中学受験算数の比問題を攻略｜基本から応用まで解説

中学受験算数の比問題は「何対何か」をつかむことが基本

この記事では、そんな悩みに対して、中学受験算数の比問題で押さえるべき基本から、線分図を使った解き方、入試でよく出る応用問題、家庭での教え方まで順を追って解説します。

中学受験算数では、「比」は単独の単元として出題されるだけではありません。

割合、速さ、平面図形、相似、食塩水、仕事算など、多くの単元で比の考え方が使われます。

そのため、比が苦手なままだと、5年生後半から6年生にかけて算数全体が難しく感じやすくなります。

反対に、比の意味をしっかり理解できると、複雑に見える文章題でも数字の関係を整理しやすくなります。

大切なのは、比を単なる「2：3」という数字として覚えるのではなく、何と何を、どのような関係で比べているのかを理解することです。

比とは2つ以上の量を比べる考え方

比とは、2つ以上の量の関係を表す方法です。

たとえば、赤い玉が6個、白い玉が9個あるとします。

赤い玉と白い玉の個数の比は、

6：9

です。

6と9をともに3で割ると、

2：3

となります。

つまり、

赤2個に対して白3個の割合である

という意味です。

ここで重要なのは、2：3を「2と3という数字」として見るのではなく、「赤と白の関係」として捉えることです。

中学受験では、比の順番を逆にするだけで答えが変わることがあります。

「男子と女子の人数比が3：2」と「女子と男子の人数比が3：2」は意味が違います。

問題文を読んだら、

何：何なのか

を最初に確認する習慣をつけましょう。

比と割合の違いを整理する

比と割合は似ていますが、少し役割が異なります。

たとえば、男子が6人、女子が4人いる場合、

男子：女子＝6：4＝3：2

です。

一方、全体10人のうち男子が6人なので、男子の割合は、

6÷10＝0.6

つまり60％です。

比は「複数の量同士の関係」を表し、割合は「全体に対してどれくらいか」を表します。

ただし中学受験では、この2つを行き来する問題が多く出ます。

たとえば男子：女子＝3：2なら、全体は、

3＋2＝5

と考えられるため、男子は全体の、

3÷5＝3/5

となります。

比を割合に直せるようになると、文章題の理解がぐっと楽になります。

比を簡単にする計算に慣れる

比は、できるだけ簡単な整数比に直して扱います。

たとえば、

12：18

なら、両方を6で割って、

2：3

です。

また、

0.4：0.6

なら、両方を10倍して、

4：6＝2：3

となります。

分数でも同じです。

1/2：3/4

なら、両方に4を掛けると、

2：3

となります。

比を簡単にするときのポイントは、左右の数字に同じ計算をすることです。

片方だけを割ったり掛けたりしてはいけません。

この操作は後に出てくる連比や相似でも頻繁に使うため、基本段階で確実にしておきましょう。

中学受験の比問題を解く基本手順

比の合計から1あたりを求める

中学受験の比問題で最も基本となるのが、「比の合計から1あたりを求める」方法です。

たとえば、

「兄と弟が合わせて2500円持っています。兄と弟のお金の比は3：2です。それぞれ何円持っていますか」

という問題を考えます。

兄3、弟2なので、合わせると、

3＋2＝5

です。

2500円が5にあたるので、比の1あたりは、

2500÷5＝500円

です。

したがって、

兄：500×3＝1500円
弟：500×2＝1000円

となります。

このタイプでは、

全体÷比の合計＝比1あたりの量

と考えます。

比の文章題で迷ったら、まず「全部で比はいくつ分か」を確認すると解きやすくなります。

線分図を使うと文章題が見やすくなる

比が苦手な子には、線分図が有効です。

先ほどの兄と弟の問題なら、

兄　■■■
弟　■■

というように、兄を3個分、弟を2個分として表します。

合わせると■が5個分です。

この5個分が2500円なので、

1個分＝500円

と視覚的に理解できます。

算数が得意な子は頭の中だけでも処理できますが、苦手な子ほど「数字を図にする」ことが大切です。

特に、

「AはBより○円多い」
「2人の合計は○円」
「人数比が○：○」

のように条件が複数ある問題では、線分図にすると関係が整理しやすくなります。

比が途中で変わる問題は「変わらない量」を探す

中学受験では、途中で比が変化する問題もよく出ます。

たとえば、

「兄と弟のお金の比は最初5：3でした。兄が600円使うと、比が3：2になりました」

というタイプです。

こうした問題では、比の数字だけを追うと混乱します。

ポイントは、何が変わって、何が変わらないかを考えることです。

この問題では、兄のお金は減りますが、弟のお金は変わりません。

最初の比では弟が「3」、後の比では弟が「2」です。

弟の量をそろえるため、

最初　兄：弟＝5：3 → 10：6
後　　兄：弟＝3：2 → 9：6

とします。

すると兄は、

10－9＝1

だけ減っています。

その1にあたる金額が600円なので、比1つ分が600円と分かります。

比が変わる問題では、変化していない量の比をそろえることが基本です。

入試でよく出る比の応用問題と解き方

分配算は比の合計から考える

分配算とは、ある数量を指定された比に分ける問題です。

たとえば、

「840個のお菓子をA、B、Cの3人で2：3：7に分けます。それぞれ何個ですか」

という問題です。

比の合計は、

2＋3＋7＝12

です。

したがって1あたりは、

840÷12＝70個

となります。

よって、

A＝70×2＝140個
B＝70×3＝210個
C＝70×7＝490個

です。

分配算では、まず比の合計を求めることが最優先です。

「全部で○個」を見たら、「比の合計はいくつ？」と考える習慣をつけるとよいでしょう。

連比は共通する数字をそろえる

3つ以上の量の比をつなげる「連比」も頻出です。

たとえば、

A：B＝2：3
B：C＝4：5

のとき、A：B：Cを求めます。

ここではBが、

3と4

でそろっていません。

3と4の最小公倍数は12なので、

A：B＝2：3 → 8：12
B：C＝4：5 → 12：15

となります。

よって、

A：B：C＝8：12：15

です。

連比は「真ん中の量をそろえる」と覚えるだけでなく、

同じBを違う大きさで表しているので同じ数に直す

と理解させることが大切です。

割合・速さ・図形でも比が使われる

比は、比の単元だけで終わる知識ではありません。

たとえば速さでは、

同じ時間なら、

速さの比＝道のりの比

となります。

同じ道のりなら、

速さの比と時間の比は逆になります。

また図形では、相似な図形の対応する辺の長さを比で考えます。

相似比が2：3なら、面積比は、

2×2：3×3＝4：9

です。

さらに食塩水では、濃度と量の関係を比で整理することがあります。

つまり中学受験の比は、算数全体をつなぐ道具ともいえます。

比の基本問題を早い段階で安定させることが、その後の応用単元の理解にもつながります。

比問題が苦手な子を家庭で伸ばす方法

比の数字を実際の量に置き換える

比が苦手な子は、「3：5」という数字だけを見ると抽象的に感じることがあります。

そこで家庭では、身近なものに置き換えてみましょう。

たとえば、

「りんごとみかんの比が2：3なら、りんご2個、みかん3個だと思ってみよう」

と説明します。

2倍なら、

りんご4個、みかん6個

でも比は2：3です。

3倍なら、

6個と9個

でも同じです。

こうして、「比は実際の個数そのものではなく関係を表している」と理解させることが重要です。

答えを出す前に「比の何個分か」を言わせる

家庭学習では、すぐ式を書かせるより、

「全部で何個分？」
「1個分はいくつ？」
「求めたいのは何個分？」

と確認すると効果的です。

たとえば、

「600円を2：3に分ける」

なら、

全部＝5個分
1個分＝600÷5＝120円
2個分＝240円
3個分＝360円

という流れを言葉で説明させます。

自分の言葉で説明できれば、意味を理解している可能性が高くなります。

反対に、式だけは書けても「なぜ5で割るの？」に答えられない場合は、まだパターン暗記になっているかもしれません。

基本問題から応用へ段階的に進める

比は応用範囲が広いため、いきなり難問へ進むと苦手意識が強くなりがちです。

家庭学習では、

1. 比を簡単にする
2. 比の1あたりを求める
3. 分配算を解く
4. 線分図で整理する
5. 比が変化する問題
6. 連比
7. 速さ・割合・図形への応用

という順番がおすすめです。

特に「比の合計」「比1つ分」という考え方が不安定な状態で応用問題へ進んでも、解法の丸暗記になりやすくなります。

1日に大量の問題を解かせる必要はありません。

基本問題を2～3問解き、そのうち1問について「どう考えた？」と説明させるだけでも、理解度を確認できます。

まとめ｜中学受験算数の比は多くの単元につながる重要分野

中学受験算数の比問題では、計算方法だけを覚えるのではなく、

何と何を比べているのか

を理解することが最も重要です。

基本問題では、

比の合計を求める
↓
全体を比の合計で割る
↓
比1つ分を求める
↓
必要な個数分を掛ける

という流れを身につけましょう。

文章が複雑になったら線分図を使い、比が途中で変わる問題では「変わらない量」を探します。

また、A：BとB：Cをつなぐ連比では、共通する量の数字をそろえることがポイントです。

比は、割合、速さ、食塩水、相似、面積比など、中学受験算数の多くの単元で使われます。

そのため、比が分かるようになると、単に1つの単元が得意になるだけではなく、算数全体の見通しがよくなります。

家庭で教えるときも、

「公式は何だった？」

ではなく、

「全部で比はいくつ分？」
「1つ分はいくつ？」
「何と何を比べている？」

と問いかけてみてください。

比を「数字の操作」ではなく「量の関係」として理解できれば、初めて見る問題にも対応できる力が少しずつ育っていきます。