中学受験算数の線分図｜出題傾向と頻出問題

中学受験算数における線分図の出題傾向

この記事では、中学受験算数で線分図を使う問題の出題傾向と、得点につなげるために家庭で取り組みたい対策を順を追って解説します。

線分図そのものを書く問題は多くない

中学受験算数では、「線分図を書きなさい」と直接指示される問題はそれほど多くありません。

実際には、和差算、割合、比、年齢算、相当算などの文章題を解く途中で、子ども自身が線分図を使うか判断します。

そのため、線分図の形を覚えているだけでは入試対策として不十分です。問題文を読み、

「2つの量を比べている」
「差と合計が分かっている」
「何倍かという関係がある」

と気づき、自分から図を書けることが求められます。

塾のテキストでは、単元名が書かれているため使う解法を予想できます。しかし、入試では単元名が示されません。線分図を使う問題だと自分で判断できるかどうかが、得点を左右します。

文章題の条件整理に使う場面が多い

線分図は、答えを直接出す公式ではありません。文章に書かれた数量関係を整理するための道具です。

たとえば、次の問題を考えてみましょう。

「兄と弟は合わせて84枚のカードを持っています。兄は弟より18枚多く持っています」

線分図では、兄を長い線、弟を短い線で表し、兄だけが長い部分に18枚、2本の合計に84枚と書きます。

合計から差を取り除くと、弟と同じ長さが2本分になります。

84－18＝66
66÷2＝33

したがって、弟は33枚です。

このように、線分図を使うと「なぜ18を引くのか」「なぜ2で割るのか」が見えます。入試では、式を暗記しているかより、条件を整理して必要な計算を選べるかが問われます。

複数の条件を組み合わせた問題で差がつく

基本問題では、合計と差、比と差など、2つ程度の条件が与えられます。

一方、得点差がつきやすい問題では、複数の条件が組み合わされます。

たとえば、

「AとBの所持金の比は5：3でした。AがBに600円渡すと、比が7：6になりました」

という問題には、初めの比、移動した金額、移動後の比という3つの条件があります。

このような問題を頭の中だけで処理すると、どの数字が移動前のものか分からなくなりがちです。「初め」と「後」の線分図を分ければ、合計金額は変わらないことや、Aが減った分だけBが増えたことを整理できます。

中学受験では、単純な線分図が書けるかではなく、複数条件を図の中で結びつけられるかが問われます。

線分図を使う頻出問題と出題パターン

合計と差を整理する和差算

線分図の基本となるのが、2つの量の合計と差を扱う和差算です。

たとえば、

「大小2つの数の合計は96で、差は24です」

という問題では、長い線と短い線を書き、余分な24を取り除きます。

96－24＝72
72÷2＝36

小さい数は36、大きい数は60です。

和差算は単独で出るだけでなく、人数、長さ、所持金、得点などに場面を変えて出題されます。

公式の「（和－差）÷2」だけを覚えていると、文章の表現が変わったときに対応できません。差が図のどの部分にあるかを説明できるようにしましょう。

1つ分を見つける比・倍数の問題

比や倍数を使う問題も、線分図が役立つ代表的な出題です。

「姉と妹の所持金の比は5：2で、差は1,200円です」という問題なら、姉を5つ分、妹を2つ分として表します。

差は、

5－2＝3

の3つ分です。

1,200÷3＝400

で1つ分を求められます。姉は400×5＝2,000円、妹は400×2＝800円です。

入試では、比が整数で示されるとは限りません。「姉は妹の2.5倍」のように小数で表されることもあります。

表現が変わっても、基準となる量を1つ分として線分図に表せることが大切です。

基準量を見極める割合の問題

割合の問題では、「何を1、または100％と考えるか」が問われます。

たとえば、

「Aの人数はBの人数の80％です」

という条件なら、基準となるのはBです。Bを100％とすると、Aは80％に当たります。

線分図でBを1本分、Aを0.8本分として表すと、2つの差は0.2本分です。

割合の問題が苦手な子は、「80％」という数字だけに注目し、何に対する80％なのかを見失うことがあります。

問題文に「～の何％」「～の何割」と書かれていたら、「～の」に続く量を基準として確認しましょう。

変化の前後を比べる年齢算・分配算

年齢算や分配算では、時間の経過や数量の移動によって関係が変わります。

たとえば、

「現在、父の年齢は子の年齢の4倍です。12年後には2倍になります」

という問題です。

年齢算では、何年たっても父と子の年齢差は変わりません。一方、年齢の比は時間とともに変わります。

このような問題では、「現在」と「12年後」の線分図を分けます。

お金や品物を分ける問題でも同様です。「AからBへ300円渡した後」のような条件があれば、移動前と移動後を分けて書きます。

変化の前後を1つの図に詰め込むと、数字の意味が分からなくなります。2つの状態を並べ、変わる量と変わらない量を見つけることがポイントです。

線分図の入試問題で問われる力

線分図を使うべき問題を判断する力

入試では、問題に合った整理方法を自分で選ぶ必要があります。

線分図が向いているのは、主に次のような問題です。

• 2つ以上の量の大小や差を比べる
• 合計と差からそれぞれの量を求める
• 比や倍、割合の関係がある
• 数量を移動させる前後を比べる
• 年齢差のように変わらない関係がある

一方、速さでは進行図、場合の数では樹形図や表が適していることがあります。

何でも線分図にしようとするのではなく、「線の長さで比べると関係が見えそうか」と考えましょう。

文章の数字を正しい場所に置く力

線分図を書く際は、問題文に出てくる数字の意味を区別しなければなりません。

数字は主に、

• 一方の全体量
• 複数の量の合計
• 2つの量の差
• 比の1つ分
• 増減した量

のいずれかを表します。

たとえば、「合計が80、差が20」という問題で、80を一方の線に書いてしまうと正しい式を作れません。

数字を図に書く前に、「これは誰の量か」「全体か差か」と言葉で確認する習慣をつけましょう。

図から最初の式を見つける力

線分図が書けても、最初に何を計算するか分からなければ得点にはつながりません。

図を書き終えたら、次の順に確認します。

1. 求める部分はどこか
2. 分かっている数字はどこか
3. 同じ長さはいくつあるか
4. 最初に求められる部分は何か

比が7：4で差が900円なら、最初に比の差を求めます。

7－4＝3

900円が3つ分なので、

900÷3＝300

で1つ分が分かります。

いきなり最終的な答えを求めるのではなく、図の中で最初に分かる量を見つけることが大切です。

条件が変わる前後を分ける力

入試で差がつきやすいのが、途中で条件が変わる問題です。

所持金を渡す、品物を売る、何年か経過するなどの変化がある場合、前後を別々の図にします。

そのうえで、

• 合計は変わるのか
• 差は変わるのか
• 比は変わるのか
• どの量が増減したのか

を確認します。

たとえば、兄が弟に200円渡すと、兄は200円減り、弟は200円増えます。そのため、2人の差は400円縮まります。

この関係を図で捉えられると、単に移動した200円だけを計算する誤りを防げます。

出題傾向に合わせた家庭学習の進め方

基本の3パターンを優先して復習する

線分図の対策では、まず次の3パターンを優先します。

1. 合計と差
2. 比と差
3. 比と合計

この3つは、多くの文章題の土台になります。

基本問題を見たときに、1分以内で線分図を書き、最初の式を作れる状態を目指しましょう。

小6であっても、書き方が不安定なら簡単な問題へ戻って構いません。難問を解くより、基本の図を迷わず書けることのほうが入試対策として重要です。

問題文から図だけを書く練習をする

線分図が苦手な子には、計算と図を同時に求めない方法が有効です。

1日10分から15分、文章題を2問選び、答えを出さずに線分図だけを書かせます。

確認する項目は次の5つです。

• 比べる量の名前がある
• 線の始点がそろっている
• 大小関係が正しい
• 数字の位置が正しい
• 求める部分に「？」がある

図の段階で条件を正しく整理できれば、立式の間違いも減りやすくなります。

過去問は線分図を使う問題に分けて直す

過去問の復習では、点数だけを確認せず、線分図が役立つ問題を選び直しましょう。

対象にしたいのは、次のような問題です。

• 条件が整理できず空欄になった
• 比や割合の基準を取り違えた
• 移動前と移動後を混同した
• 解説では線分図が使われていた
• 正解したが式の理由を説明できない

時間制限を外し、問題文から線分図を自力で書き直します。

その後、解説と比べて「どの条件を書き落としたか」を確認すると、学校ごとの問題にも対応しやすくなります。

保護者は図の正しさより説明を確認する

家庭で線分図を見ると、線の長さや見た目を細かく直したくなるかもしれません。

しかし、線分図は正確な縮尺で書く図ではありません。大小関係や数量の位置が合っていれば、多少線が曲がっていても問題ありません。

保護者は、次のように質問してみてください。

「この線は何を表しているの？」
「この数字は全体？　それとも差？」
「何を1つ分としているの？」
「なぜこの式になるの？」

子どもが自分の言葉で説明できれば、線分図を考える道具として使えています。

完成した図を先に教えるのではなく、説明を通して子ども自身に誤りを見つけさせることが大切です。

まとめ

中学受験算数では、線分図そのものを書く問題より、線分図を使って文章題の条件を整理する問題が多く見られます。

特に押さえておきたい出題パターンは、次の4つです。

1. 合計と差を扱う和差算
2. 1つ分を求める比や倍数
3. 基準量を判断する割合
4. 変化の前後を比べる年齢算や分配算

入試で問われるのは、図の形を暗記しているかではありません。線分図が有効な問題を判断し、数字を正しい場所に置き、図から最初の式を見つける力です。

家庭学習では、合計と差、比と差、比と合計の3パターンから復習しましょう。1日10分から15分、図だけを書く練習を取り入れると、条件整理に集中できます。

過去問で解けなかった文章題も、線分図を使う問題だけを集めて解き直すと、共通するつまずきが見えてきます。

保護者は完成した図を教えるのではなく、「この数字は何を表しているの？」「何を1つ分と考えたの？」と問いかけてください。

線分図は、特定の単元だけで使う解法ではありません。複雑な文章を整理し、解く順番を見つけるための道具です。頻出パターンを基本から反復すれば、初めて見る入試問題でも落ち着いて条件を整理できるようになります。