受験算数の差集め算を例題でやさしく解説

受験算数の差集め算とは何か

この記事では、受験算数の差集め算について、基本の仕組み、例題の解き方、間違えやすい点、家庭での教え方を順を追って解説します。

差集め算は、中学受験算数でよく扱われる特殊算の一つです。問題文には「余る」「不足する」「多く必要になる」といった言葉が登場し、複数の差を整理しなければなりません。

そのため、公式だけを覚えた子は、「どの数字を足すのか」「何で割るのか」が分からなくなりやすい単元です。

しかし、差集め算の考え方は決して複雑ではありません。ポイントは、「1人分・1個分の差」と「全体で生じた差」を分けて考えることです。この2種類の差が見えるようになると、式の意味も理解しやすくなります。

1回分の差を集めて回数を求める問題

差集め算とは、1回ごとに生まれる差を何回分か集め、全体の差になる回数を求める問題です。

代表的なのは、品物を人数に配る問題です。

たとえば、子ども1人に鉛筆を5本ずつ配る場合と、3本ずつ配る場合を比べます。1人あたりの配る本数の差は、

5－3＝2本

です。

子どもが10人いれば、この差が10人分集まるため、

2×10＝20本

の差になります。

差集め算では、この関係を反対に使います。

全体の差が20本、1人分の差が2本なら、

20÷2＝10人

と人数を求められます。

つまり、差集め算の基本は次の式です。

回数＝全体の差÷1回分の差

ここでいう回数は、問題によって人数、個数、日数、枚数などに変わります。

差集め算で使う3つの数量

差集め算を解くときは、次の3つの数量を整理します。

1つ目は、1人分または1回分の差です。

2つ目は、全体で生じた差です。

3つ目は、差が何回分集まったかという回数です。

たとえば、

「1人に5本ずつ配ると8本不足し、3本ずつ配ると12本余る」

という問題なら、1人分の差は、

5－3＝2本

です。

全体の差は、不足した8本と余った12本を合わせた、

8＋12＝20本

です。

したがって、人数は、

20÷2＝10人

となります。

差集め算が苦手な子は、2本、8本、12本という3つの数字の役割を区別できていません。まずはそれぞれが「1人分の差」なのか「全体の差」なのかを確認することが大切です。

和差算やつるかめ算との違い

差集め算は、「差」という言葉が入っているため、和差算と混同されることがあります。

和差算は、2つの数量の合計と差から、それぞれの大きさを求める問題です。一方、差集め算は、同じ回数だけ繰り返したときの全体の差から、回数を求めます。

また、つるかめ算も、1つあたりの違いに注目する点では似ています。

ただし、つるかめ算は、すべてを一方だと仮定し、実際との差からもう一方の個数を求める問題です。差集め算は、2通りの配り方や使い方を比べ、全体の差を1回分の差で割ります。

問題名を覚えるよりも、「何を比べているのか」を見る方が重要です。2通りの方法を同じ人数や回数で行っているなら、差集め算を使える可能性があります。

差集め算の基本的な解き方を例題で解説

例題｜鉛筆を配る本数から人数を求める

次の例題を使って、基本的な解き方を確認します。

「子どもたちに鉛筆を配ります。1人に5本ずつ配ると8本不足し、1人に3本ずつ配ると12本余ります。子どもは何人いますか」

この問題には、2通りの配り方があります。

• 5本ずつ配ると8本不足する
• 3本ずつ配ると12本余る

同じ本数の鉛筆を、同じ人数の子どもに配っている点がポイントです。

配る本数を5本から3本に減らすと、1人につき2本ずつ少なくて済みます。その2本分が人数分集まることで、不足していた8本を補い、さらに12本余る状態に変わります。

手順1｜1人分の差を求める

まず、1人に配る本数の差を求めます。

5－3＝2本

この2本が、1人分の差です。

問題文に数字が3つ以上出てくると、子どもはすぐに8＋12や12－8を計算したくなります。しかし、最初に見るべきなのは、1人あたりの配り方の違いです。

家庭では、

「1人分は何本減ったの？」

と聞いてください。

5本から3本になったため、1人分の差は2本です。

手順2｜全体の差を求める

次に、2通りの配り方によって生じる全体の差を求めます。

5本ずつでは8本不足しています。一方、3本ずつでは12本余っています。

不足している状態から余っている状態まで変化したため、全体の差は、

8＋12＝20本

です。

数直線をイメージすると分かりやすくなります。

不足8本を「－8」、余り12本を「＋12」と考えると、－8から＋12までの距離は20です。

ここで12－8としてしまうと、2つの状態の距離ではなく、数字の表面だけを引いていることになります。

手順3｜全体の差を1人分の差で割る

最後に、全体の差20本が、1人分の差2本の何人分にあたるかを求めます。

20÷2＝10人

答えは10人です。

確認してみましょう。

5本ずつ配るために必要な鉛筆は、

5×10＝50本

8本不足するため、実際の鉛筆は、

50－8＝42本

です。

3本ずつ配ると、

3×10＝30本

必要です。実際には42本あるため、

42－30＝12本

余ります。

問題文の条件と一致するので、子どもの人数は10人で正しいと分かります。

差集め算では、答えを出した後に一方の条件へ戻して確認すると、足し引きの間違いを見つけやすくなります。

差集め算で間違えやすい3つのポイント

「余る」と「不足する」の符号で混乱する

差集め算で最も多い間違いは、余りと不足を同じ方向の数として扱うことです。

余りは、必要な数より多い状態です。不足は、必要な数より少ない状態です。

先ほどの例では、8本不足する状態と12本余る状態を比べています。この2つは基準を挟んで反対側にあるため、差は足して求めます。

8＋12＝20本

子どもには、「足りない8本をまず埋めて、そこからさらに12本余る」と説明すると理解しやすくなります。

不足からちょうどの状態まで8本、ちょうどから余り12本まで12本進むため、合計20本の変化です。

全体の差を足すのか引くのか迷う

2通りとも余る場合や、2通りとも不足する場合は、全体の差を引いて求めます。

たとえば、

「5本ずつ配ると4本余り、3本ずつ配ると18本余る」

なら、どちらも余っています。

全体の余りの差は、

18－4＝14本

です。

一方が不足、もう一方が余りなら足します。両方とも余り、または両方とも不足なら、大きい方から小さい方を引きます。

覚え方は次の通りです。

• 余りと不足：足す
• 余りと余り：引く
• 不足と不足：引く

ただし、言葉だけを丸暗記させるのではなく、2つの状態が基準の同じ側か反対側かを考えさせることが重要です。

求めた人数に余りの分を含めてしまう

全体の差を1人分の差で割ると、人数が求められます。

ところが、子どもによっては、求めた人数に余った本数や不足した本数を足してしまうことがあります。

たとえば、

20÷2＝10

と求めた後に、「12本余るから22人」としてしまうケースです。

これは、割り算の答えが何を表しているか分かっていない状態です。

式を書いたら、

「20本の中に、1人分の2本が何個ある？」

と聞いてみてください。

2本のまとまりが10個あるため、10人です。式の数字だけでなく、単位をつけて考えると混乱を防げます。

家庭で差集め算を理解させる教え方

少人数の具体例から始める

差集め算が理解できない場合は、問題文の大きな数字をそのまま説明しない方がよいことがあります。

まず、子どもが3人いる場面を考えます。

1人に5個ずつ配る場合は、

5×3＝15個

必要です。

1人に3個ずつ配る場合は、

3×3＝9個

必要です。

必要な個数の差は、

15－9＝6個

です。

1人分の差は2個で、それが3人分集まるため、

2×3＝6個

になります。

このように、人数が分かっている小さな例で「1人分の差が人数分集まる」ことを確認してから、人数を求める問題へ進むと理解しやすくなります。

表を使って1回分の変化を見える化する

差集め算では、線分図より表が分かりやすい子もいます。

たとえば、次のように整理します。

配り方	1人分	全体の状態
多く配る	5本	8本不足
少なく配る	3本	12本余る
差	2本	20本

この表を見ると、1人分の差が2本、全体の差が20本だと分かります。

そのため、

20÷2＝10人

と式を立てられます。

毎回同じ形式の表を使うと、子どもは問題文のどの数字をどこへ書くか判断しやすくなります。

式を立てる前に言葉で説明させる

差集め算では、式だけ合っていても、考え方を理解していない場合があります。

計算する前に、子どもに次の2つを説明させてください。

「1人分では何本違う？」

「全体では何本分変わった？」

この2点を言葉で説明できれば、式は自然に決まります。

たとえば、

「1人分は2本違い、全体では20本違うから、20を2で割る」

と説明できれば十分です。

「何算を使うの？」と聞くより、数量の意味を尋ねる方が、初めて見る問題にも対応できる力が育ちます。

基本・言い換え・応用の順で練習する

家庭学習では、最初から難しい問題を解かせる必要はありません。

まずは、一方が余り、もう一方が不足する基本問題に取り組みます。

次に、「配る」を「買う」「座る」「運ぶ」などに言い換えた問題を解きます。

最後に、両方とも余る問題、両方とも不足する問題、差が直接書かれていない問題へ進みます。

1日2～3問を目安にし、翌日と1週間後にも代表的な問題を1問ずつ解き直しましょう。

解き方を忘れた場合は公式を教え直すのではなく、

「1回分の差は？」

「全体の差は？」

という2つの問いに戻ることが大切です。

まとめ｜差集め算は2種類の差を区別すれば解ける

受験算数の差集め算は、1人分や1回分の差が、全体でいくつ集まったかを考える問題です。

基本の式は、

回数＝全体の差÷1回分の差

となります。

差集め算を解くときは、次の順番で整理してください。

• 2通りの方法における1人分の差を求める
• 余りや不足から全体の差を求める
• 全体の差を1人分の差で割る
• 求めた答えを問題の条件に戻して確認する

特に、一方が余り、もう一方が不足する場合は、2つを足して全体の差を求めます。両方とも余る、または両方とも不足する場合は、その差を引きます。

家庭で教える際は、公式を先に暗記させるより、「1人分ではいくつ違うか」「全体ではいくつ変わったか」と質問してください。

この2種類の差を子ども自身が説明できれば、数字や題材が変わっても、自力で差集め算を解けるようになります。