中学受験算数「場合の数」が苦手な子の克服法

中学受験算数の「場合の数」が苦手になる原因

この記事では、中学受験算数の「場合の数」が苦手になる原因を整理し、家庭で何をどの順番で直せばよいのかを具体的に解説します。

場合の数は、算数が苦手な子だけがつまずく単元ではありません。計算力がある子でも、数え漏れや重複によって失点することがあります。

問題文の登場人物や数字が変わるたびに、まったく別の問題に見えるのも難しさの一つです。解説を読めば分かるのに、自力では整理方法を選べない子も少なくありません。

しかし、場合の数は特別なひらめきで解く単元ではありません。「何を固定するか」「どの順番で調べるか」を決めれば、苦手な子でも正答を安定させられます。

思いつく順番で数えている

場合の数が苦手な子に多いのが、頭に浮かんだものから書く解き方です。

例えば、1・2・3・4の数字から異なる2枚を選び、2けたの整数を作る問題を考えます。

「12、21、34、13……」と思いつく順に書くと、すべて調べたかどうか分からなくなります。14を書き忘れたり、同じ数を再び書いたりしても気づきにくいでしょう。

十の位を1に固定すれば、12、13、14の3通りです。次に十の位を2、3、4と順番に変えれば、各3通りずつ、全部で12通りと分かります。

場合の数で必要なのは、たくさん思いつく力ではありません。数える基準を決め、最後まで同じ順序を守る力です。

順番を区別する問題としない問題が混ざっている

場合の数では、同じ人や物を使っていても、順番を区別するかどうかで答えが変わります。

Aさん、Bさん、Cさんから班長と副班長を選ぶ場合、Aさんが班長でBさんが副班長の選び方と、Bさんが班長でAさんが副班長の選び方は別です。

一方、3人から掃除係を2人選ぶだけなら、AさんとBさんを選ぶことと、BさんとAさんを選ぶことは同じです。

この違いが曖昧な子は、同じ組み合わせを2回数えたり、本来は別の並び方を一つにまとめたりします。

問題を解く前に、「入れ替えたら別の結果になるか」を必ず確認させましょう。別になるなら順番を区別し、同じなら重ねて数えません。

樹形図や表を描くだけで終わっている

樹形図や表は、場合の数を整理するための道具です。しかし、形だけをまねしても正しく数えられるとは限りません。

樹形図では、すべての枝を同じ基準で伸ばす必要があります。途中で書く順序が変わると、枝の抜けや重複が起こります。

表でも、縦と横に何を並べたのかを理解していなければ、同じ組み合わせを二度数えることがあります。

家庭で答え合わせをするときは、「なぜ樹形図を使ったの？」「縦と横は何を表しているの？」と聞いてください。

整理方法を選んだ理由を説明できれば、見た目だけでなく考え方を理解していると判断できます。

公式や計算式を先に覚えている

「並べる問題はかけ算」「選ぶ問題は割り算」と覚えているだけでは、条件つきの問題に対応できません。

例えば、4人を一列に並べる場合は、4×3×2×1＝24通りです。しかし、Aさんを左端に固定するなら、並べるのは残り3人なので、3×2×1＝6通りです。

条件を確認せずに公式のように式を書くと、なぜその数をかけるのか分からなくなります。

計算式を書く前に、「最初の場所には何人置ける？」「次は何人残る？」と一段階ずつ確認しましょう。

式は考え方を短く表したものです。考え方より先に覚えさせないことが、苦手を深めないポイントです。

場合の数の苦手を克服する基本手順

最初に「何を数えるか」を言葉にする

問題を読み終えたら、すぐに式を書かず、「何を一つの場合として数えるのか」を言葉にします。

例えば、「4人から2人を選ぶ方法」「3枚のカードを並べる方法」「目的地まで進む道順」のように短く整理します。

次に、順番を区別するかを確認します。

「人を2人選ぶだけなら順番は関係ない」
「班長と副班長なら役割があるので順番を区別する」

ここが決まると、同じものを何度数えるべきかが明確になります。

問題文が長いときは、条件と求めるものに線を引きましょう。「異なる数字」「少なくとも1回」「隣り合う」などの表現は、数え方を左右します。

一つの条件を固定して残りを変える

場合の数を漏れなく数える基本は、一つを固定することです。

赤・青・黄の3色から2色を順番に選ぶなら、最初の色を赤に固定します。赤青と赤黄の2通りです。

次に最初を青にすると、青赤と青黄。黄にすると、黄赤と黄青です。全部で6通りになります。

整数を作るなら最高位、人を並べるなら最初の席、洋服の組み合わせなら上着を固定すると整理しやすくなります。

子どもの手が止まったとき、保護者は「何通り？」と聞くのではなく、「最初に何を固定する？」と尋ねてください。

答えを教えずに、考え始める場所を示せます。

書き出し・樹形図・表を使い分ける

選択肢が少ない場合は、書き出しが最も確実です。数字や人を一定の順番で並べれば、数え漏れを確認できます。

選択を順番に重ねる問題には樹形図が向いています。上着を選び、その後にズボンを選ぶような問題では、枝を伸ばすことで選択の流れが見えます。

2つの条件を組み合わせる問題には表が便利です。2個のさいころの目の和や、料理と飲み物の組み合わせなどを整理できます。

計算だけで解けそうな問題でも、苦手なうちは図や表で確認しましょう。整理した結果から規則を見つけ、最後にかけ算やたし算へまとめる方が理解しやすくなります。

数え漏れと重複を最後に点検する

場合の数では、答えが出た後の点検も重要です。

数え漏れを確認するには、同じ条件ごとの個数を比べます。十の位を固定した問題で、1のときは3通り、2のときだけ2通りなら、書き忘れがないか疑いましょう。

重複を確認するには、順番を入れ替えたものを同じ場合として数えていないかを見ます。

選ぶだけの問題で「A・B」と「B・A」が両方あれば、二重に数えています。反対に、役割や順番があるなら、両方を数える必要があります。

見直しでは計算をやり直すだけでなく、「漏れはないか」「重複はないか」を別々に確認してください。

苦手な子がつまずきやすい頻出問題の解き方

整数作りは制限の強い位から決める

数字カードから整数を作る問題では、条件の強い位から決めるのが基本です。

偶数を作るなら一の位、300より小さい3けたの整数なら百の位から考えます。

例えば、0・1・2・3から異なる3枚を使って3けたの整数を作る場合、百の位に0は置けません。百の位は1・2・3の3通りです。

十の位は残った3枚から選び、一の位は残り2枚から選ぶため、3×3×2＝18通りになります。

0をほかの数字と同じように扱い、4×3×2とすると多く数えてしまいます。「どの位に制限があるか」を先に探す習慣をつけましょう。

並べ方は条件のある人を先に固定する

人や物を並べる問題では、条件のある人や場所から先に決めます。

「Aさんを端に置く」なら、Aさんを左端または右端に置き、その後で残りを並べます。

「AさんとBさんが隣り合う」なら、AさんとBさんを一つのまとまりとして考えます。ただし、まとまりの中にはABとBAの2通りがあることを忘れてはいけません。

条件のない人から並べ始めると、最後に条件を満たすか確認する必要があり、数え直しが増えます。

家庭では、問題文の「端」「隣」「交互」といった条件に丸をつけ、そこから考え始めるように教えましょう。

選び方は順番を入れ替えて確認する

人や物を選ぶだけの問題では、順番を入れ替えても同じ組み合わせになります。

4人から2人を選ぶ場合、Aさんと組む相手はB、C、Dの3通りです。次にBさんを見ると、Aさんとの組み合わせはすでに数えているため、C、Dだけを調べます。

続けると、AB、AC、AD、BC、BD、CDの6通りです。

班長と副班長を選ぶ場合は、ABとBAを別々に数えます。役割があるためです。

「入れ替えても同じ？」と声に出して確認するだけで、並べ方と選び方の混同を減らせます。

道順は交差点までの行き方を足す

格子状の道を進む問題では、すべての道順を書き出そうとすると、途中で混乱しやすくなります。

右と上にだけ進める場合、ある交差点には左側か下側から到着します。そのため、その交差点までの行き方は、左側の数と下側の数を足せば求められます。

出発点を1として、進む方向へ順番に数字を書き込みましょう。

通れない道がある場合は、その方向から来る数を足しません。必ず通る地点がある場合は、出発点からその地点までと、その地点から目的地までを分けます。

道順問題でも、どこから来られるかを一つずつ整理する考え方は同じです。

家庭でできる場合の数の苦手克服法

1回15分で同じ型を3問解く

場合の数が苦手な子に、さまざまな形式を一度に解かせると、整理方法を選べなくなります。

家庭学習は1回15分程度、同じ型を3問に絞りましょう。

例えば、1日目は2けたの整数、2日目は3けたの整数、3日目は偶数を作る問題というように、数字を並べる形式を続けます。

題材や数字が変わっても、「制限の強い位から決める」という共通点に気づくことが目的です。

3問中2問以上で、自分から適切な書き出し方や式を選べるようになったら、次の形式へ進みます。

答えではなく整理した根拠を説明させる

丸つけでは、正解したかだけでなく、どのように整理したかを聞きます。

「十の位を1から順番に固定した」
「Aさんを左端に置いてから残りを並べた」
「ABとBAは同じなので一つだけ数えた」

このように説明できれば、数字や条件が変わっても応用できます。

「どうして？」と広く聞くと答えにくいため、「最初に何を固定した？」「どれとどれを同じと考えた？」と質問を分けましょう。

保護者が解き方をすべて説明するより、子どもの言葉を引き出す方が理解の確認になります。

間違いを3種類に分類する

場合の数の間違いは、主に数え漏れ、重複、条件の見落としの3種類です。

答えが本来より少ない場合は、数え漏れを疑います。多い場合は、同じものを何度も数えた可能性があります。

大きくずれている場合は、「異なる数字を使う」「0は先頭に置けない」「必ずAを含む」といった条件を見落としていることがあります。

解き直しノートには、問題を写すだけでなく、「漏れ」「重複」「条件」と原因を書きましょう。

同じ間違いが続けば、次の問題で何に注意すべきかが明確になります。「場合の数が苦手」と一括りにしないことが大切です。

翌日と1週間後に白紙から解き直す

解説を見た直後は、多くの子が正しい方法を再現できます。しかし、それだけでは定着したとはいえません。

間違えた問題は翌日と1週間後に、前の樹形図や表を見ず、白紙から解き直します。

翌日は整理手順を思い出すため、1週間後は自分で方法を選べるか確認するための復習です。

答えを覚えている場合は、数字や人物名を変えた類題を使いましょう。

何も指示されなくても、一つを固定して順番に書き出せるようになれば、苦手克服が進んでいると判断できます。

まとめ

中学受験算数の「場合の数」が苦手になる主な原因は、思いつく順に数えること、順番を区別するか判断できないこと、整理方法を形だけで覚えていることです。

克服するためには、最初に何を数えるのかを言葉にし、順番を入れ替えたときに別の結果になるかを確認します。

次に一つの条件を固定し、残りを一定の順序で変えます。選択肢が少ない問題は書き出し、順番のある問題は樹形図、2つの条件を組み合わせる問題は表で整理しましょう。

家庭学習は1回15分、同じ型を3問程度で十分です。答え合わせでは、正解数より「何を固定したか」「なぜ重複しないか」を説明させてください。

間違いを数え漏れ、重複、条件の見落としに分類し、翌日と1週間後に白紙から解き直すと、課題に合った復習ができます。

場合の数は、才能やひらめきで決まる単元ではありません。数える基準と順番を習慣にすれば、算数に苦手意識がある子でも着実に得点できるようになります。