中学受験算数「場合の数」ができない原因と克服法

中学受験算数の「場合の数」ができない4つの原因

この記事では、中学受験算数の「場合の数」ができない原因を見極め、家庭でどこまで戻り、どのように練習すればよいのかを順番に解説します。

場合の数ができないと、「ひらめきがない」「頭の中で整理できない」と考えがちです。しかし、多くの場合は、数えるための手順をまだ身につけていないだけです。

問題数を増やす前に、どの段階で止まっているのかを確認しましょう。

何を数える問題なのか分かっていない

場合の数では、まず「何が完成したら1通りなのか」を理解する必要があります。

たとえば、1・2・3のカードから2枚を並べて2桁の整数を作る問題では、十の位と一の位の両方が決まって初めて1通りです。最初のカードを選んだだけでは、まだ一つの整数は完成していません。

何を数えるのかが曖昧な子は、途中の選択肢を答えとして数えたり、完成していないものを1通りに含めたりします。

解き始める前に、「この問題では、何が全部決まったら1通り？」と尋ねてください。この問いに答えられなければ、計算より先に問題の意味を整理する必要があります。

思いついた順に書き出している

場合の数ができない子は、条件に合いそうなものを思いついた順に書く傾向があります。

1・2・3から2枚を並べる問題で、「12、21、13、31……」と書く方法です。数が少なければ正解することもありますが、選択肢が増えると漏れや重なりが起こります。

この場合は、十の位を1に固定して12、13、次に2へ変えて21、23、最後に3として31、32と書きます。

一つの条件を固定し、一定の順番で変えていくことが基本です。場合の数は、たくさん思いつく力ではなく、決めた基準を最後まで守る力で解きます。

順番を区別するか判断できていない

場合の数では、同じ人や物を選んでも、順番によって別の1通りになる問題と、同じ1通りになる問題があります。

A・B・Cの3人から委員長と副委員長を選ぶなら、Aが委員長でBが副委員長の場合と、Bが委員長でAが副委員長の場合は別です。

一方、掃除係を2人選ぶだけなら、AとBを選ぶことと、BとAを選ぶことは同じです。

この違いを確認しないと、答えが2倍になったり半分になったりします。問題を読んだら、「入れ替えると役割や位置が変わる？」と確認しましょう。変わるなら順番を区別し、選ばれた集まりが同じなら区別しません。

式や解法を丸暗記している

「並べ方は掛け算」「選び方は割り算」といった覚え方だけでは、条件が変わったときに対応できません。

たとえば、1・2・3・4から異なる2枚を並べるなら、最初が4通り、次が3通りなので4×3＝12通りです。しかし、0・1・2・3から2桁の整数を作る場合、十の位に0は置けません。

単純に4×3とすると、01や02のような2桁ではない並びまで含んでしまいます。

式を立てる前に、最初に選べるものは何個あるか、次の選択肢は毎回同じ数かを確認することが必要です。

場合の数ができない子が戻るべき基本

苦手を克服するために、いきなり難しい入試問題を解く必要はありません。すべての問題に共通する基本の型へ戻りましょう。

何が決まれば1通りなのか確認する

問題を読んだら、答えを出す前に完成形を言葉にします。

2桁の整数なら「十の位と一の位が決まる」、道順なら「出発点から目的地までの経路が決まる」、色の塗り分けなら「すべての場所の色が決まる」となります。

完成形が分かると、何段階の選択が必要なのかも見えてきます。

家庭では、ノートの最初に「○○が決まって1通り」と短く書かせる方法がおすすめです。解くたびに確認することで、数える対象を見失いにくくなります。

一つの条件を固定して順番に数える

漏れを防ぐ最も基本的な方法は、一つを固定することです。

数字カードなら先頭の数字、硬貨の組み合わせなら金額の大きな硬貨の枚数、色の塗り分けなら最初の場所の色を固定します。

たとえば100円玉、50円玉、10円玉を使って一定の金額を作るなら、100円玉を0枚、1枚、2枚と変え、それぞれの場合で残りを考えます。

途中で固定する対象を変えると、同じ組を二度数えたり、一部を飛ばしたりします。「今日は何を固定して調べるのか」を先に決めることが大切です。

樹形図・表・書き出しを使い分ける

場合の数ができない子に、最初から計算だけで解かせる必要はありません。問題に応じて、見える形に整理しましょう。

選択が順番に続き、各段階の数が少ない問題には樹形図が向いています。2個のサイコロのように、縦と横の条件を組み合わせる問題には表が便利です。選択肢が少ない問題なら、すべて書き出す方法が最も確実です。

大切なのは、いつも同じ道具を使うことではありません。「全体を漏れなく確認しやすい方法」を選ぶことです。

まずは同じ問題を書き出しと樹形図の両方で解き、答えが一致する経験をさせると、それぞれの意味を理解しやすくなります。

漏れ・重なり・条件ミスを見直す

場合の数の誤答は、主に3種類に分けられます。

数えるべきものを落とす「漏れ」、同じものを二度数える「重なり」、使えない数字を使うなどの「条件ミス」です。

答えが違ったときに、すぐ解説を写すのではなく、どの種類の間違いか確認しましょう。

漏れが多いなら、固定する条件を決めて最後まで書く練習が必要です。重なりが多いなら、順番を区別する問題かを確認します。条件ミスが多いなら、「異なる」「少なくとも」「0は先頭に置けない」などへ線を引きます。

家庭でできる場合の数の克服方法

場合の数は、長時間まとめて勉強するより、短い練習を繰り返す方が整理の型を身につけやすい単元です。

書き出しから計算へ段階的に進む

最初は、条件に合うものをすべて書き出します。次に樹形図や表へ整理し、最後に規則を計算へ置き換えます。

3種類の上着と2種類のズボンの組み合わせなら、最初に6通りを実際に書き出します。その後、「上着1種類につきズボンが2通りある」と確認し、3×2＝6へつなげます。

式は、書き出した内容を短く表したものです。意味を理解せず式だけ覚えると、条件が一つ変わっただけで解けなくなります。

書くことを嫌がっても、基本問題で漏れなく整理できるまでは省略させない方が、結果的に早く伸びます。

1日10分で同じ型を繰り返す

家庭学習では、1日10分程度で基本問題を1～2題、前日に間違えた問題を1題行います。

毎日違う問題形式へ移るより、2～3日は同じ型を続けましょう。樹形図の日、表の日、条件付き問題の日というようにまとめると、整理方法を身につけやすくなります。

基本問題を5問中4問程度、自力で整理できたら、条件を一つ増やします。正解率が低い段階では、難問を加えず、同じ型を正確に使えることを優先してください。

正解より数え方を説明させる

場合の数では、正解したから理解しているとは限りません。思いつきで書いた結果、偶然漏れがなかった可能性もあります。

答え合わせでは、「何を固定したの？」「どんな順番で書いたの？」「入れ替えたものは別に数えるの？」と聞いてください。

「十の位を1、2、3の順に固定した」のように説明できれば、考え方を再現できます。

反対に、答えは間違っていても整理の方針が正しい場合があります。そのときは全否定せず、「この順番はよかった。最後の一つが抜けたね」と伝えると、正しい考え方を残せます。

当日・翌日・1週間後に解き直す

解説を読んだ直後の解き直しだけでは、本当にできるようになったか判断できません。答えや並び方を覚えているからです。

当日は、間違えた原因を確認して解き直します。翌日は、何も見ずに同じ問題へ取り組みます。1週間後には、数字や条件が少し違う類題を解きます。

同じ問題を解けても、類題で止まるなら答えを覚えていた可能性があります。条件が変わっても同じ整理方法を使えれば、学習が定着したと判断できます。

場合の数ができないときの親の関わり方

家庭では、親が解説の先生になる必要はありません。子どもが考える順番を取り戻せるよう、短い質問で支えましょう。

すぐに式を教えず整理の基準を尋ねる

子どもの手が止まると、「ここは3×2だよ」と教えたくなります。しかし、式を先に与えると、次の問題でも自分で整理方法を選べません。

「何が決まれば1通り？」「最初に何を固定する？」「順番を入れ替えたら別になる？」と尋ねてください。

答えを直接伝えなくても、数えるための入口を示せます。子どもが一つ答えられたら、その先はできるだけ本人に任せましょう。

間違いの原因に合った問題へ戻す

場合の数ができないからと、すべてを最初からやり直す必要はありません。

条件の読み落としが多いなら問題文へ印をつける練習、重なりが多いなら順番を区別しない選び方、漏れが多いなら固定して書き出す問題へ戻します。

原因と違う練習を増やしても、同じ失点は減りません。3～5問の間違いを「漏れ」「重なり」「条件」に分類すると、必要な練習が見えやすくなります。

難問より基本問題の再現性を優先する

中学受験では難しい場合の数も出題されますが、基本が不安定な状態で応用問題を繰り返しても効果は限られます。

基本問題を一度正解するだけでなく、翌日にも自力で解けること、数え方を説明できることを目標にしましょう。

基礎問題を安定して解けるようになると、条件が増えた問題でも「まず何を固定するか」「どこで場合分けするか」を考えられるようになります。

遠回りに見えても、再現できる基本を作ることが入試問題への近道です。

まとめ｜場合の数は整理する型を覚えれば伸ばせる

中学受験算数の「場合の数」ができない原因は、計算力やひらめきの不足とは限りません。何を1通りとするか分からない、思いついた順に数える、順番を区別できないなど、整理の手順が定まっていないケースが多くあります。

まずは、何が完成したら1通りになるかを確認し、一つの条件を固定して順番に書き出しましょう。樹形図や表は、漏れと重なりを防ぐために使います。

家庭では1日10分程度、同じ型の基本問題を数日続けてください。間違いを「漏れ」「重なり」「条件ミス」に分け、当日・翌日・1週間後に解き直します。

親は答えや式をすぐに教えず、「何を固定する？」「順番を入れ替えたら別？」「まだ数えていない場合はない？」と問いかけましょう。

場合の数は、正しく整理する型を身につければ伸ばせる単元です。焦って難問へ進まず、漏れなく書ける基本から積み重ねることで、算数に苦手意識がある子でも安定して得点できるようになります。