中学受験算数の図形「折り返し」攻略｜解き方のコツ

中学受験算数の「図形の折り返し」が難しく感じる理由

この記事では、そんな悩みに対して、中学受験算数の図形「折り返し」で何を見つければよいのか、家庭でどう教えればよいのかを順を追って解説します。

図形の折り返し問題は、中学受験算数ではよく出題されます。

見た目が複雑なので難問に見えますが、実は使っている考え方はそれほど多くありません。

重要なのは、折り返したことで生まれる

• 等しい長さ
• 等しい角度
• 線対称の関係

を見つけることです。

この3つが見えるようになると、角度・長さ・面積を求める問題まで一気に解きやすくなります。

折った後の図形を頭の中だけで考えてしまう

折り返し問題が苦手な子によくあるのが、図形を頭の中だけで動かそうとすることです。

たとえば、三角形の一部を折った問題で、

「この頂点は折るとどこへ行く？」

と聞かれても、図を見つめるだけでは位置関係を正確につかみにくいものです。

中学受験の図形では、頭の中で立体的・動的に考える力も必要ですが、最初からそれだけに頼る必要はありません。

むしろ重要なのは、図に情報を書き込むことです。

折る前の点をA、折った後をA’とすると、

「AとA’は折り目に対して左右対称」

と整理できます。

この関係を図に書き込むだけで、問題がかなり見やすくなります。

「同じ長さ・同じ角度」を見落としている

折り返し問題の本質は線対称です。

たとえば紙を折って点Aが点Bに重なったとします。

このとき折り目上の点Pから見ると、

PA＝PB

となります。

ところが、算数が苦手な子ほど、この「等しい」という情報を書き込まずに問題を解こうとします。

折り返し問題では、問題文から直接与えられた数字よりも、折ったことで新しく生まれた等しい関係のほうが重要なことも珍しくありません。

「折ったら何が同じになるの？」

と最初に確認する習慣をつけましょう。

折り返しと他の図形知識を結びつけられていない

折り返し単独の知識だけでは解けない問題もあります。

実際には、

• 三角形の内角の和は180度
• 二等辺三角形の底角は等しい
• 平行線の錯角・同位角
• 正方形の角は90度
• 面積＝底辺×高さ÷2

など、すでに習った知識と組み合わせて解くことがほとんどです。

つまり、折り返し問題とは「新しい特殊な図形問題」ではありません。

折り返しによって等しい部分を見つけ、基本的な図形知識へつなぐ問題と考えると分かりやすくなります。

図形の折り返しで最初に確認する3つのポイント

折り目は対応する点から等しい距離にある

点Aを折って点Bに重ねる場合、折り目は線分ABの真ん中を通る線になります。

さらに、ABと折り目は直角に交わります。

これは、中学受験では非常に重要な性質です。

たとえば折り目上に点Pがあれば、

PA＝PB

です。

同じように、折り目上に点Qがあれば、

QA＝QB

となります。

すると△PABや△QABの中に二等辺三角形が見つかることがあります。

二等辺三角形が見つかれば、次は角度へ話をつなげられます。

折る前と折った後の長さは等しい

紙を折っても辺の長さそのものが伸びたり縮んだりするわけではありません。

したがって、折る前の辺と折った後に対応する辺の長さは等しくなります。

たとえば、

ABを折った結果、AがCに移った

のであれば、折り返し後の対応関係から

AB＝CB

のような等式が生まれるケースがあります。

ここを正確に見つけることができると、図の中に二等辺三角形が現れます。

折り返し問題では、

「等しい辺を探す→二等辺三角形を探す」

という流れを覚えておくと便利です。

折り目をはさんだ角度は等しくなる

折り返すということは、折り目を軸にして鏡に映すことと同じです。

したがって、折り目の左右にできる角度も等しくなります。

たとえば、ある辺と折り目の角度が35度なら、折った後の辺と折り目の角度も35度になります。

そのため、元の2本の辺が作る角度は

35＋35＝70度

のように求められることがあります。

角度問題では、折り目を見たら、

「この左右の角は同じではないか」

と考えるのが最初の一歩です。

中学受験で出る折り返し問題の解き方

角度を求める問題は「等しい角」を書き込む

角度問題では、まず折り目の両側の角に同じ印をつけます。

たとえば、折り目と元の辺が作る角を○としたら、折った後の辺との角にも○を書きます。

そのうえで、

• 三角形の内角の和180度
• 一直線は180度
• 四角形の内角の和360度
• 平行線の錯角・同位角

などを使います。

たとえば三角形の中で、

折り返しによって40度と40度ができた

なら、残りの角は

180－40－40＝100度

です。

このように、折り返し特有の計算をするわけではありません。

「等しい角を作ったあと、普通の角度問題に戻す」のが基本です。

長さを求める問題は二等辺三角形を探す

折り返し問題で長さを求める場合、二等辺三角形が重要になります。

たとえば点Aを点Bへ折り重ね、折り目上に点Pがあるなら、

PA＝PB

です。

つまり△PABは二等辺三角形です。

また、折り返した辺同士が同じ長さになるため、別の二等辺三角形が生まれることもあります。

図形問題では、ただ数字を追いかけるのではなく、

「同じ長さに印をつける」

ことを徹底しましょう。

同じ印が2本見つかれば、

「二等辺三角形になっていないか」

と考えます。

これだけで解法が見つかる問題は少なくありません。

面積問題は重なりと元の図形を分けて考える

折り返しと面積が組み合わさると、一気に難しそうに見えます。

特に、

「折った部分と元の図形が重なっている」

タイプは混乱しやすい問題です。

この場合、まず考えるのは、

「折る前の面積は変わらない」

ということです。

折ったことで見た目の形は変わりますが、紙そのものの面積が消えたわけではありません。

したがって、

元の図形の面積
＝折った後に見えている部分＋重なっている部分

というように整理できます。

重なり部分を直接求めにくいときは、

「全体から余分な部分を引けないか」

と考えるのも有効です。

面積問題では、細かく分割して足すよりも、大きな図形から引くほうが計算しやすいケースがよくあります。

補助線は「知っている形を作る」ために引く

折り返し問題では、補助線が必要になることもあります。

ただし、やみくもに線を引いてはいけません。

補助線の目的は、

• 二等辺三角形を作る
• 直角三角形を作る
• 平行線を利用できるようにする
• 同じ高さの三角形を作る

など、知っている形へ変えることです。

たとえば折り返した先の点から元の辺へ線を引くことで、二等辺三角形や直角三角形が見える場合があります。

家庭で教えるときも、

「どこに線を引く？」

と聞くより、

「二等辺三角形を作れそうな線はない？」

と目的を示したほうが子どもは考えやすくなります。

折り返し図形が苦手な子に家庭でできる練習法

紙を実際に折って確認する

図だけでは理解しにくい場合、実際の紙を使うのが非常に効果的です。

長方形や正方形の紙に点を書き、

• どこへ移動するか
• どの線が同じ長さになるか
• どの角度が同じになるか

を確認します。

たとえば点Aを点Bへ重ねるように紙を折ると、折り目がAとBのちょうど中間を通っていることを目で確認できます。

算数が苦手な子の場合、公式として覚えさせるよりも、

「本当にそうなる」

と実物で確認したほうが理解が深まります。

一度納得できれば、その後は紙を使わなくても図だけで考えられるようになります。

答えより先に「どことどこが同じ？」と聞く

家庭で図形を教えるときに、

「ここは40度だから、次はこう計算して」

と親が解法を全部説明してしまうことがあります。

それでは、似た問題が出たときに一人で解きにくくなります。

折り返し問題では、まず、

「折ったことで、どことどこが同じになった？」

と聞いてみてください。

子どもが、

「この辺とこの辺」

「この角とこの角」

と答えられれば、解法の半分はできています。

さらに、

「同じ長さが2本あるけど、何三角形になりそう？」

と聞けば、

「二等辺三角形」

という知識へ自分でつなげられます。

家庭学習では答えを教えるより、見るポイントを質問で示すほうが効果的です。

1日1問でも解き直しを繰り返す

図形問題は、一度解説を読んだだけでは定着しにくい分野です。

その日は分かったつもりでも、1週間後に同じ問題を出すと解けないことは珍しくありません。

そこでおすすめなのが、間隔を空けた解き直しです。

たとえば、

• その日の夜
• 3日後
• 1週間後

というように同じ問題を解きます。

特に折り返し問題では、

「答えを覚えているか」

ではなく、

「最初に等しい辺や角へ印をつけられるか」

を確認しましょう。

1日に難問を10問解く必要はありません。

良問を1問ずつ繰り返し、考え方を言葉で説明できるまで定着させるほうが効果的です。

まとめ｜折り返し問題は「対称」を見つければ解きやすい

中学受験算数の図形「折り返し」は、見た目が複雑なので苦手意識を持ちやすい単元です。

しかし、問題を解くときに確認することは基本的に決まっています。

まず、

• 折る前と後で等しい長さを探す
• 折り目の左右にある等しい角を探す
• 折り目上の点から対応する点までの距離が等しいことを使う

という3つを確認します。

そのうえで、二等辺三角形、三角形の内角の和、平行線、面積など、これまで習った基本知識へつなげます。

折り返し問題が解けない子に対して、いきなり解き方を説明する必要はありません。

まず、

「折ったら、どことどこが同じになる？」

と聞いてみてください。

この一言で見るべき場所がはっきりし、問題を自分で整理しやすくなります。

図形が苦手な子ほど、頭の中だけで動かそうとせず、等しい辺には同じ印、等しい角には同じ印をつけることが大切です。

折り返しは複雑な図形を解く問題ではなく、折ることで生まれた「同じ」を探す問題と考えてください。

この視点が定着すれば、角度・長さ・面積を求める折り返し問題にも落ち着いて対応できるようになります。