開成2017年算数を解説｜4題の攻略法と復習法

開成2017年算数の難易度と全体像

この記事では、開成中学校の2017年算数について、大問ごとの考え方、合否を分けた力、家庭での復習方法を分かりやすく解説します。

開成の算数というと、特別なひらめきがなければ解けない印象を持つかもしれません。しかし、2017年の問題には、塾で学ぶ基本的な解法を使って得点できる設問も多く含まれていました。

難しかったのは、知識そのものよりも、長い説明から条件を読み取り、図や式に置き換える部分です。過去問を解いて点数が低くても、すぐに「実力不足」と判断する必要はありません。どこまで整理できていたかを確認すれば、次に伸ばすべき力が見えてきます。

合格者平均54.8点で差がついた

2017年の開成中学校算数は、85点満点、試験時間60分で実施されました。受験者平均は40.1点、合格者平均は54.8点で、両者には14.7点の差がありました。合格者平均の得点率は約64.5％です。

合格者でも平均得点は7割に届いていません。つまり、全問を解き切ることより、取れる問題を正確に得点する力が重要だったと分かります。

過去問を家庭で採点するときも、「54.8点に届いたか」だけを見るのはおすすめできません。

たとえば40点だった場合でも、計算ミスで10点近く失ったのか、問題文の意味が分からず白紙だったのかでは、必要な対策が異なります。得点と同時に、失点の原因を記録することが大切です。

大問4題で題意を読み取る力が問われた

2017年算数は、大問1の小問集合、大問2の長方形の分割、大問3の図形と速さ、大問4の水を入れた三角柱という4題構成でした。

大問1では計算、倍数、周期性といった基本事項が問われています。一方、大問2では、正方形に分割された長方形を矢印付きの経路に置き換えるという、初めて見る設定を理解しなければなりません。

大問3は相似やダイヤグラムを利用する問題、大問4は容器の置き方を変えたときの水の深さを考える問題です。

単元は異なりますが、すべてに共通するのは「問題文の条件を自分で整理する必要がある」という点です。覚えた公式へ数字を当てはめるだけでは、最後まで解き進められません。

難問より標準問題の取りこぼしに注意

2017年は、大問2が長文で独特な設定だったため、そこで時間を使いすぎた受験生もいたと考えられます。

一方、大問1と大問3、大問4の最終設問以外は、5～6年生で学ぶ解き方を使って対応できる内容だったと分析されています。

そのため、合否を分けたのは最難問を解けたかだけではありません。

大問1の計算や周期、大問3の相似、大問4の前半を落とさなかったかが重要です。難しい問題に目を奪われ、取るべき問題を失点すると、合格者平均との差が一気に広がります。

開成2017年算数を大問別に解説

大問1は計算と周期を確実に取る

大問1は、同じ数が複数の空欄に入る逆算と、1から2017までの整数を扱う倍数の問題でした。

逆算では、空欄を同じ数としてまとめて考えます。式を左から順に計算しようとすると混乱しやすいため、まず空欄に関係する部分を整理することが大切です。

倍数の問題では、「3でも4でも割り切れない2の倍数」と「3でも4でも割り切れない5の倍数」の個数を求めます。

2の倍数については、3と4と2の最小公倍数である12を一区切りとして考えます。1から12までに条件を満たす数は2と10の2個です。この並びが12ごとに繰り返されるため、2017までに何周期あるかを調べます。

5の倍数では、3、4、5の最小公倍数である60を一区切りにします。1から60までの条件を満たす数を数え、完全な周期と最後の余りに分けます。

家庭では、公式として覚えさせるのではなく、最初の1周期を実際に書き出させてください。「なぜ12ごとに同じ並びになるのか」を説明できることが重要です。

大問2は長方形の分割を経路で考える

大問2は、正方形で分割された長方形を、点と矢印からなる経路へ置き換える問題です。

それぞれの正方形の一辺の長さを矢印に対応させ、一つの点へ入る矢印の数の合計と、その点から出る矢印の数の合計が等しくなる性質を使います。さらに、空欄の数、元の長方形の縦横、正方形による分割の様子を復元します。

初見では難しく見えますが、問題文の中に考え方が説明されています。

重要なのは、説明を急いで読み飛ばさないことです。「入ってくる矢印の合計＝出ていく矢印の合計」という決まりを、各点で一つずつ使えば、空欄の数を順番に求められます。

この問題でつまずく子は、図全体を一度に理解しようとします。

家庭では、まず一つの点だけを丸で囲み、「入る数」「出る数」を分けて書かせましょう。一つの空欄が求まれば、その数を次の点へ持っていきます。

大問2は、特殊な知識を試す問題というより、与えられたルールを正確に使い続けられるかを見る問題です。

大問3は相似を使う図形と速さ

大問3は、平面図形と速さの2問で構成されていました。

図形の問題では、2組の長方形と3本の直線からできる相似な三角形に注目します。相似比を使うと、求める長さを一つの比例関係にまとめられます。

解説例では、

1：x＝x：9

という関係から、x×x＝9となり、x＝3と求めています。

速さの問題では、阿部君と馬場君が向かい合って進みます。阿部君は分速50mで進み、B地点から250m離れた場所ですれ違います。

阿部君がすれ違い地点からB地点まで進む時間は、250÷50＝5分です。馬場君がすれ違い後にA地点へ着くまでの時間は、5分と46分12秒を合わせた51.2分になります。

一定の速さで進む2人の動きをダイヤグラムで表すと、対応する三角形が相似になります。その結果、

5：y＝y：51.2

という関係を利用して、すれ違うまでの時間を求められます。

家庭では、式だけを覚えさせず、縦軸を距離、横軸を時間とした図を描かせてください。どの三角形が相似なのかを確認すると、比の意味を理解しやすくなります。

大問4は容器の向きと水量を整理する

大問4は、底面が3cm、4cm、5cmの直角三角形である三角柱の容器に水を入れ、置く面を変えたときの水面の高さを考える問題です。

この問題では、容器をどの向きに置いても水の体積は変わりません。

そのため、真正面から見た水の断面積と、容器の奥行きを使って体積を比べます。前半では、水量の比から高さの比を求め、台形の面積の関係を使って辺の長さを絞ります。

さらに、空気が入っている部分へ注目すると、相似な三角形が見つかります。水の部分だけを見て解けないときに、残っている空間を見ることが重要です。

家庭では、立体のまま考えさせないようにしましょう。

容器を正面から見た断面図を描き、水の部分を斜線で表します。そのうえで、「水の量が同じ」「奥行きが同じ」「断面積が等しい」という順番で整理します。

最終設問は、それまでの設問と解き方が直接つながりにくく、難度の高い問題でした。前半を確実に得点し、最後は時間に余裕がある場合に取り組む判断が適切です。

開成2017年算数で差がついた3つの力

長い説明を図へ変換する力

大問2と大問4は問題文が長く、読むだけで疲れてしまう構成です。

しかし、文章を何度も読み返すだけでは状況を整理できません。矢印の流れ、容器の断面、水面の位置などを、自分の手で図に書き込む必要があります。

家庭で子どもが止まったときは、「式は何になるの」と聞くより、「分かっていることを図に書いてみよう」と声をかけてください。

式は、状況を理解した後に作るものです。図を作れないまま式だけを探すと、数値を適当に組み合わせる学習になってしまいます。

前の設問を次のヒントにする力

開成の大問は、前半の設問が後半を解くための誘導になっています。

大問2では、一つの点で使った矢印の法則を別の点へ繰り返し利用します。大問4では、前半で求めた比や長さを断面図へ書き込むことで、後半の計算へ進めます。

後半で手が止まった場合は、新しい解法を探す前に、前の答えを見直しましょう。

「この数は図のどこに書けるか」「前の設問で分かった比と同じ形はないか」と考えると、問題を作った人の誘導に気づきやすくなります。

難問を後回しにする判断力

60分で4つの大問を解くためには、問題を選ぶ力も必要です。

大問2は設定の理解に時間がかかり、大問4の最終設問も難度が高い問題でした。一方、大問1や大問3、大問4の前半は、日頃学んだ解法を使って得点しやすい内容です。

本番では、3～5分考えても図や式が一つも書けない問題は、いったん飛ばします。

反対に、方針が立っている問題は、多少計算が長くても最後まで進めます。「考えれば解けそう」と「何をすればよいか分からない」を区別できるようにしましょう。

家庭で実践できる過去問の復習法

失点原因を4種類に分ける

丸付け後は、問題を次の4種類に分けます。

一つ目は、自力で正解できた問題です。二つ目は、考え方は合っていたが計算ミスをした問題。三つ目は、解説を読めば理解できた問題。四つ目は、解説を読んでも理解が難しい問題です。

最優先で復習するのは、二つ目と三つ目です。

この2種類は、比較的短い時間で得点へ変えられます。最難問ばかりを何度も解くより、取れたはずの問題を確実にするほうが、合格者平均へ近づきやすくなります。

答えを隠して最初の一手を再現する

解説を読んだ直後は、分かった気持ちになります。

しかし、翌日に何も見ずに解こうとすると、最初の一手が出てこないことがあります。これは解法を理解したのではなく、解説の流れを追っただけの状態です。

大問1なら最小公倍数で周期を作る、大問2なら一つの点へ入る数と出る数を分ける、大問3なら相似な三角形を探す、大問4なら正面から見た断面図を描くところまで再現させます。

答えまで出せなくても、最初の一手を自力で選べれば大きな前進です。

解き方を子どもの言葉で説明させる

復習の最後には、「どうしてこの方法を使ったの」と質問してください。

「先生がそう解いていたから」ではなく、「12個ごとに同じ余り方が繰り返されるから」「水の体積は置き方を変えても同じだから」と説明できれば、理解が進んでいます。

親が詳しい解法を知らなくても問題ありません。

「この12は何の数字？」「なぜ水ではなく空気を見るの？」と質問するだけで、子どもは自分の考えを整理できます。一方的に教えるより、説明させるほうが理解の曖昧な部分を発見しやすくなります。

学年別に取り組む範囲を変える

小学4年生は、大問1の整数を書き出す練習や、大問2の矢印の決まりを理解するところまでで十分です。完答を目指す必要はありません。

小学5年生は、大問1と大問3を中心に取り組みます。時間を測らず、周期、相似、ダイヤグラムを正しく使えることを目標にします。

小学6年生は、60分で全体を解き、問題を選ぶところまで練習します。終了後は、解けなかった問題だけでなく、「飛ばす判断が遅かった問題」も確認してください。

開成志望でない子にとっても、2017年算数は、初めて見るルールを理解する力や、立体を断面図へ直す力を鍛えられる教材です。

まとめ｜開成2017年算数は整理力を伸ばせる

開成2017年算数は、小問集合、長方形の分割、図形と速さ、水を入れた容器という4題構成でした。

受験者平均40.1点に対し、合格者平均は54.8点で、算数だけでも14.7点の差が生まれています。

ただし、すべてが手の出ない難問だったわけではありません。

大問1の周期、大問3の相似、大問4の前半など、5～6年生で学習する内容を正しく使えば得点できる問題も含まれていました。

家庭で復習するときは、答えを覚えさせるのではなく、問題文をどう図にしたか、最初に何を書いたかを確認しましょう。

長文問題を短い図へ変えること、前の設問を次へ利用すること、難問を適切に後回しにすること。この3つを身につければ、開成だけでなく、他の難関校の初見問題にも対応しやすくなります。