中学受験算数 展開図の頻出問題と対策

中学受験算数で展開図が頻出になる理由

この記事では、中学受験算数の展開図で頻出の問題を整理し、家庭で優先して身につけたい解き方と対策を順を追って解説します。

空間の理解と条件整理を同時に確認できる

展開図とは、立体の表面を切り開き、平面上に広げた図です。中学受験算数では、立方体や直方体を組み立てたときの面・辺・頂点の位置関係を考える問題がよく出されます。

展開図が入試で扱われやすい理由は、単なる公式暗記ではなく、空間の理解と条件整理の両方を確認できるからです。

たとえば、「面Aと向かい合う面を答えなさい」という問題では、紙の上で離れている面を選ぶだけでは解けません。一面を基準にして周囲の面を起こし、完成後の位置を考える必要があります。

さらに、重なる辺や頂点を問われると、面の位置だけでなく、辺の向きまで追わなければなりません。考えた内容を図へ記録できるかどうかも、正答を左右します。

展開図では、空間を想像する力だけでなく、情報を一つずつ整理する力が試されているのです。

基本問題から難問まで幅広く出題できる

展開図は、受験生の学力に合わせて難度を調整しやすい単元です。

基本問題では、立方体になる展開図を選ぶ、向かい合う面を答えるといった内容が中心です。標準問題では、組み立てた後に重なる辺や、同じ頂点になる点を特定します。

応用問題になると、サイコロを転がした後の面の位置や、直方体の表面上を進む最短距離などが問われます。立体を一度展開し直したり、複数の展開方法を比べたりする必要があります。

このように、同じ展開図でも基本から難関校レベルまで出題できるため、中学受験算数では頻出テーマになります。

ただし、難問ばかりを優先する必要はありません。まずは、面・辺・頂点の基本問題を確実に得点できる状態を作ることが大切です。

頻出でも感覚だけでは安定しない

展開図が得意に見える子の中にも、感覚だけで答えている子がいます。見慣れた形なら正解できても、図を回転させたり、記号の位置を変えたりすると急に迷います。

これは、展開図の形を覚えているだけで、折る手順が身についていない状態です。

入試では、問題集と同じ向きで出題されるとは限りません。面に模様が描かれたり、立方体ではなく直方体や三角柱が使われたりすることもあります。

安定して得点するには、「見たことがある形だから」ではなく、「この面を底面にして一枚ずつ折ると、ここへ来る」と説明できる必要があります。

家庭では、正解した場合も「どの面を基準にしたの？」「どの順番で折ったの？」と確認しましょう。答えの理由を説明できれば、初めて見る問題にも対応しやすくなります。

中学受験算数に出る展開図の頻出5パターン

立方体になる展開図を選ぶ問題

複数の図から、立方体になる展開図を選ぶ問題は基本的な頻出パターンです。

最初に、正方形が6枚あることを確認します。次に一面を基準として周囲の面を起こし、二つの面が同じ場所へ重ならないかを調べます。

正方形が6枚あっても、折ったときに面同士が重なる配置では立方体になりません。また、側面は作れても、上面や下面が不足する形もあります。

子どもがよくする失敗は、「見たことのある形かどうか」だけで判断することです。展開図の向きが変わると、同じ形でも別のものに見えてしまいます。

形を丸暗記するより、基準面から一枚ずつ起こし、六面が別々の位置へ来るかを確認する方が確実です。

向かい合う面を見つける問題

向かい合う面を求める問題も、中学受験で特に頻出です。

基準面を底面と考え、その周囲の面を側面として立ち上げます。最後にふたをするように折れる面が、基準面と向かい合う面です。

四つの面が一直線に並んでいる場合、その四面が立方体の側面を一周することがあります。このとき、側面では一つ飛ばしの面同士が向かい合います。

ただし、「離れている面が反対側」と決めつけてはいけません。展開図上の距離と、完成後の位置は一致しないからです。

家庭では、向かい合う面を答えた後に、「その二面が接しない理由」を説明させましょう。折る順番を言葉にできれば、理解が深まっています。

重なる辺と頂点を特定する問題

展開図では、組み立てた後に重なる辺や、同じ頂点になる点もよく問われます。

辺を考えるときは、一方の辺に「ア」と書き、重なると予想した辺にも同じ記号をつけます。さらに、辺の両端へ1・2などの番号を書き、頂点の向きまで確認します。

辺同士が重なっていても、一方の上端と、もう一方の下端が一致することがあります。辺全体だけを見ていると、頂点の対応を逆にしやすいため注意が必要です。

立方体の一つの頂点には三つの面が集まります。そのため、「この点にはどの三面が集まるか」を考えると、同じ頂点になる点を見つけやすくなります。

面の問題よりも一段難しいため、向かい合う面が安定してから取り組みましょう。

サイコロの面の位置を考える問題

サイコロの展開図では、組み立てた後の上面・正面・右側面などを考えます。サイコロを転がした後に、どの数字が上へ来るかを問う問題もあります。

最初に、向かい合う面を3組整理します。その後、動かさない面を一つ決め、隣接する面の位置を確認します。

転がす問題では、進む方向にある側面が次の底面になり、元の底面が反対側の側面へ移ります。一度に何回も転がそうとせず、1回ごとに上・下・前・後の位置を記録すると混乱しにくくなります。

家庭では実物のサイコロを使えますが、回す前に必ず答えを予想させてください。予想してから確認することで、実物遊びが問題を解く力につながります。

立体表面上の最短距離を求める問題

展開図を利用した最短距離は、標準から応用レベルで頻出です。

立方体や直方体の表面上を、ある点から別の点まで最短で進む道のりを考えます。立体上では折れ曲がって見える道も、通る面を一続きに展開すると平面上の一直線になります。

たとえば、隣り合う二面を通るなら、その二面を平面に開き、始点と終点を直線で結びます。三面を通る問題では、展開方法が複数になることもあります。

その場合は、一通りだけで決めず、考えられる展開図を描いて直線の長さを比べます。

最短距離の問題へ進む前に、どの面とどの面がつながるかを正しく判断できることが必要です。面の対応が不安定な段階で難問へ進むと、解法の丸暗記になってしまいます。

展開図の頻出問題を解く基本手順

動かさない基準面を一つ決める

展開図を解くときは、最初に動かさない基準面を一つ決めます。途中で基準面を変えると、上下左右の関係が入れ替わり、混乱しやすくなります。

文字や模様のある面を問われている場合は、その面を底面や正面にすると整理しやすいでしょう。特に指定がなければ、周囲に多くの面がつながっている面を選びます。

基準面には丸をつけ、解き終えるまで固定します。

子どもが途中で止まったら、「今、どの面を動かさずに考えている？」と聞いてみてください。答えられない場合は、基準面が定まっていない可能性があります。

面を一枚ずつ起こして位置を整理する

基準面を決めたら、直接つながっている面を一枚ずつ起こします。

基準面の右にある面には「右」、上にある面には「奥」など、完成後の位置を書き込んでも構いません。面が起きる方向を矢印で示す方法も効果的です。

六面を同時に動かそうとせず、「まず一枚、次に一枚」と処理します。基準面の周りにある側面を起こした後、残った面がどこへ回り込むかを確認します。

展開図では、空間を一気に想像する力よりも、順番を崩さずに追う力が重要です。

辺と頂点には対応する記号をつける

辺や頂点の問題では、頭の中だけで対応を覚えず、展開図へ記号を残します。

重なる辺には同じ文字をつけ、両端の頂点には番号を書きます。同じ頂点へ集まる点にも共通の番号を使います。

この書き込みにより、面を折るたびに対応を考え直す必要がなくなります。

練習では色分けしてもよいですが、入試本番では色鉛筆を使えないこともあります。慣れてきたら、鉛筆の記号だけで処理する練習へ移りましょう。

家庭でできる展開図の頻出対策

実物・書き込み・図だけの順で練習する

展開図の家庭学習は、実物、書き込み、図だけという三段階で進めます。

最初は方眼紙で展開図を作り、向かい合う面や重なる辺を予想してから組み立てます。次に、紙を切らず、基準面への丸や折る方向の矢印を使って解きます。最後に、必要最低限の記号だけで答えを出します。

いきなり頭の中だけで考えさせると、苦手意識が強くなります。一方、毎回実物を折るだけでは、制限時間のある入試に対応できません。

子どもの理解に合わせて、少しずつ実物への依存を減らしましょう。

間違いを問題の型と原因で分類する

間違えた問題は、「展開図が苦手」でまとめず、型と原因を分けて記録します。

型は、面の判定、向かい合う面、辺・頂点、サイコロ、最短距離などです。原因は、「基準面を変えた」「面を同じ場所へ折った」「辺の両端を逆にした」など、具体的に書きます。

その横に、「最初に基準面へ丸をつける」「辺の端にも番号を書く」と、次回の行動を一つ残します。

原因が見えると、必要な問題だけを選んで復習でき、家庭学習の負担も減らせます。

時間を空けた解き直しで定着を確認する

解説を見た直後に解けても、形を覚えているだけかもしれません。展開図は、時間を空けて解き直すことが重要です。

当日は実物や書き込みを使って考え方を確認します。翌日は、実物なしで同じ問題を解きます。3日後から1週間後には、向きや記号を変えた類題へ取り組みます。

同じ問題では折る手順を再現できるか、類題では形が変わっても同じ考え方を使えるかを確認します。

すべての問題を繰り返す必要はありません。感覚で答えた問題や、自力で始められなかった問題を優先しましょう。

まとめ

中学受験算数の展開図では、立方体になる展開図の判定、向かい合う面、重なる辺・頂点、サイコロ、表面上の最短距離が頻出です。

これらを安定して解くには、動かさない基準面を一つ決め、面を一枚ずつ起こすことが基本です。辺と頂点には対応する記号をつけ、考えた情報を図の上に残しましょう。

家庭学習では、紙で組み立てる、矢印や記号で整理する、図だけで解くという順番で進めます。間違いは問題の型と原因に分け、翌日と数日後に解き直してください。

展開図が頻出だからといって、最短距離などの難問から始める必要はありません。まずは、向かい合う面や重なる辺といった基本・標準問題を確実に得点できる状態を作ることが大切です。

展開図は、感覚だけに頼る単元ではありません。折る順番と記号の使い方を身につければ、入試で安定して得点できる分野へ変えられます。