中学受験算数の数列を攻略｜規則の見つけ方を解説

中学受験算数の数列でつまずくのはなぜ？

この記事では、そんな悩みに対して、中学受験算数の数列でどこに注目すればよいのか、基本的な規則の見つけ方から頻出問題の解き方、家庭での教え方まで順を追って解説します。

中学受験算数の数列は、単純な計算問題とは少し性格が違います。

たとえば、

2、5、8、11、14、……

と数字が並んでいたとき、必要なのは計算力だけではありません。

「3ずつ増えている」

という規則を見つける力が必要です。

さらに入試では、

一定の数ずつ増える数列
同じ並びを繰り返す数列
まとまりごとに個数が増える数列
図形と組み合わせた数列

など、さまざまな形で出題されます。

そのため、数列を得意にするには公式を覚えるだけではなく、数字の並びを観察して規則を発見する習慣を身につけることが大切です。

数字だけを見て規則を探そうとしている

数列が苦手な子によくあるのが、

「何となく数字を眺め続ける」

という状態です。

たとえば、

4、9、14、19、24、……

という数列を見ても、数字だけを見ていると規則を見つけにくいことがあります。

そこで、

9－4＝5
14－9＝5
19－14＝5

と、隣り合う数字の差を書いてみます。

すると「5ずつ増えている」とすぐに分かります。

数列では、答えを頭の中だけで考えるより、数字同士の関係を書き出すことが重要です。

差・かけ算・並び方のどこを見るか分からない

すべての数列が一定の数ずつ増えるとは限りません。

たとえば、

2、4、8、16、32、……

なら、

＋2、＋4、＋8……

と考えるより、

×2、×2、×2……

と見たほうが規則が分かりやすくなります。

また、

1、2、3、1、2、3、1、2、3……

なら、計算ではなく、

1、2、3

という3個のまとまりが繰り返されています。

つまり数列では、

差を見る
倍率を見る
繰り返しを見る

という複数の視点を持つ必要があります。

公式だけ覚えると少し変わった問題で止まりやすい

中学受験では、

「第n項＝最初の数＋増える数×（n－1）」

といった形だけを暗記しても十分ではありません。

たとえば、

3、7、11、15、……

なら式を使えますが、

1、1、2、1、1、2、……

のような周期型にはそのまま使えません。

さらに群数列では、何番目のグループに入っているかを先に考える必要があります。

だからこそ、数列では、

これはどんな規則なのか

を最初に判断する力が必要です。

中学受験の数列で最初に身につけたい基本

まず隣り合う数の「差」を調べる

数列を見たら、最初に確認したいのが「差」です。

たとえば、

7、12、17、22、27、……

なら、

12－7＝5
17－12＝5
22－17＝5

となります。

毎回5ずつ増えているので、これは一定の差で増える数列です。

このような数列を中学受験ではよく扱います。

家庭では、

「次の数字は何？」

だけでなく、

「前の数字からいくつ増えた？」

と聞いてください。

規則を言葉にできるようになると、式へつなげやすくなります。

何倍になっているかも確認する

差が一定でない場合は、倍率も見ます。

たとえば、

3、6、12、24、48、……

では、

＋3、＋6、＋12、＋24

となるため差は一定ではありません。

しかし、

6÷3＝2
12÷6＝2
24÷12＝2

なので、毎回2倍になっています。

こうした問題では、

「足した数字が同じか」
「掛けた数字が同じか」

の両方を確認すると規則を見つけやすくなります。

周期がある数列は1セットを見つける

次の数列を考えてみましょう。

2、5、8、2、5、8、2、5、8……

この場合、

2、5、8

の3個が1セットになっています。

これを周期として考えます。

たとえば「20番目の数」を求めるなら、

20÷3＝6あまり2

です。

6セット終わったあと、次のセットの2番目なので、

答えは5

となります。

周期問題では、何個で1セットなのかを見つけることが最優先です。

中学受験でよく出る数列問題の解き方

等差数列の第○項を求める問題

次の問題を考えます。

3、7、11、15、……と並ぶとき、20番目の数を求めなさい。

この数列は4ずつ増えています。

1番目は3です。

20番目まで進むには、

20－1＝19回

増えることになります。

したがって、

3＋4×19
＝3＋76
＝79

答えは、

79

です。

ここで大切なのは「20番目だから4を20回足す」のではないことです。

最初の3がすでに1番目なので、増える回数は19回です。

この「1を引く」部分でミスする子は多いため、

「1番目から20番目まで何回移動する？」

と聞くと理解しやすくなります。

等差数列の和を求める問題

次に、

1＋2＋3＋……＋20

を考えます。

このような数列の和は、最初と最後を組み合わせると簡単です。

1＋20＝21
2＋19＝21
3＋18＝21

と、どの組も21になります。

全部で20個の数字があるので、10組できます。

したがって、

21×10＝210

答えは、

210

です。

別の形で覚えるなら、

（最初の数＋最後の数）×個数÷2

となります。

しかし公式だけを暗記するより、

「端と端を足すと同じになる」

という理由を理解したほうが忘れにくくなります。

周期を利用して何番目かを求める問題

次の数列を考えます。

1、3、5、7、1、3、5、7……

53番目の数は何ですか。

1、3、5、7の4個が1周期です。

そこで、

53÷4＝13あまり1

となります。

13周期が終わり、次の周期の1番目です。

したがって答えは、

1

です。

この問題で重要なのは、割り切れた場合です。

たとえば52番目なら、

52÷4＝13

となり、13周期目の最後なので答えは7です。

「あまり0＝周期の最後」と覚えておくとミスを減らせます。

群数列は「何組目か」を整理する

中学受験では、まとまりごとに個数が増える数列も出ます。

たとえば、

1｜2、3｜4、5、6｜7、8、9、10｜……

という並びです。

1組目に1個
2組目に2個
3組目に3個
4組目に4個

と増えていきます。

では、10番目の数は何組目でしょうか。

1組目までで1個
2組目までで1＋2＝3個
3組目までで1＋2＋3＝6個
4組目までで1＋2＋3＋4＝10個

なので、10番目は4組目の最後です。

群数列では、

その組までに全部で何個並ぶか

を考えることがポイントです。

いきなり数を追うのではなく、まずグループ単位で整理します。

数列が苦手な子を家庭で伸ばす方法

いきなり式を作らず10個程度書き出す

数列の問題を見た瞬間に、

「公式を使いなさい」

と教える必要はありません。

むしろ苦手な子ほど、最初は実際に数字を書き出したほうが理解しやすくなります。

たとえば周期なら、

赤、青、黄、赤、青、黄……

と10個程度書きます。

すると、

「3個ごとに同じだ」

と気づきやすくなります。

規則性の問題では、書き出すことは遠回りではありません。

規則を発見するための重要な作業です。

「どこが同じでどこが変わる？」と質問する

家庭でおすすめの声かけは、

「規則は何？」

だけではありません。

それでは分からない子もいます。

代わりに、

「前の数字と比べてどう変わった？」
「同じところはどこ？」
「何個ごとに戻っている？」
「増え方も変わっている？」

と細かく聞きます。

たとえば、

2、5、9、14、20……

なら差は、

3、4、5、6……

です。

最初の数列だけでは規則が見えなくても、「差の数列」を作ると分かることがあります。

このように、1段階掘り下げて観察する力が入試問題では重要です。

答えを覚えず規則を言葉で説明させる

数列の復習で最も避けたいのが、解答の式だけを覚えることです。

たとえば、

3＋4×19＝79

を覚えていても意味がありません。

家庭では、

「なぜ19を掛けるの？」

と聞いてみてください。

「1番目から20番目までは19回増えるから」

と説明できれば理解しています。

周期なら、

「なぜ4で割ったの？」

と確認します。

「4個で1セットだから」

と答えられれば十分です。

数列では、式より先に規則を説明できる状態を目標にすると応用力がつきます。

まとめ｜数列は「規則を発見する力」を育てる重要単元

中学受験算数の数列で大切なのは、公式をたくさん覚えることではありません。

まず数字の並びを見て、

どのような規則で変化しているのか

を見つけることです。

最初に確認したいのは、

差は一定か
何倍になっているか
同じ並びが繰り返されていないか
グループごとに規則がないか

というポイントです。

一定の差で増える数列なら、

最初の数＋増える数×（求める順番－1）

という考え方が使えます。

周期問題なら、

何個で1セットかを確認し、求める順番を周期の個数で割ります。

群数列では、1個、2個、3個……と増えていくまとまりに注目し、「何組目に入るのか」を調べます。

そして家庭学習では、答えを急がせないことも大切です。

数列は、

書き出す
↓
比べる
↓
規則を発見する
↓
言葉で説明する
↓
式にする

という順番で考えると理解しやすくなります。

「書き出していると時間がかかる」と感じるかもしれませんが、最初はそれで構いません。

何度も規則を見つける経験を積むと、やがて全部を書かなくても見通しを立てられるようになります。

数列は単独で出題されるだけでなく、場合の数、図形、規則性、周期問題などにもつながる重要な分野です。

数字を計算する力だけでなく、変化を観察してルールを発見する力を育てることが、中学受験算数の数列攻略につながります。