使える形を図の中から見つけられるか」が大切です。家庭で教えるときは、すぐに式を教えるより、「どの形なら知っている公式が使えそう？」と見る場所を一緒に探すことから始めましょう。

複雑な図形をそのまま見てしまう

求積が苦手な子は、複雑な図形をそのまま見て「知らない形だから解けない」と感じてしまうことがあります。しかし、中学受験算数の求積問題は、知らない形をそのまま求めるのではなく、知っている形に変えて考えることがほとんどです。

たとえば、へこんだ図形なら、大きな長方形から欠けた部分を引けば求められることがあります。影のついた部分が離れている問題でも、同じ形を移すと1つの長方形や三角形にまとまる場合があります。円と正方形が組み合わさった問題でも、全体から不要な部分を引くことで整理できることがあります。

子どもが図を見て止まるときは、「この形をそのまま求めよう」としている可能性があります。そこで、「分けられるかな」「大きい形から引けるかな」「同じ形を移せるかな」と声をかけると、考える入口が見えやすくなります。

求積では、見た目の複雑さに惑わされないことが大切です。知らない形を、知っている形へ直す力が得点につながります。

求積は「形を整える力」が問われる

図形の求積で本当に問われているのは、計算力だけではありません。むしろ、形を整える力が重要です。どこで分けるか、どこを引くか、どの部分を移せるか、どの三角形が同じ高さか。こうした判断ができるかどうかで、解きやすさが大きく変わります。

たとえば、同じ面積を求める問題でも、無理に細かく分けると計算が複雑になります。一方で、大きな図形から不要な部分を引くと、短い式で求められることがあります。

中学受験算数では、求積問題を通して「図をどう見るか」「条件をどう整理するか」が問われます。図を眺めるだけでなく、求める部分に印をつけ、使える公式や形を探し、必要なら補助線を引くことが大切です。

家庭学習では、答えが合っているかだけでなく、「どんな形に整えたか」を確認しましょう。形を整える考え方が身につくと、初めて見る図形にも対応しやすくなります。

図形の求積で最初に押さえる基本

三角形・四角形・円の公式を確認する

図形の求積を解説するうえで、まず確認したいのは基本公式です。中学受験算数では、三角形、長方形、正方形、平行四辺形、台形、円、扇形などの面積公式を使います。

三角形は「底辺×高さ÷2」、長方形は「たて×横」、正方形は「一辺×一辺」、平行四辺形は「底辺×高さ」、台形は「上底と下底の和×高さ÷2」です。円は「半径×半径×3.14」、扇形は円全体の面積に中心角の割合をかけて求めます。

ただし、公式をただ暗記するだけでは不十分です。特に三角形や平行四辺形では、高さが底辺に対して垂直であることを確認する必要があります。見た目で長そうな線を高さにしてしまうと、誤答につながります。

家庭では、公式を言わせるだけでなく、「この図ではどこが底辺？」「高さは底辺に直角かな？」と確認しましょう。公式と図の対応が分かると、求積問題の安定感が高まります。

面積は分ける・引く・移すで考える

図形の求積で最も大切な考え方は、「分ける」「引く」「移す」の3つです。この3つを使えるようになると、複雑な図形でも解き方を見つけやすくなります。

「分ける」は、複雑な図形を三角形や四角形、円の一部などに分ける方法です。たとえば、五角形のような形も、三角形と長方形に分ければ基本公式で求められます。

「引く」は、大きな図形から不要な部分を取り除く方法です。へこんだ図形や、白い部分を除いた影の面積を求める問題でよく使います。全体を求めてから、いらない部分を引くと考えやすくなります。

「移す」は、同じ形を動かして分かりやすい形にする方法です。影の部分が複数に分かれている場合でも、移動させると1つの長方形や三角形になることがあります。

子どもが求積で止まったら、「この形は分けられる？」「全体から引ける？」「同じ形を移せる？」と聞いてみましょう。求積は、公式を探す前に形を整理することが大切です。

底辺と高さを正しく見つける

求積で特に注意したいのが、底辺と高さの見つけ方です。三角形、平行四辺形、台形では、高さが正しく取れていないと、公式を覚えていても答えが合いません。

高さとは、底辺に対して垂直な長さです。底辺をどこにするかによって、高さも変わります。三角形が斜めに描かれていると、子どもは高さを見落としたり、斜めの辺を高さだと思い込んだりすることがあります。

たとえば、底辺を下の辺にするなら、高さはその底辺にまっすぐ下ろした長さです。底辺が斜めなら、高さも図の中で見つけにくくなることがあります。ここでつまずく子は少なくありません。

家庭では、「この底辺に対して直角になっている長さはどれ？」と聞くのがおすすめです。高さを正しく見つける練習をくり返すことで、三角形や台形の面積問題が安定します。

中学受験算数 図形の求積の解説ポイント

同じ高さの三角形は底辺の比を見る

中学受験算数の図形の求積では、同じ高さの三角形を見つけることが大きなポイントになります。同じ高さの三角形では、面積比は底辺の比と同じになるからです。

たとえば、2つの三角形の高さが同じで、底辺の長さの比が2：3なら、面積の比も2：3になります。高さを実際に求めなくても、面積を比べられるため、求積問題でよく使います。

平行線がある図形では、同じ高さの三角形が隠れていることがあります。底辺が同じ直線上にあり、頂点が平行な線上にある場合、高さが等しくなります。この関係に気づくと、計算が一気に楽になります。

ただし、いつでも辺の比が面積比になるわけではありません。同じ高さという条件があるからこそ、底辺の比と面積比が同じになります。家庭では、「この2つの三角形は高さが同じかな？」と確認しましょう。

相似があるときは面積比に注意する

図形の求積で相似が出てくる場合は、面積比に注意が必要です。相似な図形では、対応する辺の比がそろいます。たとえば、相似比が2：3なら、対応する辺の比は2：3です。

しかし、面積比は2：3ではありません。相似な図形の面積比は、辺の比を2回かけた比になります。相似比が2：3なら、面積比は4：9です。ここを間違えると、求積問題で大きく失点します。

子どもが混乱しやすいのは、「比」と書かれているものをすべて同じように扱ってしまうことです。辺の比なのか、面積比なのか。同じ高さの三角形なのか、相似な図形なのか。まず図の関係を確認する必要があります。

家庭で解説するときは、「今見ているのは辺の比？面積比？」「これは同じ高さ？相似？」と質問するとよいでしょう。比を正しく使えると、求積問題の応用力が上がります。

補助線は求積しやすい形を作るために引く

図形の求積で補助線が出てくると、子どもは急に難しく感じることがあります。解説では「ここに線を引く」と簡単に書かれていますが、自分では思いつかないことが多いからです。

しかし、補助線はひらめきだけで引くものではありません。求積しやすい形を作るために引きます。三角形に分けるため、長方形を作るため、同じ高さの三角形を見つけるため、相似を見つけるために補助線を引くのです。

たとえば、複雑な四角形に対角線を引くと、2つの三角形に分けられることがあります。へこんだ形に線を引くと、長方形と三角形に分けられることがあります。面積比の問題では、同じ高さの三角形を見つけるために補助線を加えることもあります。

家庭では、「どこに線を引く？」と聞く前に、「この線を引くと、どんな形に分けられる？」と聞いてみましょう。補助線の目的が分かると、求積問題への苦手意識が減りやすくなります。

家庭でできる図形の求積の勉強法

まず求める部分に印をつける

家庭で図形の求積を勉強するときは、まず求める部分に印をつけることから始めましょう。影の部分、斜線部分、面積を求める図形などをはっきりさせるだけで、考える範囲が整理されます。

求める部分に印をつけないまま式を作ろうとすると、どこを足すのか、どこを引くのかがあいまいになります。特に、全体から一部を引く問題では、求める部分と不要な部分を区別することが大切です。

次に、分かっている長さ、角度、平行、直角、同じ長さを図に書き込みます。面積問題では、底辺と高さ、全体の形、引く部分を図の中で確認します。

この作業は、正解を出す前の準備です。家庭では、「まず求めるところに印をつけよう」「次に分かっている長さを書こう」と声をかけると、子どもが手を動かしやすくなります。

親は「どう形を変えたか」を聞く

図形の求積では、答えが合っているかだけでなく、どのように形を変えて考えたかを確認することが大切です。

おすすめの声かけは、「どこで分けたの？」「全体から何を引いたの？」「同じ形を移せそう？」「なぜその補助線を引いたの？」です。

答えが正しくても、形の見方を説明できなければ、次の問題で再現できない可能性があります。反対に、答えが間違っていても、「大きな図形から引く」という方針が合っていれば、あと少しで正解に近づけます。

求積問題は、計算だけを見ると理解の深さが分かりにくい単元です。親が「どう形を整えたか」を聞くことで、子どもは自分の考え方を整理できます。

家庭学習では、1問ごとに短く説明させる習慣をつけましょう。説明できる解き方は、模試や入試の初見問題でも使いやすくなります。

難問より基本パターンを反復する

図形の求積を伸ばすには、難問ばかりに取り組むより、基本パターンを反復することが大切です。難しい問題も、基本の組み合わせでできていることが多いからです。

まずは、三角形、長方形、正方形、平行四辺形、台形、円の基本公式を安定させましょう。そのうえで、分ける、引く、移す、同じ高さ、相似比と面積比の違いを練習します。

1日15分でも構いません。1問を丁寧に扱い、求める部分に印をつけ、形をどう変えるかを考え、解説を読んだ後にもう一度図へ再現します。問題数を増やすより、同じ見方を安定して使えることが大切です。

図形の求積は、センスだけで決まる単元ではありません。基本パターンをくり返すことで、複雑な図形でも「分ける」「引く」「移す」のどれが使えるかを判断できるようになります。

まとめ

中学受験算数の図形の求積で大切なのは、公式を覚えることだけではありません。公式を使える形を図の中から見つけ、複雑な図形を「分ける」「引く」「移す」で整理する力が必要です。

まずは、三角形・四角形・円の基本公式を確認し、底辺と高さを正しく見つけられるようにしましょう。そのうえで、同じ高さの三角形、相似と面積比、補助線の目的を理解すると、応用問題にも対応しやすくなります。

家庭では、求める部分に印をつけ、親は「どう形を変えたか」を聞いてあげてください。難問に急ぐより、基本パターンを反復することが大切です。図形の求積は、正しい見方を積み重ねれば、苦手から得点源へ変えていける単元です。