中学受験算数の図形の移動｜解き方と苦手克服法

中学受験算数の図形の移動は何が難しい？

この記事では、中学受験算数の「図形の移動」でなぜつまずくのか、基本的な考え方から回転・転がり・軌跡の問題まで、家庭で教えられるレベルで順番に解説します。

中学受験算数の図形問題の中でも、苦手意識を持ちやすいのが「図形の移動」です。

静止している三角形や四角形なら見えている長さや角度を使えますが、図形が動くと、

「どこに移動するの？」
「この点はどんな線を通るの？」
「動いた部分の面積はどう求めるの？」

と、考えることが一気に増えます。

特に算数が苦手な子は、完成した図を頭の中で想像しようとして混乱しがちです。

しかし図形の移動は、図形全体を追いかける必要はありません。

基本は、特定の頂点や辺がどのように動いたかを見ることです。

図形の移動が苦手な場合、公式を覚えていないことよりも「動きを図にできていない」ことが原因になっているケースが多くあります。

動いた後の形を頭の中だけで考えてしまう

たとえば正方形を90度回転させる問題を考えてみましょう。

算数が得意な子でも、すべてを頭の中だけで正確に回転させるのは簡単ではありません。

ところが苦手な子ほど、

「たぶんここに来るかな」

とイメージだけで進めてしまいます。

図形の移動では、想像するより書くことが大切です。

移動後の頂点に、

A’
B’
C’

などと名前を付けるだけでも、元の図形との対応が見えやすくなります。

中学受験算数では「図をきれいに思い浮かべられる力」より、「必要な情報を紙に残す力」のほうが実戦では重要です。

頂点と辺の動きを追えていない

図形全体が動くと複雑に見えますが、一つの頂点だけに注目すると簡単になることがあります。

たとえば一辺4cmの正方形を、ある頂点を中心として90度回転させるとします。

回転の中心にある頂点は動きません。

その隣の頂点は、中心から4cm離れた場所を90度動きます。

つまり、その頂点が通る道のりは、

半径4cm
中心角90度

のおうぎ形の弧になります。

このように、

「図形がどう動いたか」

ではなく、

「この点がどう動いたか」

と考えると、円やおうぎ形の問題として処理できます。

面積と軌跡を同時に考えて混乱する

図形の移動では、

動いた点の道のり
図形が通過した部分の面積

が同じ問題に出ることがあります。

ここを一度に考えると混乱します。

たとえば、

「正方形を回転させたとき、頂点Aが通る長さと、正方形が通過した部分の面積を求めなさい」

という問題なら、まずAの軌跡だけを考えます。

そのあとで面積に進みます。

中学受験算数では、複雑な問題ほど一つずつ処理することが大切です。

図形の移動で押さえたい3つの基本パターン

中学受験でよく出る図形の移動は、大きく3種類に分けると整理しやすくなります。

平行移動は「同じ向き・同じ距離」

平行移動は、図形を回さず、そのまま一定方向へ動かす移動です。

たとえば三角形ABCを右へ5cm平行移動した場合、

Aも右へ5cm
Bも右へ5cm
Cも右へ5cm

移動します。

形や向きは変わりません。

つまり各頂点が、

同じ方向
同じ距離

だけ移動するのが特徴です。

平行移動で通過部分の面積を求める問題では、

元の図形
移動した距離

に注目します。

長方形を横方向へ移動させるような問題では、通過した範囲を長方形や複数の図形に分けると考えやすくなります。

回転移動は中心と角度を確認する

回転移動では、最初に必ず、

回転の中心
回転する角度

を確認します。

たとえば点Oを中心に90度回転するなら、Oは動きません。

Oから3cm離れている点Aは、Oを中心とする半径3cmの円周上を90度動きます。

点Aの軌跡の長さは、

2×3×3.14×90/360

です。

90度は円1周の4分の1なので、

2×3×3.14÷4

としても求められます。

ここで大切なのは、

回転する点と中心との距離＝円の半径

になることです。

回転移動と聞いたら、円・おうぎ形につながると考えられるようにしましょう。

転がる図形は頂点の軌跡を見る

中学受験で難しく感じやすいのが、

正方形
三角形
長方形

などを転がす問題です。

たとえば一辺4cmの正方形を床の上で右へ転がすとします。

最初は右下の頂点を中心として90度回転します。

次に別の頂点が床について、新しい回転中心になります。

つまり正方形全体が一度に移動するのではなく、

頂点を中心とした回転

を繰り返して進みます。

ある頂点が通る軌跡を求めるときは、

第1回転
第2回転
第3回転

と区切り、それぞれの円弧を調べます。

複雑に見える問題ほど、「1回転ずつ考える」のがポイントです。

中学受験の図形移動問題を解く手順

図形の移動は、次の4段階で整理すると解きやすくなります。

動く前と後の位置を書き込む

問題を見たら、最初に移動後の図を書きます。

正確な作図でなくても構いません。

たとえば三角形ABCが動いたなら、

A→A’
B→B’
C→C’

と対応を書きます。

これだけでも、

どの点が動いたか
どの点が動いていないか

を確認できます。

回転問題なら中心に大きく丸を付けておくのも有効です。

「どこを中心に動いているか」を見失わないようにしましょう。

どの点がどこまで動いたかを追う

次に、問題で必要な頂点だけを追います。

たとえば点Aの軌跡を聞かれているなら、ほかの点まで全部調べる必要はありません。

Aと回転中心の距離を求めます。

それが5cmなら、Aは半径5cmの円周上を動きます。

回転角が60度なら、その円の6分の1。

90度なら4分の1。

180度なら2分の1です。

このように、

距離
角度

を明確にすると、図形の移動が円周の問題へ変わります。

軌跡を円弧・線分に分けて考える

複数回転がある問題では、軌跡が一つの円弧にならないことがあります。

たとえば正方形が2回転する場合、

最初の90度は半径4cm
次の90度は別の中心から半径が変わる

ということもあります。

この場合、

弧①＋弧②

として別々に求めます。

中学受験でありがちな失敗は、複雑な軌跡を一つの円として扱ってしまうことです。

「回転中心が変わったら、新しい円弧」

と考えると整理しやすくなります。

最後に面積や長さを計算する

図を書いて条件を整理してから、最後に計算します。

先に数字を掛け始めると、

どの半径なのか
何度分なのか

が曖昧になり、ミスにつながります。

たとえば半径6cm、中心角120度の軌跡なら、

2×6×3.14×120/360

です。

120度は1周の3分の1なので、

12×3.14÷3
＝4×3.14
＝12.56cm

となります。

「図を整理する→割合を決める→計算する」という順番を習慣にしましょう。

家庭で図形の移動を得意にする勉強法

図形の移動は、机の上で公式だけを覚えるより、実際に動かしながら理解すると定着しやすい単元です。

紙を使って実際に動かしてみる

最初におすすめしたいのは、紙で図形を作ることです。

たとえば4cm四方の正方形を切り取り、机の上で転がしてみます。

右下の頂点を固定して90度回す。

次は新しく床についた頂点を中心に回す。

実際にやってみると、

「中心が毎回変わる」

ことが目で分かります。

転がる図形が苦手な子に、いきなり解説図だけを見せるより効果的です。

小4〜小5のうちは、具体物を使うことをためらう必要はありません。

理解できた後に紙なしで考えられるようになれば十分です。

図を省略せず自分で書き直す

解説にきれいな図が載っていると、それを眺めるだけで分かった気になります。

しかし入試本番には完成図はありません。

そのため解説を読んだら一度閉じて、

元の位置
1回目の移動後
2回目の移動後

を自分で書かせます。

多少ゆがんでいても問題ありません。

大切なのは、

「どの頂点を中心に回ったのか」

が本人に分かることです。

図形問題では、きれいに描く力より、考えるための図を自分で作る力を育てましょう。

円周とおうぎ形を復習する

図形の移動が苦手なとき、実は原因が円の学習にあるケースもあります。

回転する点の軌跡は、多くの場合、

円周
半円
4分の1円
おうぎ形の弧

になるからです。

最低限、

円周＝直径×3.14
＝2×半径×3.14

おうぎ形の弧＝円周×中心角/360

は使えるようにしておきましょう。

たとえば90度を見た瞬間に、

1/4周

と判断できるだけでも処理はかなり速くなります。

図形の移動だけを何度も解いて伸びない場合は、一度円周やおうぎ形まで戻ってみてください。

基本問題から3段階で難度を上げる

図形の移動は、次の3段階で練習すると無理がありません。

第1段階は、

1回だけ平行移動・回転する問題。

第2段階は、

頂点の軌跡や通過部分を求める問題。

第3段階は、

正方形や三角形が複数回転がる中学受験の応用問題です。

第1段階で間違えている状態で、第3段階ばかり解く必要はありません。

基本問題を10問解いたときに8〜9問程度安定して解けるようになったら、次のレベルへ進むとよいでしょう。

図形の移動は「ひらめきだけで解く単元」ではありません。

基本的な動き方を一つずつ身につければ、応用問題も分解して考えられるようになります。

まとめ｜図形の移動は「点の動き」を追えば解きやすい

中学受験算数の図形の移動は、完成した図を頭の中だけで想像しようとすると難しく感じます。

まず押さえたいのは、

平行移動＝同じ方向へ同じ距離
回転移動＝中心を軸に一定角度回る
転がる図形＝回転中心が順番に変わる

という基本です。

そして実際に問題を解くときは、

移動前と移動後を書く
回転中心を確認する
必要な頂点だけ追う
軌跡を円弧や線分に分ける
最後に長さや面積を計算する

という順番で考えます。

特に重要なのは、図形全体ではなく「一点の動き」を見ることです。

算数が苦手な子に、

「動いた後の形を想像して」

とだけ伝えても難しいことがあります。

家庭では、

「どの点が動く？」
「今の回転の中心はどこ？」
「この点は中心から何cm離れている？」
「何度回った？」

と一つずつ問いかけてみてください。

図形の移動は、最初は複雑に見えます。

しかし、一回の移動、一つの頂点、一つの円弧に分けると、これまで学習した円周やおうぎ形の知識で解ける問題が多くなります。

図を自分で書き、点の動きを一つずつ追う習慣をつけることが、中学受験の図形移動を得意分野へ変えていく第一歩です。