中学受験算数の切断｜基本ルールと解き方

中学受験算数の切断で最初に理解したい基本

この記事では、中学受験算数の切断について、最初に覚えたい基本ルールから作図の手順、家庭での練習法まで順を追って解説します。

切断面とは立体を切ったときにできる切り口

切断面とは、立体を一枚の平らな面で切ったときにできる切り口です。

食パンや豆腐を包丁で切る場面を思い浮かべると理解しやすいでしょう。外側には何本かの切り跡が見えますが、立体の内部では、それらが一枚の平らな面としてつながっています。

子どもは、問題用紙に描かれた立方体の表面へ何本か線を引く問題だと捉えることがあります。しかし、表面に描く線は、立体の内部を通る切断面の輪郭です。

この意味が分かると、切断線が途中で消えることはなく、奥側の面にも続いていると考えられるようになります。

切断面の頂点は立体の辺上にできる

立方体や直方体を切ったとき、切断面の頂点は、もとの立体の辺上にできます。

たとえば、立方体の3本の辺上にある点を通る平面で切ると、その3点は切断面の頂点になる可能性があります。さらに切断面が別の辺を横切れば、その交点も新しい頂点になります。

基本問題では、切断面がどの辺を通るかを順番に探します。立方体の面の中央に突然頂点ができたり、1本の辺上に2つの交点ができたりすることはありません。

作図後に不自然な位置へ頂点を描いていないか確認すると、誤りに気づきやすくなります。

完成形を頭の中だけで想像しなくてよい

切断問題を前にして、「何角形になるのか想像できない」と手が止まる子がいます。

しかし、基本段階では、三角形や四角形といった完成形を先に当てる必要はありません。決められたルールに従って線を1本ずつ引けば、最後に断面の形が分かります。

指導の場でも、「最初から断面を想像しよう」とすると混乱する子が、「同じ面にある2点だけ探そう」と課題を小さくすると動き出すことがあります。

完成形を考えるのではなく、今引ける1本を見つけることが、切断の基本です。

切断問題を解くための4つの基本ルール

同じ面にある2点を直線で結ぶ

切断問題で最初に使う最も重要なルールは、同じ面にある2点を直線で結ぶことです。

切断面が立方体の一つの面を横切ると、その面には一本の直線が現れます。そのため、同じ面の辺上に2点があれば、その2点を結べます。

反対に、別々の面にある点を、立方体の内部を横切るように直接結ぶことはできません。

子どもには、立方体の面を部屋の壁にたとえ、「この2点は同じ壁にあるかな」と尋ねると伝わりやすくなります。同じ壁にあるなら結べる、違う壁なら今は結べないと判断します。

向かい合う面の切断線は平行になる

立方体には、上面と底面、前面と背面、右面と左面という3組の向かい合う面があります。

向かい合う面は平行です。この2つの面を同じ切断面で切ると、それぞれの面に現れる切断線も平行になります。

たとえば、上面に切断線を引けたものの、底面の線をどの方向へ引けばよいか分からない場合、上面の線と平行になるように考えます。

ただし、「切断線はすべて平行」と覚えてはいけません。平行になるのは、向かい合う2つの面にできる切断線です。どの面とどの面が向かい合っているかを先に確認しましょう。

切断面は閉じた図形になる

立体を平面で切ると、切断面は三角形、四角形、五角形、六角形などの閉じた図形になります。

作図した線が途中で途切れている場合は、まだ完成していません。確認していない面や、見落としている辺が残っています。

最初の点から切断線を指でたどり、最後に出発点へ戻るか確認してみましょう。戻らなければ、どこかの面で次の線を探す必要があります。

「断面は一周して閉じる」という基本を知っているだけでも、作図後の見直しがしやすくなります。

見えない面にも切断線は続いている

立体の見取り図では、手前にある辺を実線、奥側にある辺を点線で表します。

切断が苦手な子は、点線を補助線のように捉え、実際の辺として意識できていないことがあります。そのため、手前の面だけで線を止めてしまいます。

点線で描かれた辺も、実物の立方体には存在します。奥の面を切断面が通れば、その面にも切断線が現れます。

慣れないうちは、実線と点線を指でなぞりながら、立体のどの位置にある辺なのかを確認してください。

基本問題を解く5つの手順

手順1・与えられた点の位置を確認する

問題を見たら、すぐに線を引かず、与えられた点がどの辺上にあるかを確認します。

それぞれの点について、「上面と前面に接する辺」「右面と背面に接する辺」のように、関係する面を考えます。

点の位置を曖昧にしたまま作図を始めると、本来は同じ面にない点を結んでしまいます。

最初は、点のある辺を鉛筆で軽くなぞったり、点の横に記号を書いたりして整理しても構いません。

手順2・同じ面にある2点を探す

次に、与えられた点の中から、同じ面にある2点を探します。

3点が与えられている基本問題では、そのうち2点が同じ面にあることが多くあります。その2点を定規で直線に結ぶと、切断面の最初の一辺ができます。

ここで重要なのは、見た目の距離が近い点を選ぶのではなく、同じ面にあるかどうかで判断することです。

最初の1本が正しく引けると、次に見るべき面が決まります。

手順3・線の端から隣の面へ進む

最初の線を引いたら、その線の両端を確認します。

切断面はそこで終わらないため、線の端から隣の面へ進みます。端点がある辺を共有する別の面を見て、その面にもう一つの点がないか探します。

一度に全体を見ようとせず、一つの面を調べたら次の面へ移ることが大切です。

「線の端から隣の面へ進む」と覚えると、どこを見ればよいか分からなくなる状態を防げます。

手順4・必要に応じて平行関係を使う

隣の面を見ても、結ぶべき点がすぐに見つからない場合があります。そのときは、向かい合う面の平行関係を使います。

すでに一方の面に切断線が描かれていれば、向かい合う面には、それと平行な切断線が現れます。

平行な線を引くことで、新しく交わる辺の位置が分かり、次の頂点を決められます。

最初から平行線を探すのではなく、同じ面の2点を結んだ後、必要になった段階で使うことがポイントです。

手順5・断面が閉じているか確かめる

最後に、描いた切断線が閉じた図形になっているかを確認します。

線を一本ずつ指でたどり、出発した点へ戻れば完成です。戻らなければ、どこかの面を見落としています。

完成後は、三角形、四角形、五角形など、断面が何角形になったかも確認しましょう。

ただし、見た目だけで長方形や正方形と決めてはいけません。斜めに描かれた立体では、直角や辺の長さを条件から確かめる必要があります。

家庭で切断の基本を定着させる練習法

立方体の実物と問題の図を対応させる

切断の基本が理解しにくい子には、ティッシュ箱、積み木、透明ケースなどを使った練習が効果的です。

問題の見取り図と同じ向きに箱を置き、実線で描かれた辺と点線で描かれた辺が、実物のどこに当たるかを確認します。

透明ケースに輪ゴムを斜めに巻けば、切断面の輪郭が立体を一周する様子も表せます。

実物だけで終わらせず、その直後に同じ図を紙で見せることが大切です。実物と平面図を往復すると、見えない面を考えやすくなります。

作図と面積・体積の計算を分ける

入試問題では、切断面を描いた後に、断面積や切断後の体積を求めることがあります。

しかし、基本作図が不安定な段階で計算まで同時に行うと、負担が大きくなります。どの段階で間違えたのかも分かりにくくなります。

最初は断面を描くだけの問題へ絞りましょう。作図が安定した後に、辺の長さ、断面積、体積の順で内容を加えます。

基本作図を10問解き、8問程度を自力で正解できることが、計算問題へ進む一つの目安です。

1回10分の基本練習を繰り返す

切断は、長時間まとめて勉強するより、短い練習を繰り返すほうが手順を覚えやすい単元です。

1回10分程度で基本問題を2～3問解き、週に3回ほど取り組みます。最初は三角形や四角形になる問題を中心にしましょう。

毎回、「同じ面の2点を探す」「隣の面へ進む」「閉じているか確認する」という同じ手順を繰り返します。

難問を1問解くことより、基本問題で手順を再現できることが優先です。

間違えた線の理由を言葉にする

解き直しで正解の図を写すだけでは、同じ間違いを繰り返しやすくなります。

「違う面の点を結んだ」「奥の面を見落とした」「平行関係を使えなかった」「断面が閉じていなかった」など、間違えた原因を一言で書かせましょう。

子どもが説明できない場合は、保護者が答えを教えるのではなく、「この2点は同じ面にあるかな」と基本へ戻します。

自分の間違いを言葉にできるようになると、次の問題で注意すべき場所が明確になります。

学年に応じて到達目標を変える

小学4年生では、立方体の面・辺・頂点を理解し、実物と見取り図を対応させることが目標です。

小学5年生では、基本ルールに従って三角形や四角形の切断面を作図し、平行関係を使える状態を目指します。

小学6年生では、五角形や六角形の断面、断面積、切断後の体積、相似や比を含む問題へ進みます。

ただし、小6でも基本作図を間違える場合は、学年に関係なく基本問題へ戻りましょう。難しい問題を続けるより、土台を直すほうが得点は安定します。

まとめ

中学受験算数の切断で最初に身につけたい基本は、完成した断面を頭の中で想像することではありません。

まず、同じ面にある2点を直線で結びます。次に、線の端から隣の面へ進み、必要に応じて向かい合う面の平行関係を使います。最後に、切断面が閉じた図形になっているかを確認します。

家庭では、箱や積み木などの実物と問題の図を対応させると、見えない面や点線の辺を理解しやすくなります。作図と計算を分け、1回10分程度の基本練習を繰り返すことも効果的です。

切断は、図形のセンスだけで決まる単元ではありません。「同じ面を探す」「隣の面へ進む」という基本手順が定着すれば、算数が苦手な子でも自力で断面を描けるようになります。