中学受験算数「速さのグラフ」頻出問題と対策

中学受験算数で速さのグラフが頻出する理由

この記事では、中学受験算数の速さのグラフで頻出する問題と、家庭で優先して取り組みたい具体的な対策を順を追って解説します。

速さのグラフは、多くの中学入試で扱われやすい分野です。単に速さを計算するだけでなく、人物の動き、出発時刻、停止時間、出会った場所など、複数の情報を一度に読み取れるからです。

また、旅人算、時計算、通過算、流水算など、ほかの速さの問題と組み合わせて出題しやすい特徴もあります。

頻出問題を得点源にするには、グラフの形を丸暗記するのではなく、「線が人物のどのような行動を表しているか」を理解することが大切です。

速さのグラフは、計算力だけでなく、条件整理や読解力まで確認できる問題です。

一つのグラフから複数の問いを作れるため、基本問題にも応用問題にも使われます。

速さの公式だけでなく読み取る力を測れる

速さの基本公式は、次の3つです。

速さ＝道のり÷時間
道のり＝速さ×時間
時間＝道のり÷速さ

しかし、速さのグラフでは、どの時間と道のりを使うのかを自分で判断しなければなりません。

例えば、30分で3km進み、その後10分休憩した人の速さを求める場合、使う時間は30分です。休憩した10分は、その区間の速さには含めません。

30分＝0.5時間なので、

3÷0.5＝時速6km

となります。

公式を覚えていても、必要な区間を選べなければ正解できません。そのため、速さのグラフは理解度を測りやすい問題として出題されます。

複数の条件を一つの図で整理できる

文章だけで書くと複雑な動きも、グラフなら一目で表せます。

例えば、

「Aさんは午前9時に家を出て、30分で3km進み、10分休憩したあと、20分で家に戻った」

という行動は、次の4点で表せます。

・0分、0km
・30分、3km
・40分、3km
・60分、0km

最初は右上がり、次に横向き、最後は右下がりの線になります。

入試では、このグラフから、

・進んだ速さ
・休憩時間
・帰りの速さ
・全体の平均の速さ

などを続けて問えます。

複数の情報を整理しながら解く力を見るため、速さのグラフは頻出します。

旅人算や通過算と組み合わせやすい

速さのグラフは、旅人算と特に相性のよい問題です。

2人が向かい合って進む出会い、同じ方向へ進む追いつきは、2本の線の交点で表せます。

電車と人の動きを表せば、通過算にもつながります。川の流れを含めれば、流水算との組み合わせも可能です。

そのため、グラフの読み方だけを覚えるのではなく、

・2人は同じ方向か
・向かい合っているか
・出発時刻は同じか
・途中で止まっているか

を確認する必要があります。

速さの基本と旅人算の考え方を同時に使えることが、入試で頻出する理由の一つです。

速さのグラフで頻出する5つの問題

速さのグラフにはさまざまな出題がありますが、まずは5つの典型問題を優先しましょう。

頻出パターンごとに、グラフのどこを見るかを決めておくと解きやすくなります。

横向きの線から停止時間を求める問題

グラフの線が横向きになっている部分では、時間だけが進み、出発地点からの道のりは変わっていません。

つまり、その場所で止まっています。

例えば、30分から50分まで4km地点で横向きなら、停止時間は、

50－30＝20分

です。

この区間の速さは0になります。

ただし、グラフから分かるのは「同じ場所にいた」ということです。休憩、信号待ち、待ち合わせなど、止まった理由は問題文から確認します。

頻出問題では、横向きの線の両端から横軸へ線を下ろし、開始時刻と終了時刻を正確に読むことが大切です。

2本の線の交点から出会いを読む問題

2人が別の地点から向かい合って進む問題では、2本の線が交わる点が出会った時刻と場所です。

交点が横軸40分、縦軸3kmなら、

「出発から40分後に、基準となる地点から3kmの場所で出会った」

と読み取れます。

交点では、2人の時刻と場所がどちらも同じです。

問題文で「いつ出会ったか」と聞かれたら横軸を読み、「どこで出会ったか」と聞かれたら縦軸を読みます。

実際の入試では、時刻と場所を両方答えさせることもあります。交点を見つけたら、横と縦の両方を確認する習慣をつけましょう。

後から出発した人が追いつく問題

同じ方向へ進む2人の問題では、後から出発した人の線が、先に進んでいる人の線へ交わると追いつきです。

例えば、Aさんが午前9時に時速4kmで出発し、Bさんが30分後に時速6kmで追いかけたとします。

Aさんが先に進んだ道のりは、

4×0.5＝2km

です。

BさんがAさんに近づく速さは、

6－4＝時速2km

なので、追いつくまでの時間は、

2÷2＝1時間

となります。

Bさんは午前9時30分に出発したため、追いつくのは午前10時30分です。

追いつき問題では、出発時刻の差から最初の距離を求め、その後に速さの差を使います。

折り返し後の速さを求める問題

右上がりの線が途中から右下がりに変わる点は、人物が折り返した場所です。

例えば、出発から60分で6km地点に着き、30分で出発地点へ戻ったとします。

行きの速さは、

6÷1＝時速6km

です。

帰りの速さは、

6÷0.5＝時速12km

となります。

右下がりの線では、縦軸の数値が小さくなりますが、速さをマイナスにする必要はありません。

出発地点へ向かって進んでいることを下向きの線で表しているだけです。実際に進んだ道のりは6kmとして計算します。

休憩を含む平均の速さを求める問題

平均の速さは、頻出でありながら間違えやすい問題です。

平均の速さは、

全体の道のり÷全体の時間

で求めます。

例えば、6kmの道を1時間で進み、30分休憩し、その後6kmを30分で戻ったとします。

全体の道のりは、

6＋6＝12km

です。

全体の時間は、

1時間＋30分＋30分＝2時間

なので、平均の速さは、

12÷2＝時速6km

となります。

行きと帰りの速さを足して2で割る方法ではありません。また、休憩を含むと指定されている場合は、止まっていた時間も全体の時間に含めます。

頻出問題で差がつく読み取りポイント

典型問題を知っていても、グラフの読み方が不安定だと失点します。

入試で差がつくのは、計算を始める前の確認です。

軸と目盛りを最初に確認する

グラフを見たら、最初に次の3点を確認します。

・横軸は何を表しているか
・縦軸は何を表しているか
・1目盛りはいくつか

多くの場合、横軸は時間、縦軸は出発地点からの道のりです。

ただし、横軸が「経過時間」ではなく「時刻」の場合もあります。午前9時から始まるグラフなら、横軸の9時30分は出発から30分後です。

また、縦軸の1目盛りが1kmとは限りません。

最初に軸の横へ「時間」「道のり」と書き込むだけでも、読み違いを減らせます。

折れ曲がる点で区間を分ける

線が折れ曲がる点では、速さ、進む方向、停止のいずれかが変わっています。

一つの長い線として見るのではなく、折れ曲がる点に丸を付けて区間を分けましょう。

例えば、

①0分から30分まで進む
②30分から40分まで止まる
③40分から60分まで戻る

と整理します。

区間ごとに、

・かかった時間
・進んだ道のり
・速さ

を書き出すと、関係のない休憩時間を含めるミスを防げます。

複雑なグラフほど、区間を分けることが重要です。

傾きは数字で確かめる

時間と道のりのグラフでは、一般に傾きが急な線ほど速く進んでいます。

しかし、見た目だけで速さを決めるのは危険です。グラフによって目盛りの大きさが違うからです。

30分で3km進む場合は、

3÷0.5＝時速6km

です。

60分で3km進む場合は、

3÷1＝時速3km

となります。

線の傾きを見て速さを予想したあと、必ず、

道のりの変化÷時間の変化

で確認しましょう。

交点では時刻と場所の両方を読む

2本の線の交点では、2人が同じ時刻に同じ場所にいます。

交点を見つけたら、横軸だけでなく縦軸も確認します。

例えば、交点が出発から50分後、P地点から4kmなら、

「50分後に、P地点から4kmの場所で出会った」

または、

「50分後に、P地点から4kmの場所で追いついた」

と答えます。

出会いか追いつきかは、2人の進む方向から判断します。

向かい合っていれば出会い、同じ方向なら追いつきです。交点の意味だけでなく、人物の動きも合わせて確認しましょう。

速さのグラフ頻出問題を家庭で対策する方法

家庭学習では、頻出問題だけを暗記するのではなく、初めて見るグラフでも同じ順番で読める状態を目指します。

基本から複合問題へ段階的に進みましょう。

基本から複合問題へ段階的に進む

最初は、一人だけが動く短いグラフを使います。

・進む
・止まる
・戻る
・途中で速さが変わる

という基本を確認します。

次に、二人の線があるグラフへ進み、出会いと追いつきを練習します。

最後に、休憩、折り返し、出発時刻のずれなどが複数含まれる問題へ進みます。

一人の動きを正しく読めない段階で、複雑な旅人算へ進んでも理解は定着しません。

「一人の動き→二人の交点→複数条件」の順に進めることが大切です。

1日15分で読む・計算する・描く

家庭学習は、1日15分程度でも続けられます。

最初の5分は、グラフを見て人物の動きを言葉にします。

次の5分は、一つの区間の速さや停止時間を求めます。

最後の5分は、文章から簡単なグラフを描きます。

例えば、

「20分で2km進み、10分止まり、20分で家へ戻る」

という文章なら、

・0分、0km
・20分、2km
・30分、2km
・50分、0km

の4点を結びます。

読むだけでなく描く練習を入れると、線と人物の動きが結びつきやすくなります。

間違いを原因別に分類する

速さのグラフの間違いは、主に次の4つです。

・軸や目盛りの読み違い
・人物の行動の読み違い
・時間の単位換算ミス
・速さの計算ミス

例えば、横向きの線を「ゆっくり進んでいる」と読んだ場合は、人物の行動の読み違いです。

30分を0.3時間にした場合は、単位換算のミスです。

式は正しいのに割り算を間違えた場合は、計算ミスです。

間違いの原因を問題番号の横に一言書くと、次に復習する内容が明確になります。

時間を空けて同じ問題を解き直す

解説を読んだ直後に解けても、考え方が定着したとは限りません。

間違えた問題は、

・当日
・3日後
・1週間後

を目安に解き直します。

当日は解説を閉じてもう一度解き、3日後には最初の一手を自分で選べるか確認します。

1週間後には、

「この線は何を表す？」
「なぜここが交点になる？」
「なぜこの時間を使うの？」

と、理由まで説明させましょう。

すべての問題を何度も解く必要はありません。読み取りを間違えた問題や、親のヒントが必要だった問題に絞ると効率的です。

まとめ｜頻出パターンを理解して得点源にする

中学受験算数の速さのグラフでは、停止、出会い、追いつき、折り返し、平均の速さが頻出します。

横向きの線は同じ場所に止まっている状態、2本の線の交点は同じ時刻に同じ場所にいる状態、右下がりの線は出発地点へ戻る動きを表します。

ただし、形だけを覚えるのではなく、最初に横軸、縦軸、1目盛りの大きさを確認してください。

次に、折れ曲がる点でグラフを区切り、各区間の行動を言葉にします。その後で、時間、道のり、速さを整理して計算します。

出会いと追いつきでは、交点から時刻と場所の両方を読みます。向かい合っていれば出会い、同じ方向なら追いつきです。

平均の速さは、区間ごとの速さの単純平均ではありません。必ず、全体の道のりを全体の時間で割って求めます。

家庭学習では、基本的な一人の動きから始め、二人の交点、複数条件の問題へ段階的に進みましょう。

1日15分でも、グラフを読む、計算する、文章から描くという3つを続ければ、線と人物の動きが結びつきます。

頻出問題を得点源にするために大切なのは、答えの出し方を覚えることではありません。「いつ、どこで、どのように動いたか」を正しい順番で読み取れるようにすることです。