中学受験算数 展開図の勉強法とコツ

中学受験算数の展開図で勉強法に迷う理由

この記事では、中学受験算数の展開図をどのように勉強すればよいのか、実物を使った練習から入試で得点する方法まで順を追って解説します。

頭の中だけで立体を組み立てようとする

展開図とは、立体の表面を切り開いて平面に広げた図です。中学受験算数では、立方体や直方体を組み立てたときに、どの面が向かい合うか、どの辺や頂点が重なるかを考えます。

展開図が苦手な子に多いのが、六つの面を頭の中で一度に動かそうとすることです。途中で面の向きが分からなくなり、「何となくこちら側」と感覚で答えてしまいます。

しかし、最初から立体を自在に回転させられる必要はありません。展開図は、一面を動かさない基準面に決め、その周りの面を一枚ずつ起こせば整理できます。

たとえば、中央の正方形を底面にしたら、上下左右の四面を側面として立ち上げます。最後に残った面をふたのように折れば、底面と向かい合う面が分かります。

展開図の勉強では、完成した立体をひらめく力より、一枚ずつ処理する手順を身につけることが大切です。

面だけを見て辺・頂点を追えていない

展開図では、向かい合う面だけでなく、組み立てたときに重なる辺や頂点も出題されます。

面の位置だけを追っている子は、「上面は分かったけれど、辺アと重なる辺が分からない」という状態になりやすいでしょう。展開図上では離れた辺が、組み立てるとぴったり重なるからです。

また、平面上では別々に描かれた三つの点が、立方体になると一つの頂点へ集まります。これを頭の中だけで覚えようとすると、途中で対応が入れ替わります。

家庭学習では、重なる辺に同じ記号をつけましょう。辺アと重なると考えた辺にも「ア」と書きます。頂点には番号をつけ、同じ場所へ集まる点を整理します。

面・辺・頂点を分けて見ることが、展開図の勉強法の基本です。

正解した問題を解き直していない

展開図は、一度正解しても理解が定着しているとは限りません。以前に紙で作った形を覚えていたり、選択肢から何となく選んだりして正解することがあるからです。

確認したいのは、形の向きや記号が変わっても同じ手順で解けるかどうかです。

たとえば、向かい合う面を答えられても、基準面を変えると分からなくなる場合は、展開図の形を覚えただけかもしれません。重なる辺を答えられても、辺の両端にある頂点の対応を説明できなければ、理解は不安定です。

展開図の勉強では、正解した問題も数日後にもう一度確認しましょう。「どの面を基準にしたか」「どの順番で折ったか」を説明できれば、考え方が定着し始めています。

展開図の勉強法で最初に身につけたい基本

基準となる面を一つ決める

展開図の問題を解くときは、最初に基準となる面を一つ決めます。問題を解き終えるまで、その面を動かさずに考えることが重要です。

文字や模様のある面が指定されている場合は、その面を底面や正面にすると整理しやすくなります。特に指定がなければ、中央付近にあり、多くの面とつながっている面を選ぶとよいでしょう。

基準面に丸をつけたら、その周囲にある面がどちらへ起きるかを考えます。「この面は右側面」「こちらは奥側面」と、位置を言葉にすると混乱を防げます。

子どもが途中で分からなくなる場合、基準面が頭の中で動いていることがあります。家庭では「最初に決めた底面はどれ？」と確認してください。

基準面を固定するだけで、考える面の数が減り、展開図を整理しやすくなります。

面を一枚ずつ起こして位置を整理する

基準面を決めたら、直接つながっている面から一枚ずつ起こします。六面を同時に折ろうとしてはいけません。

たとえば、基準面の右につながる面には、右向きの矢印を書きます。上につながる面には上向きの矢印を書き、立体にしたときの位置を記録します。

一枚起こすたびに、「この面は底面と辺を共有している」「この面と向かい合うことはない」と確認します。基準面の周囲に四面が集まれば、それらは基本的に側面です。残った面が基準面の反対側へ回り込みます。

家庭では、紙を実際に折る前に矢印を書かせてみましょう。予想した方向と実際の折れ方を比べることで、面の動きを理解しやすくなります。

重なる辺と頂点に同じ記号をつける

辺や頂点を問う問題では、対応する場所に同じ記号をつける習慣が役立ちます。

まず、組み立てたときに接すると考えた辺の組を探します。それぞれに同じ文字を書きます。次に、辺の両端にある頂点の対応も確認します。

ここで注意したいのは、重なる辺の向きです。辺同士が重なっても、片方の上端が、もう片方の下端と一致する場合があります。辺全体だけで判断せず、両端の頂点まで追いましょう。

立方体の一つの頂点には三つの面が集まります。そのため、同じ頂点になる点を探すときは、「どの三面が集まる場所か」を考えると整理しやすくなります。

練習段階では色鉛筆を使っても構いません。慣れたら、本番と同じ鉛筆だけで、ア・イなどの記号をつける方法へ移りましょう。

家庭でできる展開図の段階的な勉強法

紙で作り予想してから確かめる

展開図が苦手な子には、紙を使った練習が有効です。ただし、最初から答えを見ながら組み立てるのではなく、必ず予想してから確かめます。

方眼紙に立方体の展開図を書き、面にA・B・Cなどの記号をつけます。切る前に、Aと向かい合う面、重なる辺、同じ頂点へ集まる点を予想します。

その後、展開図を切り取り、実際に組み立てて答えを確認します。予想と違っていたら、「面を逆向きに折った」「辺の両端を反対に考えた」など、間違いの原因を探します。

一度に多くの展開図を作る必要はありません。基本的な形を2〜3種類作り、面・辺・頂点の対応を丁寧に確認する方が効果的です。

手を使う学習は遠回りに見えますが、展開図の意味を理解するための大切な段階です。

矢印と記号だけで折り方を表す

実物を折ることに慣れたら、次は紙を切らず、展開図への書き込みだけで考えます。

基準面へ丸をつけ、周囲の面に折れる方向を示す矢印を書きます。向かい合う面には同じ印をつけ、重なる辺には同じ記号を書きます。

この段階では、頭の中だけで処理しなくても構いません。図の上に考えたことを残しながら解くことが目的です。

たとえば、中央の面を底面とし、その右側の面に「右」、上側の面に「奥」と書けば、完成後の位置関係が見えやすくなります。最後に残った面がどこへ来るかも判断しやすくなります。

実物と頭の中だけの中間に、書き込みを使う段階を入れることで、無理なく試験形式へ移行できます。

図だけで解いて理解を定着させる

最後は、実物を使わず、必要最低限の書き込みだけで問題を解きます。

向かい合う面を求める問題では基準面と面の移動だけを追い、辺を問われたら辺と頂点の対応まで書き込みます。すべての面や頂点を整理する必要はありません。問われている部分だけに絞ることが、速く解くコツです。

この段階では、同じ問題を繰り返すだけでなく、展開図を回転させたものや、面の配置が少し違う類題にも取り組みます。

同じ手順を使って説明できれば、形の暗記ではなく考え方が身についています。反対に、向きが変わると止まる場合は、もう一度矢印や実物を使う段階へ戻りましょう。

段階を戻すことは後退ではありません。理解が曖昧な部分を補うための必要な復習です。

展開図を得点源にする学習計画

学年別に問題の難度を調整する

展開図の勉強は、学年に合わせて難度を変えることが大切です。

小4では、立方体や直方体を紙で組み立て、面・辺・頂点の関係に慣れることを優先します。週に1〜2回、10分程度でも十分です。

小5では、向かい合う面、重なる辺、同じ頂点へ集まる点を図だけで判断する問題に進みます。立方体になる展開図を選ぶ問題も扱いましょう。

小6では、サイコロの向き、展開図上の最短距離、複雑な立体の展開図など、入試型の問題へ進みます。ただし、応用で止まる場合は、基準面を決める基本へ戻ることが必要です。

学年より先へ進むことを目標にせず、実物なしで理由を説明できるかを次の段階へ進む目安にしてください。

間違えた問題は時間を空けて解き直す

展開図は、答えを見た直後なら正解しやすい単元です。そのため、時間を空けた解き直しが欠かせません。

まず、その日のうちに紙や書き込みを使って、間違えた理由を確認します。翌日は、実物を使わず同じ問題を解きます。3日後から1週間後には、似た形の類題へ取り組みます。

復習ノートには、「基準面を途中で変えた」「辺の向きを逆にした」「一度に全部折ろうとした」など、原因を一言で残します。

その横に、「基準面へ丸をつける」「辺の両端にも番号をつける」と、次にすることを書きましょう。自分の注意点が明確になると、同じミスを減らせます。

入試では頻出パターン別に演習する

入試対策では、展開図の問題を型別に整理すると効率的です。

代表的なのは、立方体になる展開図の判定、向かい合う面、重なる辺・頂点、サイコロの位置関係、表面上の最短距離です。

問題集を順番に解くだけでなく、どの型で間違えたかを記録しましょう。向かい合う面は解けるが、辺の向きで間違える子もいます。最短距離では、一つの展開方法しか調べず、より短い経路を見落とす場合があります。

志望校の過去問を確認し、よく出る型を優先して練習してください。ただし、難問ばかりに進まず、標準問題を短時間で正確に解ける状態を先に作りましょう。

まとめ

中学受験算数の展開図は、頭の中で立体を自由に動かせる子だけが得意になる単元ではありません。基準面を決め、面を一枚ずつ起こし、辺や頂点の対応を図へ記録する手順を身につければ、安定して解けるようになります。

家庭での勉強は、紙で組み立てる、矢印や記号で整理する、図だけで解くという三段階で進めましょう。実物で確認した後に、同じ問題を図だけで解き直すことが重要です。

また、正解したかどうかだけでなく、なぜその面が向かい合うのか、どの辺がどの向きで重なるのかを説明できるか確認してください。

小4は実物に慣れ、小5は面・辺・頂点の対応を固め、小6は最短距離や過去問へ進みます。間違えた問題は時間を空けて解き直し、原因と次にすることを短く記録しましょう。

展開図は、形の丸暗記ではなく、折る順番を身につけることが得点への近道です。段階を守って練習すれば、算数が苦手な子でも入試で使える力に育てられます。