中学受験算数｜面積図で偏差値60を目指す勉強法

中学受験算数で偏差値60に必要な面積図の力

この記事では、偏差値60を目指すために必要な面積図の力と、基本から応用へつなげる家庭学習の進め方を具体的に解説します。

面積図を正しく書けるだけでは足りない

面積図とは、掛け算でつながる3つの量を、長方形の縦・横・面積で表す図です。

基本となる関係は、

縦×横＝面積

です。

中学受験算数では、これを次のような数量関係へ置き換えます。

• もとにする量×割合＝比べる量
• 個数×平均＝合計
• 食塩水の重さ×濃度＝食塩の重さ

偏差値50前後までの基本問題では、問題文に書かれた数字を面積図へ正しく配置できれば、答えに近づけることがあります。

しかし、偏差値60を目指す段階では、面積図を完成させるだけでは十分ではありません。

図の中から、

「どの量を最初に求めるのか」
「何が変化して、何が変わらないのか」
「複数の面積を足すのか、差を取るのか」

を判断し、式へつなげる力が必要です。

異なる表現から3つの量を見抜く必要がある

偏差値60前後の問題では、数量関係が基本公式と同じ言葉で書かれているとは限りません。

たとえば、「定価の20％引き」「原価の3割の利益」「売価は原価の1.2倍」は、いずれも割合を使う表現です。

また、平均の問題でも、「1人増えた」「平均が2点上がった」「全体の得点が変化した」など、直接「合計を求めなさい」とは書かれていません。

問題文の表現が変わっても、

• 掛ける2つの量
• 掛け算で求められる量
• 今分かっていない量

を見つける必要があります。

面積図を使う前に、「何と何を掛けると何になるか」を言葉にできることが、偏差値60への重要な条件です。

複数の面積図を比較できる力が求められる

基本問題では、長方形を1つ書けば解けることがあります。

一方、偏差値60レベルでは、2つ以上の状態や集団を比較する問題が増えます。

たとえば、A組とB組の平均点を合わせる問題では、それぞれの面積図を書き、面積に当たる合計点を足します。

食塩水を混ぜる問題では、それぞれに含まれる食塩の重さを求めてから合計します。

さらに、水を加えたり食塩水を一部取り出したりする問題では、変化前と変化後の図を比較しなければなりません。

複数の面積図を使うときは、同じ種類の量を同じ位置にそろえます。そのうえで、「同じ部分」「増えた部分」「減った部分」を見つけることが大切です。

偏差値60を目指す子が面積図でつまずく原因

縦・横・面積の位置を暗記している

面積図が苦手な子の中には、「割合は縦」「全体量は横」と場所だけを覚えている子がいます。

同じ種類の問題では位置を統一したほうが見やすくなりますが、縦と横の位置そのものが解法ではありません。

たとえば、

800×0.25

と、

0.25×800

は、どちらも200です。

重要なのは、800円がもとにする量、0.25が割合、200円が比べる量だと説明できることです。

単元が平均に変わったときも、

人数×平均点＝合計点

という関係を理解していれば、面積図の役割を置き換えられます。

偏差値60を目指すなら、位置の暗記から数量関係の理解へ切り替える必要があります。

割合の基準量を取り違えている

割合の問題では、何を100％と考えるかが最も重要です。

たとえば、

「AはBの80％です」

という条件では、Bが100％です。

「定価の20％引き」なら、定価が100％です。「原価の30％の利益」なら、原価が100％になります。

偏差値60前後の売買損益では、同じ問題の中で基準量が変わることがあります。

原価を基準に利益を求めた後、定価を基準に値引き額を求めるといった問題です。

面積図を書く前に、

「何の何％なのか」
「100％に当たる量は何か」

を一つずつ確認しましょう。

基準量が正しく決まらなければ、きれいな面積図を書いても正解にはつながりません。

面積図を書いても最初の式が分からない

長方形と数字は書けても、次に何を計算すればよいか分からない子もいます。

この場合は、求める場所に「？」がないことが多くあります。

たとえば、

「400gの食塩水に24gの食塩が含まれています。濃度は何％ですか」

という問題では、

• 食塩水の重さが400g
• 食塩の重さが24g
• 濃度が不明

です。

濃度の位置に「？」を書けば、

24÷400＝0.06

となり、6％だと判断できます。

面積図では、長方形の中が不明なら掛け算、縦や横が不明なら割り算が基本です。

図を書き終えたら、「どこが分かっていないのか」を必ず確認しましょう。

基本問題を飛ばして応用問題へ進んでいる

偏差値60を目標にすると、難しい問題を多く解かせなければならないと考えがちです。

しかし、基本の面積図を自力で再現できない状態で応用問題へ進んでも、解説の図を写すだけになりやすいでしょう。

まず確認したいのは、次の3つの関係です。

1. もとにする量×割合＝比べる量
2. 個数×平均＝合計
3. 食塩水の重さ×濃度＝食塩の重さ

数字が簡単な問題で、この3つを迷わず図にできることが先です。

基本問題を1分程度で図にし、式の意味まで説明できるようになってから、複数条件を含む問題へ進みましょう。

面積図を偏差値60レベルへ高める勉強法

割合は基準量と残りの割合まで整理する

偏差値60レベルの割合では、与えられた割合をそのまま使うだけでなく、残りの割合を考える問題が増えます。

たとえば、

「定価3,000円の商品を20％引きで販売した」

という問題では、20％は値引き部分です。

実際に支払う割合は、

100％－20％＝80％

です。

したがって、

3,000×0.8＝2,400円

と求められます。

さらに、「この売価でも原価の20％の利益が出た」と条件が加われば、売価2,400円が原価の120％に当たります。

原価は、

2,400÷1.2＝2,000円

です。

同じ問題の中でも、定価を100％とする場面と、原価を100％とする場面があります。基準が変わるたびに面積図を分けて書きましょう。

平均は面積に当たる合計量へ戻す

平均の応用問題では、平均の数字だけを比べないことが大切です。

たとえば、

「20人の平均点が72点でした。1人加わると平均点が73点になりました」

という問題を考えます。

初めの合計点は、

20×72＝1,440点

1人加わった後の合計点は、

21×73＝1,533点

です。

加わった1人の点数は、

1,533－1,440＝93点

となります。

面積図では、増えた長方形の面積が93点に当たります。

偏差値60を目指すなら、平均が変化する前後の面積図を書き、合計量の差から増減した人や点数を求める練習をしましょう。

食塩水は変わらない食塩の量に注目する

食塩水の応用では、何が変わらないかを見つけることが重要です。

たとえば、食塩水に水だけを加えた場合、食塩水全体の重さは増え、濃度は下がります。しかし、食塩の重さは変わりません。

300gの8％食塩水に含まれる食塩は、

300×0.08＝24g

です。

水を加えて濃度を6％にするなら、変化後の食塩水の重さは、

24÷0.06＝400g

となります。

加えた水は、

400－300＝100g

です。

面積図では、変化前と変化後で面積に当たる24gが同じになります。

水を加える、蒸発させる、食塩を加えるなど、操作によって何が変わるのかを整理しましょう。

複合問題は面積図を分けて書く

条件が多い問題を1つの長方形だけで表そうとすると、数字の意味が分からなくなります。

割合の基準が変わる問題や、平均の前後を比べる問題、食塩水を混ぜた後に水を加える問題では、状態ごとに面積図を分けましょう。

図には、「初め」「混ぜた後」「水を加えた後」など、状態を示す言葉を付けます。

そのうえで、

• 変わった量
• 変わらない量
• 新しく求められる量

を確認します。

偏差値60レベルでは、面積図を小さく素早く書き、必要な関係だけを残す力も必要です。きれいに描くことより、条件を混ぜないことを優先してください。

家庭学習で面積図を定着させる方法

1日15分で図・式・説明を練習する

家庭学習では、1日15分、2問程度から始めましょう。

1問につき、次の順番で取り組みます。

1. 掛け算でつながる3つの量を言う
2. 面積図を書く
3. 求める場所に「？」を付ける
4. 式を作る
5. 式の意味を説明する

答えが合っていても、説明できない場合は理解が曖昧です。

「なぜ掛け算なのか」「この割り算で何を求めたのか」を、図の場所を指しながら説明させましょう。

間違いを読み取り・図・式に分類する

面積図の間違いは、次の3段階に分けると原因を見つけやすくなります。

• 問題文の読み取り
• 面積図への整理
• 図から式を作る段階

たとえば、「20％引き」を支払う割合20％と考えたなら、読み取りの間違いです。

食塩水全体の重さを長方形の中へ書いたなら、図の間違いです。

図は正しいのに掛け算と割り算を反対にしたなら、式の間違いです。

間違い直しノートには、「基準量を定価ではなく原価にした」など、原因を一行で残しましょう。

正解した問題も別解と比べる

偏差値60を目指す段階では、正解した問題も学習材料になります。

たとえば、割合の問題を面積図で解いた後、線分図や比を使って解けないか考えてみましょう。

すべての問題で別解を探す必要はありません。週に1～2問で十分です。

別の方法と比べることで、

「面積図は掛け算の関係が見やすい」
「線分図は差や残りが見やすい」

と、図を選ぶ基準が分かります。

入試本番では、最も解きやすい方法を自分で選ぶ必要があります。

保護者は「何を掛けるか」を質問する

家庭で教えるとき、保護者が完成した面積図を先に書く必要はありません。

代わりに、次のように質問してください。

「問題に出てくる3つの量は何？」
「何と何を掛けると何になる？」
「何を100％と考える？」
「変わらない量はどれ？」
「求める場所はどこ？」

子どもが答えられない場合は、問題文の数字に単位を書き足したり、長方形だけを用意したりします。

手助けは、子どもが次の一手を見つけられる範囲にとどめましょう。

まとめ

中学受験算数で偏差値60を目指すには、面積図を正しく書けるだけでなく、複数の条件を整理し、最初の式へつなげる力が必要です。

まずは、次の3つの基本関係を確実にしましょう。

1. もとにする量×割合＝比べる量
2. 個数×平均＝合計
3. 食塩水の重さ×濃度＝食塩の重さ

基本問題を解くときも、縦・横・面積の位置だけを暗記せず、「何と何を掛けると何になるか」を説明してください。

偏差値60レベルでは、割合の基準が途中で変わる問題、平均の前後を比べる問題、食塩の重さが変わらない問題などが重要になります。

条件が多い場合は、1つの面積図に詰め込まず、状態ごとに図を分けましょう。そのうえで、変わる量と変わらない量を探します。

家庭学習では、1日15分、2問程度を、図・式・説明の順に進める方法が効果的です。

保護者は答えを教えるのではなく、「何が100％？」「面積は何の量？」と問いかけてください。

面積図は、複雑な問題を簡単に見せるための飾りではありません。異なる単元に共通する掛け算の関係を見つけ、考える順番を整える道具です。

基本の3つの量を迷わず整理し、複数の図から共通部分や差を見つけられるようになれば、偏差値60レベルの文章題にも落ち着いて対応できるようになります。