中学受験算数・規則性の出題傾向と対策

中学受験算数における規則性の出題傾向

この記事では、中学受験算数で出やすい規則性の問題と、出題傾向に合わせた家庭での対策を順を追って解説します。

規則性は、数字や図形の並びから共通する仕組みを見つける単元です。

入試では「規則性」という名前で独立して出題されるだけでなく、場合の数、図形、数の性質、日暦算などと組み合わされることもあります。そのため、問題の見た目だけでは規則性と気づきにくい点が特徴です。

ただし、基本となる出題形式は限られています。まずは、よく出る型を押さえましょう。

一定の差で増減する数列

最も基本的なのが、同じ数ずつ増えたり減ったりする数列です。

たとえば、

3、7、11、15、19、……

という並びは、前の数に4を加えると次の数になります。

この形式では、次の数を答えるだけでなく、「50番目の数」「ある数が何番目に現れるか」「最初から30番目までの和」などが問われます。

基本となる考え方は、1番目から求める番号までに何回増えるかを確認することです。20番目までに増える回数は20回ではなく19回です。

「順番から1を引く」という形だけを覚えるのではなく、実際に1番目から5番目までの矢印を4本書くと、増える回数を理解しやすくなります。

同じ並びを繰り返す周期問題

周期問題も、中学受験算数の規則性で頻出する形式です。

赤、青、黄、緑、赤、青、黄、緑、……

この並びでは、4個で同じ並びが繰り返されます。

53番目の色を求めるなら、

53÷4＝13余り1

となるため、次の周期の1番目である赤が答えです。

入試では色や記号だけでなく、曜日、ライトの点滅、歯車、点の移動などに置き換えられます。見た目が変わっても、「何回進むと最初の状態に戻るか」を考える点は同じです。

特に注意したいのが、割り切れる場合です。余りが0なら周期の0番目ではなく、まとまりの最後に当たります。

個数が段階的に増える群数列

数字をいくつかのまとまりに分け、そのまとまりの大きさが変化する問題を群数列と呼びます。

たとえば、

1｜2、2｜3、3、3｜4、4、4、4｜……

という並びでは、1が1個、2が2個、3が3個と続きます。

この形式では、「50番目の数」「数字の7が並び終わる位置」「最初から100番目までの和」などが問われます。

1番目のまとまりまでに1個、2番目までに1＋2＝3個、3番目までに1＋2＋3＝6個と増えていくため、三角数の考え方と結びつくこともあります。

群数列は単純な周期ではありません。区切り線を入れ、各まとまりに含まれる個数を整理することが重要です。

図形や点の移動を扱う規則性

規則性は数字だけでなく、図形問題としても出題されます。

代表的なのは、正方形を横につなげたときの辺の本数です。

正方形1個では4本、2個では7本、3個では10本となり、1個増えるたびに辺が3本ずつ増えます。

ほかにも、正三角形を積み上げる問題、点を一定の順序で結ぶ問題、図形を回転させる問題などがあります。

図形の規則性では、完成した図を眺めるだけではなく、「前の図から何が何個増えたか」を確認します。図の番号と個数を表にすると、数字の規則として考えやすくなります。

規則性の入試問題が難しくなる3つのパターン

基本問題では規則が見つけやすい一方、入試では条件が加えられます。

難しい規則を思いつく力よりも、条件を整理し、どの規則が使われているかを分けて考える力が求められます。

規則が途中で変化する

最初から最後まで同じ増え方をするとは限りません。

たとえば、

2、4、6、9、12、15、19、23、27、……

という並びでは、最初は2ずつ、次は3ずつ、その次は4ずつ増えています。

数字だけを見ると複雑ですが、差を書き出すと、

2、2｜3、3、3｜4、4、4、4｜……

という別の規則が見えてきます。

入試では、元の数列だけで規則が分からないときに、隣り合う数の差を調べる問題がよく見られます。「数そのもの」と「増え方」の2段階で観察することが必要です。

複数の規則が組み合わされる

奇数番目と偶数番目で別の規則を持つ数列もあります。

1、10、3、20、5、30、7、40、……

奇数番目には1、3、5、7と奇数が並び、偶数番目には10、20、30、40と10の倍数が並んでいます。

このような問題では、隣り合う数だけを比べても規則が見えません。1つおきに数字を取り出すことが必要です。

図形でも、色の周期と図形の向きの周期が同時に進む場合があります。2つの周期が再びそろう位置を求めるときは、最小公倍数の考え方につながります。

大きな番号を短時間で求めさせる

基本問題では10番目程度でも、入試では100番目、202番目、1000番目など、すべてを書き出せない番号が指定されます。

これは計算を難しくするためではありません。小さな例から規則を見つけ、式や周期を使って処理できるかを見るためです。

最初の5～10個を書き出すことは必要ですが、最後まで書き続ける方法では時間が足りません。

「どこまで書けば規則が確認できるか」「ここから先を式にできないか」と考える習慣が、入試での時間短縮につながります。

出題傾向に合わせた規則性の勉強法

規則性の対策では、問題数を増やすだけでは十分ではありません。

頻出する型を整理し、同じ手順で規則を見つけられる状態を目指します。

書き出しから式へ段階的に進む

規則性が苦手な子に、最初から式を求めるのは逆効果です。

まずは最初の5～10項を書き出し、差やまとまりを確認します。その後、50番目や100番目を求めるために式へ移ります。

たとえば、5、8、11、14、……の20番目なら、最初に小さな番号で確認し、

5＋3×（20－1）

と表します。

書き出しは規則を発見するため、式は大きな番号を効率よく求めるために使うものです。この役割の違いを子どもが理解すると、式の丸暗記を防げます。

問題を4つの型に分類する

家庭学習では、問題を次の4つに分類すると整理しやすくなります。

・一定の差で増減する数列
・同じ並びを繰り返す周期
・まとまりの大きさが変わる群数列
・図形や点の動きに表れる規則

問題集の余白に「数列」「周期」「群」「図形」と書くだけでも構いません。

どの型か判断する習慣がつくと、初めて見る問題でも、差を取るのか、割り算を使うのか、まとまりを数えるのかを選びやすくなります。

余りと「何番目」の意味を確認する

周期問題では、割り算ができても余りの意味を理解していない子が少なくありません。

5個周期で73番目を求めるなら、

73÷5＝14余り3

です。

この「3」は、答えそのものではなく、15回目のまとまりの3番目を表しています。

家庭では、割り算の式を書いた後に、「余り3は何を意味するの？」と聞いてください。言葉で説明できれば、数字や記号が変わっても対応できます。

条件を変えた類題で理解を確かめる

一度正解しただけでは、解法を覚えていた可能性があります。

20番目を53番目に変える、3個周期を4個周期に変える、正方形を三角形に変えるなど、条件を一つだけ変えた類題に取り組ませましょう。

数字が変わっても同じ手順で解ければ、考え方が定着しています。

間違えた場合は答えを書き写すのではなく、「周期を数え間違えた」「余り0を0番目と考えた」など、原因を一言で残すことが効果的です。

家庭で確認したい学年別の到達目標

規則性は学年によって求める完成度が異なります。難しい問題へ急ぐより、現在の学年で身につけたい力を確認しましょう。

小4は並びを書いて規則を見つける

小学4年生では、簡単な数列や周期を実際に書き出し、同じところと変わるところを見つけられれば十分です。

「いくつずつ増えた？」「何個で同じ並びに戻る？」と問いかけ、自分の言葉で説明させましょう。

式を早く作ることより、手を動かして規則を発見する経験を増やす時期です。

小5は周期と図形の規則を式にする

小学5年生では、書き出して見つけた規則を、計算で処理する力を育てます。

大きな番号を周期で割る、図形が1つ増えたときの増加量を式にする、まとまりごとの個数を表にする練習が中心です。

正解した後に、「なぜその式になるのか」を説明できる状態を目指します。

小6は複合問題と過去問に取り組む

小学6年生では、規則が途中で変わる問題や、数の性質・図形と組み合わされた問題に取り組みます。

過去問では、規則性という単元名だけで探さず、数列、周期、図形の個数、点の移動なども確認してください。

解けなかった問題は、基本の4分類のどれに当たるかを考えます。複雑な入試問題も、基本となる型に分解できれば、最初の一歩を見つけやすくなります。

まとめ

中学受験算数の規則性では、一定の差で増える数列、周期、群数列、図形の個数や点の移動が主な出題形式です。

入試では、規則が途中で変わる、複数の規則が組み合わされる、大きな番号を求めるといった形で難度が上がります。しかし、必要なのは特別なひらめきではありません。

最初の数項を書き出し、差を調べ、まとまりを区切り、必要に応じて式にするという手順を身につけることが大切です。

家庭では、問題を「数列・周期・群・図形」の4つに分類し、子どもに規則を言葉で説明させてください。1日15分程度でも、基本問題と類題を繰り返せば、問題の見た目に惑わされにくくなります。

出題傾向を知る目的は、難しい問題を先回りすることではありません。何を見つければよいかを明確にし、初見の問題でも手を動かせる状態を作ることです。