中学受験算数｜偏差値70に届く面積図の使い方

偏差値70を目指す面積図学習で必要な力

この記事では、中学受験算数で偏差値70を目指す子が、面積図を難関問題で使いこなすために必要な考え方と家庭での練習方法を具体的に解説します。

面積図を描く前に3つの量を自分で見つける

偏差値70を目指す段階では、平均算なら人数と平均点、食塩水なら全体量と濃度を書くという、単元別の型を覚えるだけでは不十分です。

難関校の問題では、単元名が示されず、複数の数量が文章の中に散らばっています。子ども自身が、どの2つを掛けると何が求められるのかを判断しなければなりません。

基本となる関係は次の通りです。

人数×平均＝合計
全体量×割合＝部分量
時間×仕事率＝仕事量
時間×速さ＝道のり

たとえば、「あるクラスに数人が加わったところ、平均点が2点下がった」という問題では、平均点だけを見ても解けません。

人数と平均点を掛けて合計点を考え、変化前後の合計点の差を調べる必要があります。

偏差値70レベルでは、面積図の形を思い出す力より、問題文から掛け算で結ばれる3つの量を自力で探す力が重要です。

変わる量と変わらない量を見抜く

面積図の応用問題では、縦・横・面積のすべてが同時に変わるとは限りません。

何が変化し、何がそのまま残るのかを見抜くことで、式の方針が決まります。

たとえば、食塩水に水を加える問題では、全体量は増え、濃度は下がりますが、食塩量は変わりません。

食塩を加える問題では、全体量と食塩量の両方が増えます。

食塩水の一部を取り出す問題では、全体量と食塩量が同じ割合で減ります。

これらをすべて「面積は変わらない」と覚えてしまうと、応用問題では誤ります。

図を書いたらすぐに計算するのではなく、

「変わったのは縦・横・面積のどれか」
「同じままの量はあるか」

を確認する習慣が必要です。

面積図を使わない判断も得点力になる

偏差値70帯では、面積図を使えるだけでなく、使うべきかどうかを判断する力も問われます。

2つの量を掛けてできる合計量を比較するなら、面積図が適しています。

一方、数量の差や比を表したいなら線分図、時間と位置の変化を追いたいならダイヤグラム、場合分けが必要なら表や樹形図の方が分かりやすいことがあります。

たとえば速さでは、

時間×速さ＝道のり

という関係があるため面積図を使えます。しかし、2人の出会いや追いつきの時刻を追う問題では、ダイヤグラムの方が状況を整理しやすいでしょう。

難関問題では、一つの解法にこだわると時間を失います。

面積図を書き始めても条件が整理できない場合は、別の図に切り替える判断も重要です。

偏差値70レベルの面積図で差がつく考え方

複数の長方形を一つずつ組み立てる

応用問題では、複数の集団や変化前後の状態を表すため、長方形が2つ以上必要になります。

このとき、最初から完成した面積図を描こうとすると、数字の位置や意味が混乱します。

問題文を一文読むたびに、長方形や条件を一つずつ追加しましょう。

たとえば、男子と女子の平均点を求めた後に、転入生が加わる問題なら、次の順番で整理します。

まず男子の人数と平均点から合計点を表す。
次に女子の長方形を加える。
その後、転入生の得点を細い長方形として追加する。
最後に、変化後の全体を一つの長方形として見る。

条件を順番に追加すると、どの面積が何を表すかを見失いにくくなります。

偏差値70レベルの図は、複雑な形を暗記して描くものではありません。基本の長方形を必要な数だけ正確に組み立てたものです。

面積の差から不足量や余分な量を求める

難関問題では、全体の面積をそのまま求めるより、長方形同士の差へ注目する場面が増えます。

たとえば、20人の平均点を3点上げるために必要な合計点を考える場合です。

人数20人、平均点の上昇が3点なので、必要な合計点の増加は、

20×3＝60点

です。

面積図では、元の長方形の上に、高さ3点、横20人の細長い長方形が追加されたと考えます。その面積60点が、必要な得点の増加分です。

食塩水でも同様に、現在の濃度と目標濃度との差を高さとして見ると、食塩の不足量を面積として表せます。

面積全体ではなく、増えた部分、減った部分、不足している部分を長方形として見ることが、難関問題での重要な視点です。

変化前と変化後を比較して逆算する

偏差値70レベルでは、変化後の条件から元の人数や量を求める逆算問題がよく出ます。

たとえば、あるクラスの平均点は70点でした。90点の生徒が1人加わると、平均点が71点になったとします。

新しい平均71点に対して、加わった生徒は、

90－71＝19点

多く取っています。

一方、元の生徒は平均70点だったため、新しい平均71点に対して1人につき1点不足しています。

加わった生徒の余分な19点が、元の生徒全員の1点分を補ったと考えれば、元の人数は19人です。

面積図では、高さ1点の不足部分と、高さ19点の余分な部分の面積が等しいと見ます。

すべての合計点を計算する方法もありますが、面積の差を使うと短い式で処理できます。

比や割合を面積図へつなげる

難関校では、面積図の縦や横が具体的な数ではなく、比や割合で示されることがあります。

たとえば、A組とB組の人数比が3対2で、平均点がそれぞれ70点と85点という問題です。

人数を3人と2人として計算するのではなく、同じ1まとまりを基準にして、横を3区画と2区画にします。

A組の合計点は、

3×70＝210

B組は、

2×85＝170

です。

全体の人数は5区画、合計点は380なので、全体平均は、

380÷5＝76点

となります。

実際の人数が分からなくても、人数比を横の長さとして使えば平均を求められます。

偏差値70帯では、具体的な数が与えられるまで待つのではなく、比を仮の長さとして面積図へ置き換える力が必要です。

難関校で出やすい面積図の応用パターン

平均算は平均との差を面積として捉える

平均算の難問では、合計点を毎回計算するより、平均との差に注目すると解きやすいことがあります。

たとえば、平均75点の集団へ90点の生徒が加わり、平均が76点になった場合です。

加わった生徒は新しい平均76点より14点高く取っています。

元の集団は、1人につき新しい平均より1点低い状態です。

14点分の余りが、元の集団全員の1点不足を補うため、元の人数は14人です。

面積図では、高さ14点・横1人の長方形と、高さ1点・横14人の長方形の面積が等しくなります。

この「平均との差×人数」という見方ができると、人数の増減を含む平均算を短時間で処理できます。

食塩水は目標濃度との差に注目する

食塩水の難問でも、目標となる濃度との差を高さとして考える方法が有効です。

8％の食塩水300gに食塩を加え、10％にする問題を考えます。

元の食塩水は、目標の10％より2％薄い状態です。

300g全体で不足している食塩量は、

300×0.02＝6g

です。

加える食塩は濃度100％なので、目標の10％より90％濃いと考えます。

不足している6gを、この90％分で補うため、

6÷0.9＝6と3分の2g

の食塩を加えればよいと分かります。

面積図では、濃度差と全体量の積を、不足または余分な食塩量として比較します。

公式を暗記するのではなく、目標との差を面積として見ることが重要です。

仕事算は時間帯ごとに長方形を分ける

仕事算の難問では、途中で働く人数や仕事率が変わります。

この場合、全体を一つの長方形にせず、条件が変わる時点で区切ります。

たとえば、AさんとBさんが一緒に3時間働き、その後Aさんだけが2時間働いて仕事を終えたとします。

最初の3時間は、縦がAとBの仕事率の合計です。

後の2時間は、縦がAだけの仕事率になります。

それぞれの長方形の面積を足すと、全体の仕事量1になります。

時間帯ごとに長方形を分ければ、

3×（A＋Bの仕事率）＋2×Aの仕事率＝1

という関係を図として整理できます。

小学生には文字式をそのまま使わせず、全体の仕事量を最小公倍数に置き換えて考えることも可能です。

複合問題では複数の図を使い分ける

難関校の問題では、平均と比、速さと割合など、複数の単元が組み合わされます。

このような問題を、一つの面積図だけで処理しようとすると複雑になります。

たとえば、2つの集団の人数比は線分図、各集団の平均点と合計点は面積図で整理する方法があります。

仕事をする人数の変化は線分図や表で整理し、時間と仕事率の積を面積図で考えることもできます。

図は一種類だけ使うものではありません。

どの条件を比較し、どの条件を掛け合わせたいのかに応じて、図の役割を分けることが偏差値70レベルの問題処理につながります。

偏差値70を目指す家庭学習の進め方

答えより図を選んだ理由を説明させる

家庭学習では、正解したかどうかだけでなく、なぜ面積図を選んだのかを説明させましょう。

「人数と平均を掛けると合計点になるから」
「全体量と濃度から食塩量を出せるから」
「時間と仕事率を掛けて仕事量を比べるから」

と説明できれば、問題の構造を理解できています。

反対に、「平均算だから」「塾で面積図を使ったから」としか答えられない場合は、単元名に頼っている可能性があります。

入試では単元名がありません。図を選んだ根拠を言語化する練習が、初見問題への対応力を高めます。

基本問題と応用問題を対応させる

応用問題を解いた後は、どの基本問題が組み合わされていたかを確認します。

食塩水の混合問題なら、

それぞれの食塩量を求める基本
食塩量を合計する基本
全体量で割って濃度を求める基本

が含まれています。

平均算の人数変化なら、

人数×平均＝合計
変化前後の合計点の差
平均との差×人数

という基本へ分けられます。

応用問題を特別な一問として覚えるのではなく、基本の組み合わせとして分解することが重要です。

途中まで正しい図も評価する

難関問題では、最後まで解けなくても、途中の面積図が正しい場合があります。

このとき「結局解けなかった」とまとめて評価すると、子どもは自分の成長を感じにくくなります。

「変化前後を分けられた」
「変わらない面積を見つけられた」
「濃度差を図にできた」

など、正しかった部分を具体的に確認しましょう。

そのうえで、止まった原因が図の不足なのか、式への変換なのか、計算なのかを分けます。

偏差値70を目指す学習では、難問の正誤だけでなく、どこまで論理を進められたかを見ることが大切です。

翌日と1週間後に初見形式で確認する

解説を見た直後は、複雑な面積図でも再現できることがあります。

本当に理解できたかは、時間を空けて確認します。

翌日は、同じ問題を見て面積図だけを再現します。

1週間後は、数字や設定を変えた類題へ取り組みます。

たとえば平均点を平均身長に変えたり、食塩水をジュースの果汁濃度に変えたりしても、数量関係は同じです。

類題でも同じ面積図を選び、式の方針を説明できれば、考え方が定着しています。

まとめ

中学受験算数で偏差値70を目指す場合、面積図を正しく描けるだけでは十分ではありません。

問題文から掛け算でつながる3つの量を見つけ、変わる量と変わらない量を判断し、面積図を使うべきか自分で選ぶ力が必要です。

難関問題では、複数の長方形を一度に描かず、問題文を一文ずつ図へ移しましょう。

その後、面積全体だけでなく、増えた面積、減った面積、不足している面積に注目します。

平均算では平均との差、食塩水では目標濃度との差、仕事算では時間帯ごとの仕事量を面積として捉えることが重要です。

家庭学習では、答えよりも面積図を選んだ理由を説明させ、応用問題を基本問題の組み合わせへ分解してください。

偏差値70に届く面積図の力とは、複雑な長方形を暗記する力ではありません。初めて見る問題でも、どの量を縦・横・面積として整理すればよいかを判断し、最短の式へつなげる力です。