中学受験算数 図形の求積の勉強法

中学受験算数で図形の求積の勉強法が重要な理由

この記事では、中学受験算数の図形の求積をどう勉強すればよいのか、つまずく原因から家庭でできる具体的な学習法まで順番に解説します。

公式暗記だけでは求積問題に対応しにくい

中学受験算数の図形の求積では、公式を覚えているのに問題が解けないという悩みがよくあります。三角形の面積は「底辺×高さ÷2」、台形の面積は「上底と下底の和×高さ÷2」、円の面積は「半径×半径×3.14」と言えても、実際の問題になると手が止まる子は少なくありません。

その理由は、入試や模試の求積問題では、公式にそのまま数字を入れるだけでは解けない形で出題されることが多いからです。三角形と四角形が重なっていたり、円の一部分だけを求めたり、色のついた複雑な部分の面積を聞かれたりします。

このような問題では、「どの公式を使うか」より前に、「どの図形として見るか」が大切になります。複雑に見える図形を三角形や長方形に分ける。全体から不要な部分を引く。面積比を使って一部分を求める。このような見方ができると、公式が初めて使える道具になります。

つまり、図形の求積の勉強法で大切なのは、公式を覚えることだけではありません。公式を使える形に図を整理する練習まで行うことです。

図を分ける・引く・比べる力が必要になる

図形の求積で必要になる考え方は、大きく分けると「分ける」「引く」「比べる」の3つです。この3つを意識して勉強すると、求積問題の見通しが立ちやすくなります。

まず「分ける」は、複雑な図形を基本図形に分けて、それぞれの面積を足す方法です。L字型の図形を長方形2つに分ける、五角形を三角形と四角形に分ける、といった考え方です。

次に「引く」は、大きな図形全体から不要な部分を引く方法です。正方形の中に円がある問題で、円の外側を求めるなら、正方形の面積から円の面積を引きます。直接求めにくい部分ほど、この考え方が役立ちます。

最後に「比べる」は、同じ高さや同じ底辺を使って、面積の比から求める方法です。中学受験算数では、すべての長さが分からなくても、比で面積を求める問題がよく出ます。

求積の勉強では、問題を解いたあとに「分けたのか、引いたのか、比で考えたのか」を確認しましょう。解き方の型が見えると、次の問題でも使いやすくなります。

勉強法を間違えると解説を読んで終わる

図形の求積で伸び悩む子は、解説を読んで「分かったつもり」になっていることがあります。解説にはきれいな補助線や式が載っていますが、それを見ただけでは、次の初見問題で同じ考え方を使えるとは限りません。

たとえば、解説に「大きな長方形から小さな長方形を引く」と書いてあっても、子ども自身が「なぜ引くのか」を説明できなければ、別の問題で再現しにくくなります。面積比の問題でも、「同じ高さだから底辺の比で考える」と分かっていなければ、手順だけの暗記になってしまいます。

求積の勉強法で大切なのは、答えを直すことではなく、考え方を再現できるようにすることです。解説を読んだ後は、「この問題は何を全体として見たのか」「何を引いたのか」「どこが同じ高さだったのか」を言葉にして確認しましょう。

家庭学習では、親が長く解説するより、短い質問で子どもに考え方を説明させる方が効果的です。図形の求積は、解き直しよりも、解き方の振り返りで伸びる単元です。

図形の求積で最初に固めたい基本

求める面積が全体か一部かを確認する

図形の求積で最初に確認したいのは、求める面積が「全体」なのか「一部」なのかです。ここをあいまいにしたまま式を書き始めると、途中で何を求めているのか分からなくなります。

全体の面積を求める問題なら、図形をいくつかの基本図形に分けて足す方法が使いやすいことがあります。反対に、色のついた部分や重なった部分など、一部の面積を求める問題では、全体から不要な部分を引く方が簡単な場合があります。

たとえば、正方形の中に円があり、円の外側の部分を求める問題なら、正方形の面積から円の面積を引きます。大きな三角形の中に小さな三角形がある問題なら、大きな三角形から小さな三角形を引いて求めることがあります。

家庭では、問題を読んだ直後に「求めるのは全部？それとも一部？」と聞いてみましょう。この一言で、足すのか引くのかを考えやすくなります。求積の勉強は、まず求める範囲を正確に見るところから始まります。

底辺・高さ・半径を図に書き込む

図形の求積では、底辺・高さ・半径を図に書き込む習慣が大切です。公式を覚えていても、どの数を使うのかを間違えると正解にはつながりません。

三角形では、底辺と高さが直角に交わることを確認します。斜めの辺を高さだと思い込むと、面積がずれてしまいます。台形では、上底・下底・高さを見つけます。円では、中心から円周までが半径であり、直径が分かっている場合は半分にする必要があります。

求積が苦手な子は、式を急いで書き始めることがあります。しかし、式の前に図へ情報を書き込むだけで、ミスはかなり減ります。分かっている長さ、直角、平行、等しい辺、半径、直径を図に入れてから考えると、使うべき公式が見えやすくなります。

家庭では、「底辺はどこ？」「高さはどこ？」「半径はいくつ？」と確認しましょう。公式そのものよりも、公式に入れる数を正しく選ぶ練習が大切です。

同じ高さ・同じ底辺から面積比を考える

中学受験算数の図形の求積では、面積比を使う問題もよく出ます。特に、複数の三角形が出てくる問題では、「同じ高さ」と「同じ底辺」を見つける力が重要です。

三角形では、同じ高さなら面積の比は底辺の比になります。たとえば、高さが同じ2つの三角形で底辺の比が2：3なら、面積の比も2：3です。反対に、同じ底辺なら面積の比は高さの比になります。

この考え方を使うと、すべての面積を計算しなくても、一部分の面積を求められることがあります。特に、平行線がある図形では同じ高さが見つかりやすくなります。台形の中にできる三角形や、平行四辺形の中に線が引かれた問題でもよく使われます。

家庭では、「この2つの三角形は高さが同じかな？」「底辺の比は分かるかな？」と聞いてみてください。面積比が使えるようになると、図形の求積の勉強が一段進みます。

中学受験算数 図形の求積の効果的な勉強法

基本図形の公式を使える形で覚える

図形の求積の勉強では、まず基本図形の公式を確実に使えるようにしましょう。ただし、公式を言えるだけで終わらせないことが大切です。どの場面で、どの数を使うのかまで確認します。

三角形なら、底辺と高さを正しく選ぶ練習をします。長方形なら、縦と横を確認します。台形なら、上底・下底・高さを区別します。円なら、半径と直径を取り違えないようにします。扇形なら、中心角が何度なのかを確認します。

公式を覚えるときは、ただ暗記するより、実際の図に書き込んで覚える方が効果的です。たとえば、三角形の中に底辺と高さを赤で書く、円の半径を中心から線で引く、台形の上底と下底を囲むといった作業です。

家庭では、公式を聞くだけでなく、「この図ではどこを使う？」と確認しましょう。公式を図と結びつけて覚えることが、求積問題で使える力につながります。

分ける・引く・比を使うの3パターンで練習する

図形の求積の勉強法としておすすめなのが、問題を「分ける」「引く」「比を使う」の3パターンに分けて練習する方法です。これにより、問題を見たときに考える選択肢が整理されます。

「分ける」問題では、複雑な形を三角形、長方形、台形などに分けて、それぞれの面積を足します。L字型の図形や、五角形のような図形でよく使います。

「引く」問題では、大きな図形から不要な部分を引きます。正方形の中の円の外側、長方形から欠けた部分を除く問題、重なりを含む問題などで役立ちます。

「比を使う」問題では、同じ高さ・同じ底辺に注目します。底辺の比や高さの比から面積比を出し、全体の面積や一部分の面積につなげます。

家庭では、問題を解いたあとに「これは分ける問題？引く問題？比の問題？」と分類してみましょう。型が分かると、初見問題でも入口を見つけやすくなります。

1問ごとに解き方を説明する

図形の求積を伸ばすには、1問ごとに解き方を説明する練習が効果的です。答えが合っているかだけで判断すると、たまたま手順を覚えて解けているだけの場合があります。

たとえば、分けて求めた問題なら、「なぜその形に分けたのか」を説明します。全体から引いた問題なら、「何を全体として見て、何を引いたのか」を説明します。比を使った問題なら、「どこが同じ高さだったのか」「底辺の比はどう見たのか」を言葉にします。

親が長く解説する必要はありません。「どうして足したの？」「なぜ引いたの？」「どこが同じ高さ？」と短く聞くだけで十分です。子どもが自分の言葉で説明することで、解き方が整理されます。

正解していても説明できない問題は、理解が不安定な可能性があります。反対に、不正解でも考え方を説明できるなら、どこを直せばよいか見えやすくなります。求積の勉強では、正解数よりも再現できる解き方を増やしましょう。

家庭でできる図形の求積の復習法

間違いを原因別に分ける

図形の求積で点数を伸ばすには、間違えた問題を原因別に分けることが大切です。すべてを「求積が苦手」でまとめてしまうと、次に何を復習すればよいのか分かりません。

よくある原因は、底辺と高さを取り違えた、半径と直径を間違えた、全体から引く発想が出なかった、不要な部分まで足してしまった、同じ高さを見落とした、面積比を使えなかった、最後に求める部分を取り違えた、などです。

原因が分かれば、戻るべき学習がはっきりします。半径と直径を間違えたなら、円の基本へ戻ります。同じ高さを見落としたなら、面積比の問題を練習します。引く発想が出なかったなら、全体から不要な部分を引く問題を集めて解き直します。

復習ノートには、「半径と直径を間違えた」「引く部分を見落とした」「同じ高さを使えなかった」など、一言で原因を書きましょう。間違いは、次に得点するためのヒントになります。

同じ型を3問ずつ解き直す

図形の求積の復習では、間違えた1問だけを直して終わらせないことが大切です。同じ型を3問ほど解き直すと、考え方が定着しやすくなります。

たとえば、全体から引く問題で間違えたなら、同じように「大きな図形から小さな図形を引く」問題を3問解きます。面積比で間違えたなら、同じ高さを使う三角形の問題を3問解きます。円の求積で半径と直径を間違えたなら、円や半円、扇形の基本問題に戻ります。

同じ型を続けて解くと、「この問題では何に注目するのか」が見えやすくなります。1問だけ直すより、似た問題で確認した方が、次のテストで使える力になります。

家庭では、量を増やしすぎる必要はありません。1日3問でも、「今日は全体から引く問題だった」「今日は同じ高さを探す問題だった」と言えれば、十分な勉強になります。

テスト前は基本図形の確認に戻る

テスト前になると、新しい難問をたくさん解きたくなるかもしれません。しかし、図形の求積が不安定な場合は、新しい問題よりも基本図形の確認を優先しましょう。

確認したいのは、三角形、長方形、正方形、台形、円、半円、扇形などの基本公式です。ただし、公式を言えるかだけでなく、底辺・高さ・半径・直径を正しく図から読み取れるかまで確認します。

また、分ける、引く、比を使うという3つの解き方も見直しましょう。複雑な図形でも、基本図形に分ける、大きく見て引く、同じ高さから比で考えるという方針に戻れば、入口が見つかることがあります。

テスト前は、「式を書く前に図へ条件を書き込む」「求めるのは全体か一部かを見る」「半径と直径を確認する」というルールを決めておくと、ミスが減りやすくなります。基本に戻ることは遠回りではなく、得点を安定させる近道です。

まとめ

中学受験算数の図形の求積は、公式を覚えるだけでは安定しにくい単元です。大切なのは、図形を公式が使える形に整理し、分ける・引く・比を使うという解き方を選べるようにすることです。

まず、求める面積が全体なのか一部なのかを確認しましょう。次に、底辺・高さ・半径を図に書き込みます。面積比を使う問題では、同じ高さ・同じ底辺に注目します。

効果的な勉強法は、基本図形の公式を図と結びつけて覚え、分ける・引く・比を使うの3パターンで練習することです。さらに、1問ごとに「なぜその解き方を選んだのか」を説明できるようにすると、初見問題でも使える力になります。

家庭では、間違いを原因別に分け、同じ型を3問ずつ解き直しましょう。テスト前は新しい難問より、基本図形と図への書き込みを確認することが大切です。図形の求積は、正しい勉強法で積み重ねれば、苦手単元から得点源へ変えられる分野です。