中学受験算数の反射問題｜折り返して考える解き方

中学受験算数の「反射」とはどんな問題？

この記事では、中学受験算数で出題される「反射」の基本から、対称移動を使った解き方、つまずきやすいポイント、家庭での練習方法まで順を追って解説します。

中学受験算数では、光や球が壁や辺に当たり、進む方向を変える「反射」の問題が出題されることがあります。

実際に、正三角形の辺に球が当たりながら進む問題や、光の反射を題材とした問題が中学受験向け教材・入試問題で扱われています。反射は平面図形の応用テーマとして、中学入試でも見られる題材です。

一見すると、角度を次々に計算する難しい問題に見えるかもしれません。

しかし反射問題には、とても大切な考え方があります。

それが、

「曲がっている道筋を、対称移動を使って一直線にする」

という方法です。

この考え方が分かると、複雑に見える反射問題もかなり整理しやすくなります。

光や球が辺に当たって進む図形問題

中学受験の反射問題では、光、球、ビリヤードの玉などが図形の辺に当たり、その後どの方向へ進むかを考えます。

たとえば、

「正三角形の中を球が進み、辺に当たって反射したあと点Cへ到達する」

という問題があります。中学受験向けの実例でも、1辺30cmの正三角形の中で球が反射し、辺上の長さを求める問題が扱われています。

求めるものは、

反射する位置
進んだ距離
辺上の長さ
角度
何回反射するか

などさまざまです。

「入る角度＝出る角度」が基本

反射では、

辺に入ってくる角度と、辺から出ていく角度が等しい

という性質を使います。

学校や教材によっては「入射角と反射角が等しい」と説明されます。

ただし中学受験算数では、角度だけを追い続けるより、図形そのものを折り返して考えたほうが簡単になる問題も多くあります。

ここが反射問題の大きなポイントです。

反射問題は対称移動すると考えやすい

たとえば点Aから出た球が辺に当たり、その後点Bへ向かうとします。

実際の道筋は、

A
↓
反射点
↓
B

と折れ曲がります。

そこで、反射する辺を鏡のように考えて、Bを反対側へ移します。

すると、

Aから「移したB」までを一本の直線で結ぶ

ことができます。

つまり、

反射＝図を折り返す

と考えるわけです。

反射問題について、対称な図形を書き広げて考えることが基本になるという解説も見られます。

反射問題の基本的な解き方

反射する辺を鏡だと考える

まず、球や光が当たる辺を「鏡」だと思ってください。

たとえば長方形の中で、

点Aから出発
↓
上の辺で反射
↓
点Bへ到着

するとします。

実際には上の辺で進行方向が変わります。

しかし、上の辺の向こう側にも同じ長方形があると考えるとどうでしょうか。

反射したあとの道筋を、鏡の向こうまでそのまま伸ばすことができます。

点や図形を反対側へ対称移動する

次に、到着点Bを反射する辺について対称な位置に移します。

元の点をB、移した点をB’としましょう。

すると、

A→反射点→B

という折れ線は、

A→B’

という一本の直線として考えられます。

この方法のよいところは、反射する角度を一つずつ計算しなくてもよいことです。

「鏡に映した点へまっすぐ進んだ」

と考えるだけで、反射点の位置を探せます。

折れた道筋を一直線にして考える

たとえば壁に当たってからゴールへ進む問題なら、

スタート
↓
壁
↓
ゴール

という形になっています。

ここでゴールを壁の向こうへ対称移動します。

スタートから移したゴールまで直線を引き、その直線と壁が交わる場所が反射点です。

反射問題では、

「折れ線をどう計算するか」ではなく、「どうすれば直線にできるか」

と考えることが大切です。

これは最短距離問題にもつながる重要な発想です。

反射が2回以上なら図を順番に広げる

反射が1回なら比較的簡単ですが、2回、3回となると図が複雑になります。

この場合は、一気に考えません。

たとえば、

右の辺
↓
上の辺
↓
ゴール

という順番で反射するなら、

まず右側へ図を対称移動
↓
次に上側へさらに対称移動

というように、反射の順番に図を広げます。

最後にスタート地点と、最終的に移したゴール地点を一本の直線で結びます。

直線がそれぞれの辺を横切る位置が、元の図での反射点です。

反射回数が増えても、基本は同じです。

中学受験算数の反射でつまずく3つの原因

角度だけで追いかけようとする

反射問題を見ると、

「この角度が40度だから、次は……」

と角度だけを追いかける子がいます。

1回反射するだけなら解けることもあります。

しかし反射が複数回になると、角度を書き込む場所が増え、図が見づらくなります。

もちろん角度の知識は必要です。

ただし、

「この図、対称に広げたら直線にならない？」

と考える習慣も持たせましょう。

実際、中学受験では反射と角度を組み合わせた問題も扱われています。

対称な図を正確に書けていない

反射問題では、対称移動した図がずれていると、その後の答えもずれます。

たとえば点Pを辺について対称移動するなら、

元の点から辺までの距離
＝
辺から移した点までの距離

にならなければなりません。

目分量だけで適当に書くと、どの辺を通るのか判断しづらくなります。

練習段階では定規を使い、少し大きめの図を書くことをおすすめします。

反射する順番を整理していない

複数回反射では、

どの辺に最初に当たるのか
次はどこか
最後はどこへ行くのか

を整理することが重要です。

たとえば、

①辺AB
②辺BC
③点D

のように番号を振ります。

それから、その順番に図を折り返します。

反射問題も条件整理の問題だと考えると、解きやすくなります。

家庭でできる反射問題の練習法

まず1回反射する基本問題から始める

算数が苦手な子に、いきなり3回、4回と反射する難問を解かせる必要はありません。

まずは、

四角形の1辺で1回反射
↓
反射点を求める

程度の基本問題から始めます。

ここで、

「反射点を直接探すのではなく、ゴールを反対側へ移す」

という考え方を理解させます。

1回反射を迷わず処理できるようになってから、2回反射へ進みます。

定規を使って対称な図を書く

家庭学習では、図を書く練習そのものを大切にしてください。

最初は、

辺を延長する
同じ長さを取る
対称な点を書く
直線で結ぶ

という作業を丁寧に行います。

「頭の中で分かるから書かなくていい」

という子もいますが、中学受験では複雑な図形ほど書いたほうが安全です。

特に反射では、図を広げること自体が解法になります。

解答を見る前に「展開できない？」と考える

子どもが止まったとき、

「この角度は○度だよ」

とすぐ教えないようにします。

代わりに、

「この辺を鏡だと思ったら？」
「向こう側に同じ図を書けない？」
「折れた線をまっすぐにできない？」

と声をかけてみてください。

親が答えを教えるのではなく、反射問題で使う視点を思い出させることが大切です。

翌日に白紙から図を書き直す

解説を見た直後は、ほとんどの子が「分かった」と感じます。

しかし翌日になると、

「どちら側へ図を移すんだっけ？」

となることがあります。

そこで、一度間違えた問題は翌日にもう一度解きます。

このとき答えを確認するだけではなく、

1. 反射する辺を確認する
2. 対称な図を書く
3. 点を移す
4. 直線を引く
5. 元の図へ戻して答えを求める

という流れを白紙から再現させます。

同じ問題を1週間後にも解ければ、かなり定着していると判断できます。

まとめ｜反射問題は「折れ線を直線にする」と見えやすい

中学受験算数の反射問題では、光や球が辺に当たり、進行方向を変える状況が扱われます。正三角形の中で球が反射する問題など、実際に中学受験向け問題として扱われているテーマです。

一見すると複雑ですが、基本となる考え方はシンプルです。

反射する辺を鏡だと考える
↓
点や図形を対称移動する
↓
折れ曲がった道筋を一直線にする
↓
元の図に戻して答えを求める

という流れです。

反射が2回以上あっても、反射する順番に図を広げていけば考え方は変わりません。

算数が苦手な子の場合は、角度をたくさん書き込んで追いかけるより、まず「図を折り返せないか」と考える習慣をつけるとよいでしょう。

家庭では、1回反射する基本問題から始め、定規を使って対称な図を書くところまで丁寧に練習してください。

反射問題は「ひらめきが必要な難問」に見えますが、対称移動という基本を身につければ整理しやすくなります。

まずは子どもが反射問題で止まったときに、

「この折れた線、まっすぐにできないかな？」

と声をかけるところから始めてみてください。