中学受験算数の平均を攻略｜平均算の解き方とコツ

中学受験算数の「平均」は公式だけでは解けない

この記事では、そんな悩みに対して、中学受験算数の「平均」でなぜつまずくのか、どのように考えればよいのか、家庭でどう教えれば定着するのかを順を追って解説します。

平均は、小学校でも習う身近な内容です。

そのため「平均＝合計÷個数」という公式さえ覚えれば簡単と思われがちですが、中学受験ではそうはいきません。

人数が増えたり減ったり、2つのグループを合わせたり、一部の数だけ分からなかったりと、条件を変えた問題が多く出題されます。

そこで大切なのは、公式を機械的に使うことではなく、平均と合計の関係を理解することです。

平均算が苦手な子ほど、この基本に戻るだけで問題が整理しやすくなります。

平均は「合計をならした数」と理解する

まず、平均の意味を正しく理解しておきましょう。

たとえば3人のテストの点数が、

60点、70点、80点

だったとします。

合計は210点です。

これを3人に同じ点数ずつ分けると、

210÷3＝70

となります。

つまり平均70点とは、3人の得点をいったん全部集めて、均等に分け直したときの1人分です。

ここを理解せず「全部足して人数で割る」とだけ覚えていると、少し条件が変わっただけで混乱します。

家庭で教えるときは、

「平均って何？」

と聞いたときに、

「同じになるようにならした数」

と答えられる状態を目指すとよいでしょう。

「平均×個数＝合計」が最重要

中学受験の平均算では、

平均＝合計÷個数

よりも、

合計＝平均×個数

を使う場面が非常に多くあります。

たとえば、8人の平均点が72点なら、合計点は、

72×8＝576点

です。

平均算の文章題では、直接「合計」が書かれていなくても、平均と人数が分かれば合計を作れます。

ここが平均算攻略の最大のポイントです。

子どもには、

「平均と人数があったら、まず合計に戻せないか考えよう」

と伝えてください。

文章題が苦手な子でも、合計に直すと見慣れた足し算や引き算の問題として処理できることがあります。

平均を足して平均を出す間違いに注意

平均算で特に多いのが、2つのグループの平均をそのまま平均する間違いです。

たとえば、

A組20人の平均が70点
B組30人の平均が80点

だったとします。

「70と80の平均だから75点」としたくなりますが、人数が違うのでこれは正しくありません。

A組の合計は、

70×20＝1400点

B組の合計は、

80×30＝2400点

です。

合わせると、

1400＋2400＝3800点

人数は50人なので、

3800÷50＝76点

となります。

平均同士をそのまま足したり割ったりしてはいけないという点は、ぜひ繰り返し確認してください。

中学受験でよく出る平均算の解き方

人数と平均から合計を求める問題

平均算で最初に身につけたいのが、平均から合計を作る問題です。

たとえば、

「5人の平均点が68点です。5人の合計点は何点ですか」

なら、

68×5＝340点

です。

非常に簡単に見えますが、中学受験ではこの考え方を文章題の途中で何度も使います。

平均を見たら、

「何人分なのか」
「全部でいくつになるのか」

をセットで確認する癖をつけましょう。

2つのグループを合わせる問題

次によく出るのが、異なるグループを合わせる平均算です。

例として、

「男子12人の平均点は75点、女子8人の平均点は80点でした。全員の平均点を求めなさい」

という問題を考えます。

男子の合計は、

75×12＝900点

女子の合計は、

80×8＝640点

したがって全体は、

900＋640＝1540点

人数は、

12＋8＝20人

なので、

1540÷20＝77点

です。

ポイントは、いったんそれぞれの合計に戻すことです。

「平均の問題だから平均だけで処理しよう」と考える必要はありません。

1人増えたり減ったりする問題

中学受験では、メンバーの出入りによって平均が変化する問題も頻出です。

たとえば、

「5人の平均点は72点でした。1人加わると6人の平均点は75点になりました。加わった1人は何点ですか」

という問題です。

最初の5人の合計は、

72×5＝360点

6人になったあとの合計は、

75×6＝450点

です。

したがって加わった1人の点数は、

450－360＝90点

となります。

このタイプも、

前の合計と後の合計をそれぞれ出して、その差を見る

だけです。

複雑に見えても、平均を合計へ戻すという原則は変わりません。

平均算が苦手な子には面積図が効果的

面積図は「平均×人数＝合計」を見える化する

平均算では、面積図を使うと関係が分かりやすくなることがあります。

長方形の縦を平均、横を人数とすると、長方形の面積が合計を表します。

たとえば、

平均70点×10人＝700点

なら、

縦70、横10、面積700

の長方形として考えます。

平均算を数字だけで処理すると混乱する子でも、

「この長方形全体が合計」

と考えると理解しやすくなります。

特に2つのグループを合わせる問題や、平均が変化する問題では有効です。

平均との差に注目すると計算が簡単になる

平均算には、基準となる平均との差を利用すると簡単に解ける問題もあります。

たとえば5人の平均が60点だとします。

4人の点数が、

58点、62点、65点、55点

だった場合、残り1人を求めるなら合計を出しても解けます。

しかし平均との差を見ると、

58点は－2
62点は＋2
65点は＋5
55点は－5

です。

差の合計は0なので、最後の1人は平均と同じ60点だと分かります。

このように、平均との差を足し引きする発想が使えるようになると、平均算はかなり速く解けるようになります。

面積図を使わない方がよい問題もある

面積図は便利ですが、すべての平均問題で使う必要はありません。

平均と人数から単純に合計を求めるだけなら、

平均×人数

と式を書いた方が速いでしょう。

図を書く目的は、見た目を整えることではありません。

数字だけでは関係が分かりにくいときに整理するためです。

算数が苦手な子には最初は図を使わせ、慣れてきたら「この問題は式だけでいける」と判断できるようにするとよいでしょう。

中学受験算数の平均を家庭で定着させる勉強法

まず3つの数字だけで平均を体感させる

平均算が苦手な場合、難しい受験問題からやり直す必要はありません。

まず、

40、50、60

の平均は50、

30、50、70

の平均も50、

といった簡単な数字で確認します。

そして、

「どうして50になるの？」

と聞いてください。

子どもが、

「全部で150だから3で割る」

だけでなく、

「3人が同じになるようにすると50」

と説明できれば、平均の意味が理解できています。

基礎的な概念が曖昧なまま難問を繰り返すより、この確認に5分使う方が効果的なこともあります。

式を書く前に「何の合計か」を言わせる

文章題では、いきなり式を書かせないことも大切です。

たとえば、

「8人の平均が65点」

とあったら、

「65×8で何が分かる？」

と聞きます。

答えは、

「8人全員の点数の合計」

です。

この言葉が出てから式を書かせます。

平均算が苦手な子は、計算ができないというより、式が何を表しているのか分からないまま数字を動かしていることが少なくありません。

「この式は何を求めたのか」を毎回確認するだけでも、文章題への対応力が上がります。

間違えた問題は数字を変えて解き直す

平均算は、答えを覚えてしまうと「できるようになった」と錯覚しやすい単元です。

たとえば、

「5人の平均72点に1人加わると平均75点」

という問題を解いたあと、

「8人の平均64点に1人加わって平均66点」

のように数字だけを変えて出題してみてください。

解き方を本当に理解していれば、数字が変わっても解けます。

逆に、数字が変わっただけで止まるなら、手順を暗記していた可能性があります。

家庭学習では同じ問題を何度も解かせるだけでなく、条件を少し変えて考え方を再現できるか確認することが効果的です。

まとめ｜平均算は「合計」に戻れば解きやすくなる

中学受験算数の平均は、一見すると多くのパターンがあるように見えます。

しかし、基本となる考え方はそれほど多くありません。

まず覚えておきたいのは、

平均＝合計÷個数

そして、それ以上に重要なのが、

合計＝平均×個数

です。

2つのグループを合わせる問題でも、人数が増減する問題でも、平均から一度合計に戻せば、問題の構造が見えやすくなります。

平均算が苦手な子には、すぐに難しい問題を追加するのではなく、

「平均とは何か」
「平均×人数で何が分かるのか」
「今求めた数字は何の合計なのか」

を一つずつ確認してください。

数字だけでは理解しにくい場合は、面積図を使って合計を目で見える形にするのも有効です。

平均算は、公式をたくさん暗記する単元ではありません。

平均・人数・合計の3つの関係を自由に行き来できるようになることが、中学受験で得点につなげる最も確実な方法です。