中学受験算数「比の利用」がわからない時の教え方

中学受験算数の比の利用がわからない4つの原因

この記事では、中学受験算数の比の利用がわからなくなる原因を整理し、基本の考え方から家庭での教え直し方まで順番に解説します。

比の利用がわからない子でも、「6：9を2：3にする」といった比を簡単にする計算はできることがあります。

それでも文章題になると手が止まるのは、比の計算ではなく、比と実際の人数や金額を結びつける部分でつまずいているからです。

比の利用には、主に4つのつまずきがあります。まずは、子どもがどの段階でわからなくなっているかを確認しましょう。

比の数字を実際の量と混同している

比の3：2は、実際の個数が3個と2個という意味ではありません。

同じ大きさのまとまりで比べたとき、一方が3つ分、もう一方が2つ分であることを表します。

例えば、兄と弟の所持金の比が3：2なら、兄が300円、弟が200円でも、兄が1,500円、弟が1,000円でも比は同じです。

比の数字は量そのものではなく、量どうしの関係です。

家庭では、「3：2は3円と2円ではなく、同じ大きさの箱が3箱分と2箱分」と言い換えると理解しやすくなります。

実際の量が比のどこに対応するかわからない

比の利用では、問題文に書かれた実際の量が、比のどの数字に対応するかを判断します。

例えば、AとBの人数の比が4：7で、Aが24人なら、24人は比の4に対応します。

比の1つ分は、

24÷4＝6人

です。

Bは7つ分なので、

6×7＝42人

となります。

ここで24÷7としてしまう子は、求めたいBの比を使っています。

割るときに使うのは、求めたい量の比ではありません。すでにわかっている実際の量に対応する比です。

全体・差・一方の量を見分けられない

比の利用では、何がわかっているかによって使う比が変わります。

A：B＝3：2のとき、AとBの合計がわかっているなら、3＋2＝5を使います。

AとBの差がわかっているなら、3－2＝1を使います。

Aだけの量がわかっているなら、Aに対応する3を使います。

この違いがわからないと、どの問題でも比を足したり、反対に毎回引いたりしてしまいます。

計算を始める前に、「問題に書かれているのは全部の量、差、一方だけの量のどれ？」と確認することが必要です。

割合や分数とのつながりが切れている

中学入試では、比が直接3：2と書かれていない問題も多くあります。

例えば、「男子は全体の5分の3」と書かれていれば、女子は5分の2なので、

男子：女子＝3：2

です。

また、「AはBの60％」なら、

A：B＝0.6：1＝3：5

となります。

割合、分数、比をそれぞれ別の単元として覚えていると、表現が変わっただけでわからなくなります。

これらは同じ数量関係を別の形で表していると理解することが大切です。

「比の利用がわからない」を基本例題で解消する

比の利用は、問題の型を一度に覚えるのではなく、簡単な順番で整理すると理解しやすくなります。

基本は、実際の量から「比の1つ分」を求め、その後で必要な比をかけることです。

一方の量がわかる問題の解き方

AとBの長さの比が3：5で、Aが18cmだったとします。

18cmは比の3に対応します。

比の1つ分は、

18÷3＝6cm

です。

Bは5つ分なので、

6×5＝30cm

となります。

一方の量がわかる問題は、比の対応が最も見えやすいため、最初の練習に向いています。

「18cmは比のどちらに対応する？」と聞き、対応する数字で割る流れを確認しましょう。

全体量がわかる問題の解き方

兄と弟の所持金の比が3：2で、合計が2,500円だったとします。

合計は、兄と弟を合わせた比に対応します。

比の合計は、

3＋2＝5

です。

比の1つ分は、

2,500÷5＝500円

となります。

兄は、

500×3＝1,500円

弟は、

500×2＝1,000円

です。

「合計」「全部で」「合わせて」という言葉があれば、比を足すことを考えます。

差がわかる問題の解き方

AとBの長さの比が7：4で、差が15cmだったとします。

差は、比の差に対応します。

7－4＝3

なので、比の3つ分が15cmです。

比の1つ分は、

15÷3＝5cm

となります。

Aは、

5×7＝35cm

Bは、

5×4＝20cm

です。

差の問題で比を足してしまう場合は、「15cmは2本を合わせた長さ？長さの違い？」と聞くと判断しやすくなります。

3つの量を比べる問題の解き方

入試では、A：BとB：CからA：B：Cを求める問題も出ます。

例えば、

A：B＝2：3
B：C＝4：5

とします。

共通しているBが、一方では3、もう一方では4です。そのままでは3つを並べられません。

3と4の最小公倍数である12にそろえます。

A：B＝8：12
B：C＝12：15

したがって、

A：B：C＝8：12：15

です。

3つ以上の量を比べるときは、両方に登場する共通の量を探し、その比をそろえます。

応用問題で手が止まるときの整理方法

基本問題は解けても、条件が増えるとわからなくなる子は少なくありません。

応用問題では、暗算で処理しようとせず、比と実際の量の関係を見える形にすることが重要です。

線分図で比と実際の量を対応させる

文章だけでわからない場合は、線分図を描きます。

A：B＝3：2なら、Aを同じ大きさの3区画、Bを2区画で表します。

合計が100個なら、5区画全体に100個と書きます。

差が20個なら、AとBの余った1区画に20個と書きます。

Aが60個なら、Aの3区画全体に60個と書きます。

線分図の目的は、きれいに描くことではありません。実際の数字が比のどこに対応するかを確認することです。

変化の前後で変わらない量を探す

比の応用では、数量の増減によって比が変わる問題が出ます。

例えば、兄と弟の所持金の比が5：3で、兄が弟に200円渡すと3：2になったとします。

お金を渡す前後で、兄と弟それぞれの金額は変わります。しかし、2人の合計金額は変わりません。

変化前の比の合計は8、変化後は5です。

両方の合計を40にそろえると、

変化前：25：15
変化後：24：16

となります。

兄は1つ分減り、弟は1つ分増えています。この1つ分が200円です。

変化する問題では、「何が増えたか」だけでなく、「何が変わらないか」を探しましょう。

割合・分数を比に直して考える

比が書かれていない問題では、割合や分数を比に直します。

例えば、クラスの40％が男子なら、60％が女子です。

男子：女子＝40：60＝2：3

となります。

また、AがBの4分の3なら、

A：B＝3：4

です。

「全体の何分のいくつ」「相手の何％」「何倍」という表現を比に直せると、基本の比の利用として整理できます。

途中で求めた数字の意味を書く

比の利用では、途中に出てくる数字の意味がわからなくなることがあります。

例えば、合計84個を4：3に分けるなら、

4＋3＝7……比の合計
84÷7＝12個……比の1つ分
12×4＝48個……A
12×3＝36個……B

と書きます。

数字だけを並べるのではなく、「比の合計」「1つ分」と書き添えることが大切です。

見直したときに、どこで考え方を間違えたかを見つけやすくなります。

家庭で比の利用を教え直す4ステップ

比の利用がわからない子に、公式を増やして覚えさせると、さらに混乱することがあります。

家庭では、具体物、同じ型の反復、説明、原因別の復習という順番で立て直しましょう。

具体物を使って比の意味を確認する

最初は、おはじきやコインなどを使います。

赤を2個、青を3個並べると、赤と青の比は2：3です。

それぞれを2倍にすると、赤4個、青6個になります。個数は変わっても、比は2：3のままです。

次に、赤が10個なら青はいくつかを考えます。

赤2つ分が10個なので、1つ分は、

10÷2＝5個

青は3つ分だから、

5×3＝15個

です。

目で見える物を使うことで、「比の1つ分」の意味を理解しやすくなります。

同じ型を1日3問ずつ練習する

一度にさまざまな型を混ぜると、何を基準に計算するのかわからなくなります。

最初は、一方の量がわかる問題だけを3問練習します。

次の日は、全体量がわかる問題だけを3問、その次は差がわかる問題だけを3問というように分けましょう。

1回の学習時間は10～15分程度で十分です。

同じ型を続けることで、数字や場面が変わっても解き方の流れは同じだと気づけます。

答えではなく判断の理由を聞く

子どもが手を止めたときに、「足すの？引くの？」と聞くと、正解を当てるだけになってしまいます。

代わりに、次のように問いかけましょう。

「この数字は全部の量？」
「差を表している？」
「比のどちらに対応する？」
「1つ分はいくつ？」

正解した場合も、「なぜ比を足したの？」と聞きます。

「合計がわかっているから」と説明できれば、考え方を理解しています。

間違えた段階だけを復習する

比の利用の間違いは、主に次の4つに分けられます。

1．比を簡単にする計算
2．全体・差・一方の見分け
3．実際の量と比の対応
4．最後にかける比の選択

例えば、差の問題で比を足したなら、文章の読み取りを直します。

1つ分は正しいのに答えが違うなら、最後にどちらの比をかけるかを確認します。

すべてを最初からやり直す必要はありません。

間違えた段階だけを復習するほうが、子どもの負担を抑えながら効率よく理解を深められます。

まとめ｜比の利用がわからないときは1つ分に戻る

中学受験算数の比の利用がわからない原因は、比の計算力だけにあるとは限りません。

比の数字を実際の量だと思っている、数字と比の対応を見つけられない、全体と差を区別できないといった、数量関係の理解でつまずいている場合が多くあります。

比は、同じ大きさのまとまりがいくつ分あるかを表すものです。

問題を読んだら、実際の量が比のどこに対応するかを確認しましょう。

全体がわかっているなら比を足し、差がわかっているなら比を引きます。一方の量がわかっているなら、その量に対応する比を使います。

そして、

実際の量÷対応する比＝比の1つ分

を求めます。

比の1つ分がわかれば、求めたい量に対応する比をかけることで答えを出せます。

文章だけで整理できないときは、線分図を使いましょう。割合や分数で示された条件は、比に直すと基本問題と同じ形になります。

家庭学習では、同じ型を1日3問程度練習し、「この数字はどこに対応する？」「この答えは何の1つ分？」と確認してください。

比の利用がわからない状態は、公式を覚えるだけでは解消しません。

実際の量と比を対応させ、いったん1つ分に戻る習慣を身につければ、条件が増えた応用問題でも落ち着いて考えられるようになります。