中学受験算数｜小6の「場合の数」完成法

小6で「場合の数」が伸びない4つの原因

この記事では、中学受験算数で小6が「場合の数」を入試の得点につなげるために、仕上げるべき頻出分野と家庭での学習方法を順番に解説します。

小6になると、場合の数は独立した基本問題だけでなく、整数、規則性、図形などと組み合わせて出題されます。

ところが、応用問題へ進むことを急ぎ、数え方の基本が曖昧なままになっている子も少なくありません。小6で伸び悩んだときは、難問を増やす前に失点の原因を確認しましょう。

基本問題を理解済みとして飛ばしている

塾で何度も学んだ単元は、「もう分かっている」と考え、基本問題の復習を省きがちです。

しかし、1・2・3・4のカードから異なる2枚を並べる問題は解けても、0を含むと間違える子がいます。

0・1・2・3から2枚を使って2桁の整数を作る場合、十の位に0は置けません。十の位は1・2・3の3通り、そのそれぞれについて一の位は残り3通りなので、3×3＝9通りです。

基本的な掛け算を知っていても、条件を確認できなければ得点できません。小6でも、条件の少ない問題を根拠つきで解けるか点検する必要があります。

条件が増えると思いつきで数えている

「偶数になる」「特定の2人が隣り合う」「少なくとも1個含む」などの条件が加わると、思いついたものから書き始める子がいます。

この方法では、数が少ないうちは正解できても、複雑になるほど漏れと重なりが増えます。

条件付き問題では、最も強い条件を先に固定します。偶数を作るなら一の位、特定の人を端に置くならその人の位置、2人が隣り合うなら2人を一つのまとまりとして考えます。

問題用紙に「一の位で場合分け」などと書き、数える基準を明確にするだけでも、途中で方針がぶれにくくなります。

正解した問題を解き直していない

場合の数は、整理の方法が曖昧でも偶然正解することがあります。

答えが合った問題でも、「何を固定したのか」「なぜ掛け算を使えたのか」を説明できなければ、条件が変わった類題では解けない可能性があります。

たとえば、思いついた順に12通りを書き出して正解したとしても、それは再現できる解法とは限りません。

小6では、正解した問題も含めて、数え方を一文で説明させましょう。「先頭の数字を固定した」「順番を区別しないので重複を除いた」と言えれば、考え方が定着しています。

難問に時間をかけすぎている

場合の数は、条件が増えると書き出しの量が多くなり、時間を使いやすい単元です。

過去問で複雑な場合分けに入り、15分以上使った結果、後半の取りやすい問題を解けなかったというケースもあります。

入試では、すべての問題を完答する必要はありません。最初の2～3分で整理の方針が立たなければ、一度印をつけて次へ進む判断も必要です。

小6の過去問演習では、正誤だけでなく、方針を決めるまでの時間と問題全体にかかった時間も記録しましょう。

小6の「場合の数」で完成させたい頻出分野

小6では、すべての難問を解けることより、入試で頻出する標準問題を確実に得点することが重要です。特に次の4分野を優先してください。

並べ方と選び方を正しく区別する

並べ方では順番が変われば別の1通りになり、選び方では順番が違っても同じ組になる場合があります。

A・B・C・Dの4人から委員長と副委員長を選ぶなら、役割があるため、委員長は4通り、副委員長は残り3通りです。答えは4×3＝12通りになります。

一方、4人から掃除係を2人選ぶだけなら、ABとBAは同じ組です。答えはAB、AC、AD、BC、BD、CDの6通りです。

判断に迷ったら、「入れ替えると役割・位置・作られる数が変わるか」を確認します。変わるなら順番を区別し、選ばれた集まりが同じなら区別しません。

条件付き問題を場合分けして解く

小6では、複数の条件を整理する問題が増えます。場合分けでは、互いに重ならず、すべてを含む分け方を選ぶことが大切です。

0・1・2・3から異なる2枚を使って2桁の偶数を作る問題なら、一の位が0の場合と2の場合に分けます。

一の位が0なら、十の位は1・2・3の3通りです。一の位が2なら、十の位は1・3の2通りです。したがって、3＋2＝5通りになります。

「数字が小さい場合と大きい場合」のような曖昧な分け方ではなく、「一の位が0」「一の位が2」のように、重ならない条件で分けましょう。

道順や塗り分けを図で整理する

道順や色の塗り分けでは、頭の中だけで数えず、図へ情報を書き込むことが基本です。

碁盤の目の道順では、各交差点までの通り数を書き、左と下など直前の地点の数を足します。指定地点を必ず通る場合は、出発点から指定地点までと、指定地点から目的地までを分けて求め、最後に掛けます。

塗り分けでは、最初の場所の色を固定し、隣に使える色を順番に数えます。ただし、輪の形では最初と最後も隣り合うため、最後の条件を忘れてはいけません。

図を使う目的は、きれいに描くことではなく、条件を目で確認できるようにすることです。

「少なくとも」は反対の場合も検討する

「少なくとも1回」「一つ以上含む」という問題では、条件に合う場合を直接数えるより、全体から反対の場合を引く方が簡単なことがあります。

硬貨を3回投げて、少なくとも1回表が出る場合を考えます。すべての出方は2×2×2＝8通りです。

「少なくとも1回表」の反対は「一度も表が出ない」、つまり裏・裏・裏の1通りです。したがって、8－1＝7通りとなります。

直接数える方法と、全体から反対を引く方法の両方を考え、短く安全な方を選べるようにしましょう。

小6に合った場合の数の学習法

小6では時間が限られているため、理解度に合わない問題を漫然と繰り返すのは効率的ではありません。段階と失点原因を明確にして進めます。

基本・標準・発展の3段階で進める

基本段階では、並べ方、選び方、樹形図、簡単な道順を扱います。標準段階では、「偶数になる」「必ず指定地点を通る」など、条件が一つ加わった問題を解きます。

発展段階では、複数条件や整数・図形との複合問題へ進みます。

家庭学習の配分は、基本2問、標準3問、発展1問程度でも構いません。発展問題ばかりに時間を使わず、入試で取るべき基本・標準問題を優先します。

基本問題を5問中4問以上、理由を説明しながら解けない場合は、発展問題を減らして土台を整えましょう。

間違いを4種類に分けて復習する

場合の数の誤答は、「漏れ」「重なり」「条件ミス」「方法選択」の4種類に分けられます。

数えるべき場合を落としたら漏れ、同じものを二度数えたら重なりです。0を先頭に置くなど、問題文の決まりを守らなかったら条件ミスになります。

樹形図の枝が多すぎて途中で混乱した場合は、方法選択の問題です。表や場合分けの方が適していた可能性があります。

ノートには「条件・0を十の位に置いた」のように一行だけ記録します。3～5題分を並べると、次に戻るべき内容が見えてきます。

翌日と1週間後に類題で確認する

解説を読んだ直後の正解は、答えの並びを覚えているだけかもしれません。

当日は、間違えた場所と原因を確認して解き直します。翌日は同じ問題を解説なしで解き、1週間後には数字や条件が少し違う類題へ進みます。

同じ問題を解けても、類題で手が止まるなら、方法ではなく答えを記憶していた可能性があります。

条件が変わっても「一の位を固定する」「順番を区別しない」など、同じ考え方を使えれば定着したと判断できます。

過去問は単元別から年度別へ移行する

過去問を始めたばかりの段階では、場合の数の問題だけを抜き出し、時間を気にせず正確に解きます。

弱点が見えたら、同じ型の基本・標準問題へ戻ります。類題で正解できるようになった後、もう一度過去問へ戻りましょう。

次の段階では、算数全体の年度別過去問を制限時間内で解きます。ここでは、場合の数を解く順番や、後回しにする判断も確認します。

単元別演習は解法を磨くため、年度別演習は試験中の使い方を練習するためのものです。目的を分けると、過去問を有効に活用できます。

家庭で支える場合の数の入試対策

小6の家庭学習では、親が難しい解法を教えるより、子どもが自分の整理方法を説明できるよう支えることが重要です。

答えより数え方の基準を確認する

答え合わせでは、最初に「何を固定したの？」と聞きます。

さらに、「順番を入れ替えたら別になる？」「場合分けは重なっていない？」「まだ数えていない条件はない？」と確認してください。

答えが合っていても、基準を説明できなければ復習対象です。反対に、答えは違っていても、場合分けの方針が正しければ、その部分は認めて構いません。

「一の位で分けたところは合っている。0の場合をもう一度見よう」と伝えると、正しい考え方を残したまま修正できます。

1回15分の短い演習を継続する

場合の数だけを長時間勉強すると、後半は書き出しが雑になりやすくなります。

家庭では1回15分程度を目安に、標準問題1～2題と前日の解き直し1題を行います。週3～4回でも、目的を決めて続ければ効果があります。

月曜日は並べ方、火曜日は選び方と毎回変えるより、2～3日は同じ型を続けた方が整理方法を定着させやすくなります。

正確に解けるようになってから、制限時間を少しずつ短くしましょう。

解答時間と撤退時間を記録する

過去問ノートには、正誤だけでなく所要時間も記録します。

「方針決定に2分、解答に8分」のように分けると、どこで時間を使っているかが分かります。方針を決めるまでに時間がかかるなら、整理方法の選択に課題があります。

また、難問で場合分けが増え続けたら、何分で一度離れるかを決めておきます。学校や問題構成によりますが、最初の2～3分で入口が見えなければ、印をつけて次へ進む練習は有効です。

入試本番での撤退は諦めではなく、取れる点を守るための戦略です。

難問より取るべき問題を優先する

小6になると、難しい問題を解けなければ合格できないように感じるかもしれません。しかし、合否を分けるのは、基本・標準問題の取りこぼしであることも少なくありません。

場合の数では、複雑な最終設問より、条件が一つの途中設問を確実に取ることが大切です。

家庭では、難問を完答したかだけでなく、「取るべき設問を時間内に正解したか」を評価してください。

難問1題に30分使うより、標準問題3題の漏れや条件ミスを直す方が、得点の安定につながります。

まとめ｜小6の「場合の数」は再現力で仕上げる

中学受験算数で小6が「場合の数」を仕上げるには、難問の解法を数多く覚えるより、基本・標準問題の整理方法を自力で再現できることが重要です。

まず、並べ方と選び方を区別し、条件が加わったら最も強い条件を固定します。道順や塗り分けでは図を使い、「少なくとも」を含む問題では反対の場合から数える方法も検討しましょう。

家庭学習では、間違いを「漏れ」「重なり」「条件ミス」「方法選択」に分類し、翌日と1週間後に解き直します。過去問は、単元別で解法を確認した後、年度別で時間配分や後回しの判断を練習してください。

親は答えをすぐに教えず、「何を固定したの？」「順番を入れ替えたら別？」「場合分けに重なりはない？」と問いかけます。

小6の仕上げで大切なのは、一度解けたことではなく、時間を空けても同じ方法を使えることです。取るべき問題を正確に整理し、難問へ時間を使いすぎない判断まで身につければ、場合の数を入試で安定した得点源にできます。