受験算数の差集め算｜解き方を図で理解

受験算数の差集め算とはどのような問題？

この記事では、受験算数の差集め算について、問題の見分け方から基本的な解き方、家庭での教え方まで順を追って解説します。

差集め算は、「1人に何個ずつ配る」「1個につき何円ずつ違う」といった、1つあたりの差を集めて考える特殊算です。式だけを見ると簡単に感じますが、余りと不足の扱い方や、どの差で割るのかが分からず混乱する子も少なくありません。

大切なのは、公式を丸暗記することではなく、2通りのやり方を比べたときに、全体でどれだけ違いが生まれるのかを理解することです。

差集め算では、同じ人数や同じ個数を使って2通りの計算を行い、その結果に生じた差から人数や個数を求めます。

まずは、どのような仕組みの問題なのかを整理しましょう。

1つあたりの差を集めて全体の差を考える

例えば、子ども1人に鉛筆を4本ずつ配る場合と、6本ずつ配る場合を比べます。

1人あたりの差は、

6－4＝2本

です。

子どもが5人いれば、全体の差は、

2×5＝10本

になります。

子どもが8人なら、

2×8＝16本

です。

このように、1人あたりの差を人数分集めたものが、全体の差になります。

差集め算では、この関係を逆に使います。

全体の差÷1人あたりの差＝人数

という形です。

ただし、実際の問題では、全体の差が「余り」と「不足」に分かれて書かれることが多いため、最初に全体の差を正しく求める必要があります。

差集め算によく出る3つの数量

差集め算では、主に次の3つの数量を扱います。

• 1人あたり、または1個あたりの差
• 全体で生じた差
• 人数や個数

例えば、1人に3個ずつ配る場合と5個ずつ配る場合では、1人あたりの差は2個です。

3個ずつ配ると12個余り、5個ずつ配ると8個不足するなら、全体の差は、

12＋8＝20個

です。

したがって、人数は、

20÷2＝10人

となります。

「1つあたりの差」「全体の差」「いくつ分あるか」の3つを区別できれば、差集め算の基本は理解できています。

和差算やつるかめ算との違い

差集め算は、名前に「差」が付くため、和差算と混同されることがあります。

和差算は、2つの数量の和と差から、それぞれの数量を求める問題です。一方、差集め算では、1つあたりの差を人数分、個数分だけ集めて考えます。

つるかめ算も「全部を一方にそろえる」という点では似ていますが、つるかめ算では足の本数や金額などの合計を使って、2種類の個数を求めます。

差集め算では、同じ人数や個数に対して、配り方や値段を変えたときの差を見ることが特徴です。

差集め算の基本的な解き方を3手順で理解する

差集め算は、次の3手順で整理すると解きやすくなります。

手順1｜2通りの配り方の差を求める

最初に、1人あたり、または1個あたりの差を求めます。

例えば、1人に4個ずつ配る場合と7個ずつ配る場合なら、

7－4＝3個

です。

この3個が、1人分の差です。

ここで配る個数を足してしまう子がいますが、比べたいのは2通りの違いです。そのため、大きい方から小さい方を引きます。

手順2｜1人あたり・1個あたりの差を求める

次に、余りや不足から全体の差を求めます。

代表的な考え方は次の2つです。

一方で余り、もう一方で不足する場合は、余りと不足を足します。

例えば、4個ずつ配ると10個余り、7個ずつ配ると8個不足するなら、

10＋8＝18個

です。

少なく配った場合には10個余っている一方、多く配るにはさらに8個必要です。2つの状態の間には18個の違いがあります。

一方、どちらの場合も余るなら、余りどうしを引きます。

例えば、4個ずつ配ると22個余り、6個ずつ配ると10個余るなら、

22－10＝12個

です。

配る数を増やしたことで、余りが12個減ったと考えます。

手順3｜全体の差を1つあたりの差で割る

最後に、全体の差を1人あたり、または1個あたりの差で割ります。

全体の差が18個、1人あたりの差が3個なら、

18÷3＝6人

です。

これは、「3個の差が何人分集まると18個になるか」を求めています。

子どもが割り算の向きを迷う場合は、次のように考えさせましょう。

3個×□人＝18個

この□を求めるため、

18÷3＝6

となります。

差集め算の代表問題を図と式で解説

ここからは、入試や塾教材でよく出る代表的な問題を解いてみましょう。

余りと不足がある問題

【問題】

何人かの子どもに折り紙を配ります。1人に4枚ずつ配ると12枚余り、1人に7枚ずつ配ると9枚不足します。子どもは何人いますか。

【考え方】

4枚ずつ配った場合と7枚ずつ配った場合では、1人あたり、

7－4＝3枚

多く必要になります。

4枚ずつなら12枚余り、7枚ずつにするにはさらに9枚足りません。

そのため、全体の差は、

12＋9＝21枚

です。

21枚の差が、1人あたり3枚ずつ集まってできています。

21÷3＝7人

【答え】

7人

確かめると、折り紙の枚数は、

4×7＋12＝40枚

です。

また、

7×7－9＝40枚

となり、どちらの条件でも同じ40枚になります。

どちらも余る問題

【問題】

何人かの子どもにあめを配ります。1人に3個ずつ配ると26個余り、1人に5個ずつ配ると12個余ります。子どもは何人いますか。

【考え方】

1人あたりの差は、

5－3＝2個

です。

配る数を1人あたり2個増やしたことで、余りは、

26－12＝14個

減りました。

したがって、人数は、

14÷2＝7人

です。

【答え】

7人

あめの総数を確かめると、

3×7＋26＝47個

5×7＋12＝47個

となり、条件に合います。

どちらも余る問題では、余りどうしを足さないことがポイントです。2つの余りの差が、配る個数を増やした分に当たります。

人数ではなく個数を求める問題

【問題】

ノートを1冊120円で買う場合と、1冊150円で買う場合を比べます。同じ冊数を買うと、代金の差は720円になりました。ノートは何冊買いましたか。

【考え方】

1冊あたりの値段の差は、

150－120＝30円

です。

全体の代金の差は720円です。

したがって、冊数は、

720÷30＝24冊

です。

【答え】

24冊

差集め算は、配り方の問題だけではありません。1個あたりの値段、長さ、重さ、時間などの差から、個数を求める問題にも使われます。

差集め算が解けない原因と家庭での教え方

差集め算でつまずく子は、計算そのものよりも、差の扱い方で迷っていることが多いものです。

余りと不足を同じ向きに扱っている

最も多い間違いは、余りと不足をそのまま引くことです。

例えば、12個余り、9個不足する場合に、

12－9＝3

としてしまいます。

しかし、12個余っている状態から、9個足りない状態へ移るには、余っている12個を使い切り、さらに9個必要です。

そのため、

12＋9＝21

となります。

家庭では、数直線を使うと説明しやすくなります。

不足をマイナス、余りをプラスとすると、＋12から－9までの距離は21です。

難しく感じる場合は、実際におはじきを配り、余りがなくなった後に不足する様子を見せると理解しやすくなります。

割る数と割られる数が逆になっている

「1人あたりの差÷全体の差」としてしまう子もいます。

この場合は、単位を確認しましょう。

全体の差が21枚、1人あたりの差が3枚なら、

21枚÷3枚＝7人分

と考えます。

厳密には「3枚ずつのまとまりが21枚の中にいくつあるか」という意味です。

また、

3×人数＝21

という式を先に作らせる方法も効果的です。かけ算の逆として割り算を考えると、式の向きを判断しやすくなります。

公式を覚える前に表や図で差を確認する

差集め算では、

（余り＋不足）÷1つあたりの差

という形を覚えることがあります。

しかし、公式だけを覚えると、どちらも余る問題や、どちらも不足する問題で混乱します。

最初は、次のような表を書きましょう。

配り方	結果
1人4個	12個余る
1人7個	9個不足

この表から、

• 1人あたりは3個増える
• 全体では21個多く必要になる

と確認します。

表で2つの状態を並べると、何と何を比べているのかが明確になります。

答えを元の条件へ戻して確かめる

差集め算では、答えが出た後の検算が特に大切です。

人数が7人と求められたなら、2通りの方法で全体の個数を計算します。

4×7＋12＝40
7×7－9＝40

両方が同じ40になれば正解です。

もし一致しなければ、余りと不足の扱い、1人あたりの差、割り算のどこかに誤りがあります。

家庭では、答えが合っているかだけでなく、「2通りで同じ総数になったか」まで確認させましょう。この習慣は、入試本番での見直しにも役立ちます。

まとめ｜差集め算の解き方は2つの差を見つけることから

受験算数の差集め算では、2つの差を見つけることが解き方の中心です。

1つ目は、1人あたり、または1個あたりの差です。2通りの配り方や値段を比べ、大きい方から小さい方を引きます。

2つ目は、全体で生じた差です。余りと不足がある場合は足し、どちらも余る場合は引いて求めます。

最後に、

全体の差÷1つあたりの差

を計算すれば、人数や個数が分かります。

ただし、公式だけを暗記させるのではなく、「1人分の差が何人分集まって全体の差になったのか」を説明できる状態を目指しましょう。

家庭学習では、表やおはじきを使って2通りの状態を比べ、答えが出たら元の条件へ戻して検算します。

差集め算の考え方が身につけば、配り方だけでなく、代金、長さ、重さなどを扱う問題にも対応しやすくなります。まずは余りと不足の基本問題から、1問ずつ丁寧に取り組んでください。