相当算の応用で差がつく中学受験算数の考え方

中学受験算数の相当算応用でつまずく理由

この記事では、中学受験算数の相当算応用でなぜつまずくのかを整理し、家庭でどのように復習すれば応用問題に対応できるようになるのかを順を追って解説します。

基本問題と応用問題では「全体」が変わる

相当算の基本問題は、「全体の何分のいくつが分かっていて、全体を求める」という形が多くあります。たとえば、「全体の3分の2が60です。全体はいくつですか」という問題です。この場合、全体を3つに分けたうちの2つ分が60なので、1つ分は30、全体は90と考えます。

ところが応用問題になると、途中で「全体」と見るものが変わることがあります。ここで多くの子が混乱します。

たとえば、「持っていたお金の3分の1を使い、残りの2分の1を使ったところ、300円残りました」という問題では、最初のお金全体を1と見る場面と、3分の1を使ったあとの残りを1と見る場面があります。

つまり、相当算の応用では「何を1と見るか」が一度で終わらないのです。基本問題では解けるのに応用で止まる子は、この全体の切り替えがうまくできていないことが多いです。

「残りの何分のいくつ」で混乱しやすい

相当算の応用で特につまずきやすい表現が、「残りの何分のいくつ」です。

「全体の3分の1を使った」なら、最初の全体を1として考えればよいので比較的分かりやすいです。しかし、「残りの2分の1を使った」となると、その2分の1は最初の全体の2分の1ではありません。最初に使った後の残りを1としたときの2分の1です。

この違いが分からないと、子どもは見えている分数をすべて最初の全体にかけてしまいます。その結果、式は書けているように見えても、実際には問題文の意味と合っていないことがあります。

家庭で見ているときは、「残りの」という言葉が出てきたら、そこで一度止まるように声をかけましょう。「今、何を全体として見ているのかな？」と聞くだけでも、子どもは条件を整理しやすくなります。

式だけ覚えていると応用に対応できない

相当算の応用で伸び悩む子の多くは、基本の式だけを覚えています。「全体を求めるときは、分かっている量を割合で割る」といった覚え方です。

もちろん、この考え方は間違いではありません。ただし、応用問題では、どの量が分かっているのか、その量が全体のどの部分にあたるのかを自分で判断しなければなりません。

たとえば、「全体の5分の3が90」と「全体の5分の3を使った残りが90」では、90の意味が違います。前者では90が5分の3にあたりますが、後者では90は残りの5分の2にあたります。

式だけを覚えている子は、この違いを読み取る前に計算を始めてしまいます。相当算の応用では、式の前に「全体・部分・割合」を整理する力が必要です。

相当算の応用で必要な基本の見直し

「何を1と見るか」を毎回確認する

相当算の応用を解くとき、最初に確認すべきことは「何を1と見るか」です。これは基本問題でも応用問題でも変わりません。

たとえば、「ある数の4分の3が120です。ある数はいくつですか」という基本問題なら、「ある数」を1と見ます。120は、その4分の3にあたる量です。

応用問題では、この確認を複数回行います。「最初に持っていたお金」を1と見る場面もあれば、「残ったお金」を1と見る場面もあります。どの場面で何を1と見るのかを分けられるかが、応用問題の大きなポイントです。

家庭では、問題文を読んだあとに「最初の全体は何？」「途中で新しい全体になっているところはある？」と聞いてみましょう。子どもが答えられない場合は、まだ計算に進む段階ではありません。まず、全体を見つける練習に戻ることが大切です。

分かっている量がどこにあたるかを見る

相当算では、分かっている量が全体なのか、部分なのかを正しく見分ける必要があります。応用問題では、この判断がさらに重要になります。

たとえば、「残りが300円でした」と書かれている場合、その300円は最初の全体ではありません。使った後に残った部分です。その部分が、最初の全体のどれだけにあたるのかを考える必要があります。

子どもが応用問題で止まるときは、「300円をどう使えばいいのか分からない」と感じています。そこで、いきなり式を教えるのではなく、「この300円は最初のお金全部かな？それとも残った一部かな？」と聞きます。

この確認によって、子どもは数字の役割を意識できるようになります。相当算の応用では、数字を見つける力よりも、数字がどの場所にあるのかを読む力が大切です。

線分図で段階を分けて整理する

相当算の応用では、線分図がとても役立ちます。ただし、基本問題のように1本の線だけで済まない場合もあります。

たとえば、「全体の3分の1を使い、残りの2分の1を使った」という問題では、まず最初の全体を1本の線で表します。その3分の1を使い、残りの3分の2が残ります。次に、その残りの3分の2を新しいまとまりとして見て、さらに2分の1に分けます。

このように、応用問題では線分図を段階ごとに描くと整理しやすくなります。無理に一つの式で処理しようとすると、子どもはどの分数がどの全体にかかっているのか分からなくなります。

線分図は、きれいに描く必要はありません。大切なのは、最初の全体、使った部分、残りの部分が見えることです。家庭では「一気に解かなくていいから、まず1回目に何が起きたかを線にしよう」と声をかけるとよいでしょう。

中学受験算数でよく出る相当算の応用パターン

2回以上使う・残る問題

相当算の応用でよく出るのが、2回以上使ったり、残ったりする問題です。

たとえば、「あるお金の4分の1を使い、残りの3分の2を使ったところ、200円残りました。最初にいくら持っていましたか」というような問題です。

このタイプでは、最初の全体を1としたとき、1回目に使った部分と残りを分けます。そのあと、残りを新しい全体として見て、2回目に使った部分と最終的に残った部分を整理します。

子どもが混乱しやすいのは、2回目の分数を最初の全体に対して考えてしまうことです。しかし、「残りの3分の2」は、残った量を1としたときの3分の2です。

家庭学習では、「1回目」「2回目」「最後に残った量」のように、出来事を順番に書き出すと分かりやすくなります。応用問題は、難しい式を覚えるより、順番を整理することが大切です。

百分率や歩合が混ざる問題

相当算の応用では、分数だけでなく百分率や歩合が混ざることもあります。

たとえば、「定価の20％引きが1600円でした。定価はいくらですか」という問題です。20％引きということは、売値は定価の80％です。つまり、1600円は定価そのものではなく、定価の80％にあたります。

ここで大切なのは、20％という数字に飛びつかないことです。「20％引き」だから使うのは20％ではなく、残った80％の方です。この読み取りができないと、1600÷0.2のような誤った式を立ててしまいます。

歩合でも同じです。「2割引き」は、値引き後が8割です。「3割増し」は、増えた後が13割です。相当算の応用では、問題文の表現から、分かっている金額や量が全体の何％にあたるのかを判断する必要があります。

家庭では、「この1600円は定価の何％？」と聞く習慣をつけるとよいでしょう。

売買損益・濃度につながる問題

相当算の応用は、売買損益や濃度の問題にもつながります。

売買損益では、「定価の何割引き」「仕入れ値の何％の利益」といった表現が出ます。これは、ある割合にあたる金額から、もとの金額を求める相当算です。

濃度では、食塩水全体と食塩の量の関係を考えます。たとえば、「8％の食塩水に含まれる食塩が16gです。食塩水全体は何gですか」という問題では、16gは食塩水全体の8％にあたります。したがって、全体を求める相当算になります。

このように、相当算の応用は単元名を変えて出てくることがあります。見た目が売買損益や濃度でも、考え方は「分かっている量が全体のどこにあたるか」です。

相当算をしっかり理解しておくと、他の単元でも文章題の見通しが立ちやすくなります。逆に、相当算があいまいなままだと、割合や比の応用でつまずきやすくなります。

家庭でできる相当算応用の対策法

基本問題に戻って全体と部分を言わせる

相当算の応用でつまずいたときは、いきなり応用問題を何度も解き直すより、基本問題に戻る方が効果的です。

たとえば、「全体の3分の2が60です。全体はいくつですか」という問題で、「全体は何？」「60はどこにあたる？」と確認します。子どもが「60は全体の3分の2」と言えるなら、基本は理解できています。

次に、「残りが60です」という表現に変えるとどうなるかを考えます。このように、基本問題から少しずつ応用に近づけると、子どもは違いに気づきやすくなります。

家庭では、答えを急がせるより、「今、何を1として見ているの？」と問いかけることが大切です。相当算の応用力は、難しい式を覚えることではなく、全体と部分を自分で言えることから育ちます。

問題文に「全体・部分・割合」を書き込む

相当算の応用では、問題文への書き込みが非常に有効です。

たとえば、「定価の2割引きが1600円でした」という問題なら、「定価」に全体、「2割引き後の8割」に割合、「1600円」に部分と書き込みます。すると、1600円が定価の8割にあたることが見えます。

また、「残りの2分の1」という表現には丸をつけ、「残りが新しい全体」とメモします。この書き込みがあるだけで、子どもは最初の全体と途中の全体を区別しやすくなります。

文章題が苦手な子は、数字だけを見て式を立てようとします。しかし、応用問題では、数字の役割を読まないと正しい式になりません。

家庭では、丸つけのときに「この数字は全体？部分？」「この割合は何に対する割合？」と確認しましょう。応用問題ほど、書き込みによる整理が得点につながります。

難問より同じ型の反復で応用力を育てる

相当算の応用を伸ばすには、難問を大量に解くより、同じ型を少しずつ変えながら反復する方が効果的です。

まずは「全体の何分のいくつが分かっている」基本型を確認します。次に、「残りの何分のいくつ」を含む問題へ進みます。その後、百分率や歩合、売買損益、濃度へ広げます。

1日で一気に進める必要はありません。1日10〜15分で、同じ型を2〜3問解くだけでも十分です。学習心理学では、同じ内容を時間を空けてくり返す学習は記憶の定着に効果があるとされています。相当算の応用でも、短時間の反復が有効です。

保護者の方は、「応用だから難しい問題をやらせなければ」と焦らなくて大丈夫です。応用力は、基本の見方を別の場面で使えるようにすることで育ちます。

まとめ

中学受験算数の相当算応用でつまずく原因は、計算力だけではありません。多くの場合、「何を1と見るか」が途中で変わることや、「残りの何分のいくつ」を正しく整理できないことが原因です。

相当算の応用では、まず全体と部分の関係を見直しましょう。分かっている量がどこにあたるのか、割合は何に対する割合なのかを確認することが大切です。線分図を使うと、最初の全体、使った部分、残りの部分を見える形にできます。

頻出する応用パターンには、2回以上使う問題、残りを考える問題、百分率や歩合が混ざる問題、売買損益や濃度につながる問題があります。どの問題でも、基本は「全体を1として、部分がどこにあたるかを見る」ことです。

家庭で対策する場合は、応用問題でつまずいたら基本問題に戻り、子どもに「全体は何か」「分かっている量はどこか」を言わせましょう。問題文に「全体・部分・割合」を書き込む習慣も効果的です。

相当算の応用は、正しい順番で練習すれば少しずつ対応できるようになります。焦って難問を増やすより、基本の考え方を何度も使い直すことが、中学受験算数の得点力につながります。