中学受験算数の図形の解き方｜基本手順をやさしく解説

中学受験算数の図形問題はなぜ難しい？

この記事では、そんな悩みに対して、中学受験算数の図形問題で最初に見るポイントから、角度・面積・相似・立体図形の解き方、家庭での練習方法まで順を追って解説します。

中学受験算数の中でも、図形を苦手にする子は少なくありません。

計算問題であれば「この式を計算する」とやることが見えますが、図形問題では、

「どこを見ればいいの？」
「どの公式を使うの？」
「補助線なんて思いつかない」

と、最初の一歩で止まりやすいからです。

しかし、図形が得意な子だけが特別なひらめきを持っているわけではありません。

実際には、

情報を書き込む → 基本図形を探す → 知っている性質をつなげる

という手順を繰り返しています。

図形問題は「ひらめきの教科」と考えるより、見る順番を身につけることが大切です。

公式を知っていても使う場所を判断できない

図形が苦手な子でも、

三角形の面積＝底辺×高さ÷2
円の面積＝半径×半径×3.14
三角形の内角の和＝180度

といった基本公式は覚えていることがあります。

それでも問題が解けないのは、

どの公式を、図のどこで使えばよいのか判断できない

からです。

たとえば複雑な図の中に三角形が4つある場合、面積公式を知っているだけでは足りません。

「どの三角形とどの三角形を比べればよいか」

まで見抜く必要があります。

図形では、公式の暗記量より、図の中から使える形を探す力が重要になります。

図の中に隠れた条件を見つける必要がある

問題文に、

「AB＝AC」
「DEとBCは平行」

と書かれていても、その意味まで考えなければなりません。

AB＝ACなら二等辺三角形なので、底角が等しくなります。

2本の線が平行なら、錯角や同位角が等しくなります。

つまり問題文に書かれた条件は、単なる説明ではありません。

そこから新しい情報を引き出すためのヒントです。

図形問題では、

書かれている条件
↓
そこから分かること
↓
さらにそこから分かること

と、一つずつ情報を増やしていきます。

頭の中だけで考えると情報が整理できない

図形が苦手な子の答案を見ると、問題の図がほとんど真っ白なことがあります。

これでは、分かっている情報を頭の中だけで覚えておかなければなりません。

たとえば、

この角が40度
こことここが同じ長さ
この2本が平行

という情報をすべて記憶しながら考えるのは大人でも大変です。

そこで図に直接、

40°
○印
同じ長さを示す印
平行を示す矢印

などを書き込みます。

図形問題では、書き込みそのものが思考の一部だと考えてください。

図形問題の解き方で最初に身につけたい4つの手順

分かっている長さ・角度・比を書き込む

問題を読んだら、すぐに計算を始めないことがポイントです。

まず図へ情報を書き込みます。

たとえば、

AB＝6cm
∠A＝40度
AB：BC＝2：3

という条件なら、その数字をすべて図に移します。

さらに二等辺三角形なら、等しい辺に同じ印をつけます。

書き込みをすると、

「ここにも同じ角度ができる」
「この辺の比から相似が使えそう」

と気づきやすくなります。

家庭で子どもが止まったら、答えを教える前に、

「問題文の数字、全部図に書いた？」

と聞いてみてください。

求めるものをはっきりさせる

次に、

「何を求める問題なのか」

を確認します。

角度なのか、面積なのか、辺の長さなのかによって見るポイントが変わります。

たとえば角度を求めるなら、

三角形の内角
二等辺三角形
平行線
外角

などを探します。

面積なら、

同じ高さ
同じ底辺
面積比
相似比

を確認します。

子どもには、

「答えは何の単位になる？」

と聞くのも効果的です。

度なら角度、cm²なら面積、cmなら長さと、目的を確認できます。

使えそうな基本図形を探す

複雑な図形をそのまま見ないことも重要です。

中学受験の図形問題も、よく見ると、

三角形
正方形
長方形
平行四辺形
円

などの基本図形が組み合わされています。

たとえば星形の角度問題でも、図の中にある三角形を一つずつ見つければ解けることがあります。

複雑な図を見たら、

「知っている形はどこにある？」

と探してみましょう。

難しい図形問題ほど、大きな図を小さな基本図形に分けることが大切です。

補助線は目的を考えてから引く

図形問題では「補助線を引く」とよく言われます。

しかし、適当に何本も線を引けばよいわけではありません。

補助線には目的があります。

たとえば、

三角形を作る
同じ高さの三角形を作る
長方形に分ける
相似な図形を作る
円の中心と点を結ぶ

などです。

子どもが補助線を思いつかないときは、

「三角形を作れないかな？」
「中心と結んだら何ができる？」

と目的を示す質問をするとよいでしょう。

中学受験でよく出る図形問題の解き方

角度問題は三角形と平行線から考える

角度問題で最初に使う基本は、

三角形の内角の和は180度

です。

たとえば三角形の2つの角が50度と60度なら、

180－50－60＝70度

です。

さらに二等辺三角形なら、2つの底角が等しくなります。

平行線があれば、錯角や同位角にも注目します。

角度問題で手が止まったら、

「180度になる三角形はどこ？」
「同じ角度になるところはない？」

と探しましょう。

難しい問題でも、40度→40度→100度というように、一つの角度から次の角度へ順番につないでいけば解けることがあります。

面積問題は同じ高さ・同じ底辺に注目する

面積問題では、公式で直接計算できない問題が多くあります。

そこで重要になるのが、

同じ高さの三角形の面積比は底辺の比と同じ

という考え方です。

たとえば同じ高さを持つ2つの三角形で、底辺が3cmと5cmなら、

面積比も3：5

です。

反対に底辺が同じなら、面積比は高さの比になります。

中学受験では具体的な高さが分からなくても、この比を使えば面積を求められる問題が頻出します。

面積問題を見たら、

「高さが同じ三角形はない？」
「同じ底辺を使っている三角形は？」

と探す習慣をつけましょう。

相似は対応する辺を正しく見つける

相似は図形の重要単元です。

形が同じで大きさだけ違う図形では、対応する辺の比がすべて同じになります。

たとえば小さい三角形と大きい三角形の対応する辺が、

2cmと6cm

なら、相似比は、

2：6＝1：3

です。

別の辺が4cmなら、大きい三角形の対応する辺は、

4×3＝12cm

となります。

相似で最も多い失敗は、対応する辺を間違えることです。

そこで、

小さい三角形
A－B－C

大きい三角形
D－E－F

のように、対応する頂点を順番に確認します。

相似を見つけること以上に、どの辺とどの辺が対応しているかを丁寧に見ることが重要です。

立体図形は見えない部分を書き足して考える

立体図形になると、平面図形以上に苦手意識を持つ子が増えます。

理由は、紙の上では奥行きが見えにくいからです。

立方体や直方体では、

見えない辺
切断面
上から見た図

などを自分で補う必要があります。

たとえば立方体を切断する問題なら、切断面が通る点を一つずつ結びます。

いきなり完成形を頭の中で想像する必要はありません。

「この面ではどの2点を結ぶ？」

と、一つの面ずつ考えていきます。

立体が苦手な場合は、ティッシュ箱や積み木など実物を使って確認するのも有効です。

図形が苦手な子を伸ばす家庭学習のコツ

答えを見る前に図へ書き込ませる

図形問題で分からないと、すぐに解説を見る子もいます。

しかしその前に、

角度
辺の長さ
比
平行
等しい部分

をすべて図に書き込ませてください。

それだけで解ける問題もあります。

「分からない＝解法を知らない」とは限りません。

情報を整理できていないだけの場合もあります。

最低でも3～5分は、自分で図へ情報を書き込む時間を取るとよいでしょう。

「どの性質を使った？」と説明させる

図形問題では答えが合っただけでは、本当に理解しているか判断しにくいことがあります。

そこで正解後に、

「どうしてこの角度が同じなの？」

と聞きます。

「平行線だから」
「二等辺三角形だから」

と説明できれば理解できています。

逆に、

「前に同じような問題があったから」

だけなら、形を暗記している可能性があります。

中学受験では図の向きや数字が変わるため、根拠を言葉にできることが大切です。

同じ解法の問題を3題程度続けて解く

図形は、似た問題をまとめて解くとパターンをつかみやすい単元です。

たとえば、

同じ高さを使う面積問題を3題
二等辺三角形の角度問題を3題
相似を使う問題を3題

というように練習します。

1題ごとに全く違う単元へ移るより、

「この形ならこの考え方を使う」

という感覚が身につきやすくなります。

ただし10問、20問と大量に解く必要はありません。

3題程度でも、すべて自力で解ければ十分な練習になります。

解き直しでは補助線まで自分で再現する

図形問題の解き直しで注意したいのが、答えだけ覚えてしまうことです。

前回の補助線が問題用紙に残っていると、そこから先だけ解けても意味がありません。

可能であれば新しい紙に図を描くか、補助線を消した状態から再挑戦します。

そして、

どこへ補助線を引くか
なぜそこに引くか

まで自分で再現できるか確認してください。

翌日や数日後でも同じ補助線を自分で見つけられれば、その問題の考え方が定着し始めています。

まとめ｜図形の解き方は「書く・探す・つなぐ」が基本

中学受験算数の図形問題は、特別なひらめきがなければ解けないように感じることがあります。

しかし、多くの問題で使う基本手順は共通しています。

まず、

分かっている情報を図に書く。

次に、

三角形・平行線・同じ高さ・相似など、知っている形や性質を探す。

そして、

分かった情報を一つずつつないで答えへ近づく。

この3つを繰り返します。

角度問題なら180度になる三角形を探す。

面積問題なら同じ高さや同じ底辺を見る。

相似なら対応する辺を確認する。

立体図形なら、一つの面ずつ考える。

子どもが止まったときも、

「補助線はここだよ」

と答えを教えるより、

「図から何が分かっている？」
「知っている三角形はない？」
「同じ高さのところは？」

と問いかけてみてください。

図形が苦手な子ほど、難問を大量に解くより、基本問題で見る順番を習慣化することが大切です。

「図形はセンスが必要」と決めつけず、まずは1問ごとに「書く・探す・つなぐ」を繰り返していきましょう。