図形の求積のコツ｜中学受験算数

中学受験算数の図形の求積はコツを知ると解きやすい

この記事では、中学受験算数の図形の求積でつまずくお子さんを持つ保護者の方に向けて、家庭で説明しやすい求積のコツと練習法を順番に解説します。

求積は公式暗記だけでは伸びにくい

中学受験算数の図形の求積では、面積公式を覚えることはもちろん大切です。三角形の面積は「底辺×高さ÷2」、長方形は「たて×横」、正方形は「一辺×一辺」、円は「半径×半径×3.14」といった公式は、求積の土台になります。

ただし、求積が苦手な子は、公式をまったく知らないわけではありません。むしろ、公式は言えるのに、問題になるとどこに使えばよいか分からないことが多いです。

たとえば、三角形が斜めに置かれていると、どこを底辺にすればよいのか、どこが高さなのかを判断しなければなりません。へこんだ図形や、円と四角形が組み合わさった図形では、どの部分を足すのか、どこを引くのかを考える必要があります。

つまり、図形の求積は「公式を覚える単元」ではなく、「公式を使える形に整える単元」です。家庭で教えるときも、最初から式を教えるより、「この形はどんな形に直せそう？」と聞くことが大切です。

コツは複雑な形をそのまま見ないこと

図形の求積の最大のコツは、複雑な形をそのまま見ないことです。中学受験算数では、見たことのない形が出ることがあります。しかし、その形をそのまま求める必要はありません。

求積問題の多くは、知っている形に分けたり、大きな形から不要な部分を引いたり、同じ形を移動したりして解きます。たとえば、へこんだ形は大きな長方形から欠けた部分を引けば求められることがあります。影の部分が離れている場合でも、同じ形を移すと1つの長方形や三角形にまとまることがあります。

子どもが図を見て止まるときは、「知らない形だから無理」と感じている場合があります。そこで、「この形は分けられる？」「全体から引ける？」「同じ形を動かせる？」と声をかけると、考える入口が見えます。

求積のコツは、特別なひらめきではありません。知らない形を、知っている形へ直すことです。

図に書き込むだけで解き方が見えやすくなる

図形の求積では、図への書き込みも大切なコツです。問題文に書かれている長さ、直角、平行、同じ長さ、求める部分を図に入れることで、使える情報が見えやすくなります。

特に、求める部分に印をつけることは重要です。影の部分や斜線部分を求める問題では、どこがほしい面積なのかをはっきりさせないと、足すのか引くのかがあいまいになります。

また、底辺や高さが分かっている場合は、その関係を図に書き込みましょう。三角形や平行四辺形では、高さが底辺に対して垂直であることを確認する必要があります。

図に何も書かずに考えると、頭の中だけで情報を処理することになり、見落としが増えます。反対に、書き込むことで「ここを引けばよい」「この三角形とこの三角形は高さが同じ」と気づきやすくなります。

家庭では、答えを出す前に「まず図に分かっていることを書こう」と声をかけましょう。

図形の求積で最初に使う3つのコツ

コツ1 分ける

図形の求積で最初に使いたいコツは「分ける」です。複雑な形を、三角形、長方形、正方形、台形、円の一部など、すでに知っている形に分けて考えます。

たとえば、五角形のような形でも、線を1本引けば三角形と四角形に分けられることがあります。斜めの線が入った図形でも、三角形に分ければ「底辺×高さ÷2」で求められます。

分けるコツを使うときは、「どこに線を引くと知っている形になるか」を考えます。補助線は難しいものに見えますが、求積では「面積を出しやすい形に分けるための線」と考えると分かりやすくなります。

子どもが手を止めたときは、「この形を三角形や長方形に分けられないかな」と聞いてみましょう。知らない形を知っている形に分けるだけで、式が立てやすくなります。

コツ2 引く

2つ目のコツは「引く」です。求めたい部分を直接求めにくいときは、大きな図形全体から不要な部分を引くと考えやすくなります。

たとえば、へこんだ形の面積を求める場合、へこんだ部分を含む大きな長方形を考え、そこから不要な三角形や長方形を引きます。円と四角形が重なった問題でも、全体の面積から白い部分や不要な部分を引くことで、影の面積を求められることがあります。

引くコツは、特に「直接求めにくい形」に有効です。求めたい部分が複雑でも、その周りに大きな長方形や正方形、円が見える場合は、全体から引く方法を考えてみましょう。

家庭では、「この部分を直接出すのは難しいね。大きい形からいらない部分を引けないかな」と声をかけると、子どもが方針を立てやすくなります。

コツ3 移す

3つ目のコツは「移す」です。同じ形や同じ面積の部分を移動して、求めやすい形に直す考え方です。

たとえば、影のついた部分が左右に分かれている問題でも、一部を移動させると1つの長方形になることがあります。扇形や三角形の組み合わせでも、同じ形を移すことで、全体が見やすくなる場合があります。

移すコツは、最初は難しく感じるかもしれません。しかし、ポイントは「同じ形は場所が変わっても面積は変わらない」ということです。切り取って動かすイメージを持つと、子どもにも伝わりやすくなります。

家庭で説明するときは、紙に簡単な図を描き、「この部分をここに動かしたら、どんな形になりそう？」と聞いてみるとよいでしょう。画像がなくても、図の中で同じ形を探す習慣がつくと、求積問題の見え方が変わります。

中学受験算数 図形の求積で差がつく考え方

底辺と高さを正しく見つける

図形の求積で差がつく基本が、底辺と高さを正しく見つけることです。三角形、平行四辺形、台形では、高さが正しく取れないと、公式を覚えていても答えが合いません。

高さとは、底辺に対して垂直な長さです。見た目で長そうな線を高さにするのではなく、「底辺に対して直角になっているか」を確認する必要があります。

たとえば、三角形が斜めに描かれていると、子どもは斜めの辺を高さだと思ってしまうことがあります。しかし、その辺が底辺に対して垂直でなければ高さではありません。

家庭では、「この底辺に対して、直角になっている高さはどれ？」と聞いてください。底辺を変えると高さも変わることを、いくつかの図で確認すると理解しやすくなります。

求積のコツは、公式を速く使うことではありません。公式に入れる数字を正しく見つけることです。

同じ高さの三角形は底辺の比を見る

中学受験算数の図形の求積では、同じ高さの三角形を見つける力が重要です。同じ高さの三角形では、面積比は底辺の比と同じになります。

たとえば、2つの三角形の高さが同じで、底辺の比が2：3なら、面積比も2：3です。高さを実際に求めなくても、面積を比べられるため、入試問題でもよく使われます。

特に、平行線がある図形では、同じ高さの三角形が隠れていることがあります。底辺が同じ直線上にあり、頂点が平行な線上にある場合、高さが同じになることがあります。

ただし、すべての三角形で底辺の比がそのまま面積比になるわけではありません。同じ高さという条件が必要です。家庭では、「この2つの三角形は高さが同じかな？」と必ず確認しましょう。

同じ高さを見つけられると、計算をせずに面積関係をつかめるようになります。

相似があるときは面積比に注意する

図形の求積で相似が出てきたときは、面積比に注意しましょう。相似な図形では、対応する辺の比がそろいます。たとえば、相似比が2：3なら、対応する辺の比は2：3です。

しかし、面積比は2：3ではありません。相似な図形の面積比は、辺の比を2回かけた比になります。相似比が2：3なら、面積比は4：9です。

ここは中学受験算数でよく失点するポイントです。子どもは「比」と聞くと、数字をそのまま使ってしまいがちです。しかし、辺の比なのか、面積比なのかを区別しなければなりません。

家庭で解説するときは、「今見ているのは長さの比？面積の比？」「これは同じ高さの三角形？相似な図形？」と質問しましょう。比を正しく使えると、図形の求積は一段階伸びやすくなります。

家庭で図形の求積を得意にする練習法

求める部分に印をつけてから解く

家庭で図形の求積を練習するときは、まず求める部分に印をつけてから解く習慣をつけましょう。影の部分、斜線部分、面積を求めたい図形に丸や斜線をつけるだけで、考える範囲がはっきりします。

求める部分があいまいなまま式を作ると、どこを足すのか、どこを引くのかが分からなくなります。特に、全体から一部を引く問題では、求める部分と引く部分を区別することが大切です。

次に、分かっている長さ、底辺、高さ、直角、平行などを図に書き込みます。この準備をすることで、「分ける」「引く」「移す」のどれを使うかを考えやすくなります。

家庭では、「まず求めるところに印をつけよう」「次に使えそうな長さを書こう」と声をかけましょう。求積は、式を書く前の準備で正解率が大きく変わります。

親は「どのコツを使ったか」を聞く

図形の求積を家庭で伸ばすには、答えが合っているかだけでなく、どのコツを使ったかを聞くことが大切です。

おすすめの声かけは、「分けたの？引いたの？移したの？」「どこを底辺にしたの？」「高さはどこ？」「同じ高さの三角形はあった？」「これは相似を使う問題？」です。

答えが合っていても、どのコツを使ったか説明できなければ、次の問題で再現できない可能性があります。反対に、答えが間違っていても、「全体から引く」という方針が合っていれば、修正はしやすくなります。

求積問題では、計算結果だけを見ると理解度が分かりにくいものです。「どう形を見たか」を言葉にさせることで、子ども自身も考え方を整理できます。

難問より基本パターンを反復する

図形の求積を得意にするには、難問ばかりを解くより、基本パターンを反復することが大切です。難しい問題も、基本の組み合わせでできていることが多いからです。

まずは、三角形、四角形、円の基本公式を安定させます。そのうえで、分ける、引く、移す、同じ高さ、相似比と面積比の違いを練習します。

1日15分でも構いません。1問を丁寧に扱い、求める部分に印をつけ、どのコツを使うかを考え、解説を読んだ後にもう一度図へ再現します。

問題数を増やすより、同じ見方を安定して使えることが重要です。図形の求積は、センスだけで決まる単元ではありません。基本パターンをくり返すことで、複雑な図形でも解き方の入口が見えやすくなります。

まとめ

中学受験算数の図形の求積のコツは、公式を覚えることだけではありません。複雑な図形をそのまま見ず、「分ける」「引く」「移す」で知っている形に直すことが大切です。

さらに、底辺と高さを正しく見つけること、同じ高さの三角形では底辺の比を見ること、相似では面積比に注意することも重要です。特に、辺の比と面積比の違いは失点しやすいので、図の関係を確認してから使いましょう。

家庭では、まず求める部分に印をつけ、親は「どのコツを使ったか」を聞いてあげてください。難問に急ぐより、基本パターンを反復することで、図形の求積は苦手から得点源へ変えていけます。