中学受験算数の等差数列｜公式と解き方を解説

中学受験算数の等差数列とは？まず基本を理解しよう

この記事では、中学受験算数の等差数列について、基本の考え方から公式、よく出る問題の解き方、家庭での教え方まで順を追って分かりやすく解説します。

中学受験算数の「規則性」で頻出なのが、等差数列です。

たとえば、

3、7、11、15、19……

のように、同じ数ずつ増えていく並びが等差数列です。

見た目は単純ですが、

「50番目はいくつ？」
「100までに何個並ぶ？」
「最初から30番目まで全部足すといくつ？」

と聞かれると、急に難しく感じる子が増えます。

等差数列で最も大切なのは、公式を丸暗記することではありません。

「1番目から10番目になるまで、何回増えたのか」

という考え方を理解することです。

ここが分かると、公式の意味も自然につながります。

等差数列を得意にする第一歩は、言葉と数字の関係を丁寧に整理することです。

同じ数ずつ増える・減る数列が等差数列

たとえば、

2、5、8、11、14……

という並びを見てみましょう。

前の数から、

＋3
＋3
＋3
＋3

と、毎回3ずつ増えています。

このように、隣り合う数の差が一定になっている数列を等差数列と考えます。

逆に、

20、16、12、8、4……

のように4ずつ減っていく並びも同じ考え方です。

まず家庭では、

「次はいくつ？」
「いくつずつ増えている？」

と聞いてみてください。

式を作る前に「差」を見つけることが基本です。

「初めの数・増える数・何番目」を整理する

等差数列では、主に3つの情報を使います。

たとえば、

5、8、11、14、17……

なら、

初めの数＝5
増える数＝3
求めたい位置＝何番目か

です。

ここで特に重要なのが、「何番目」と「何回増えたか」は同じではないということです。

5から8へ進むと1回増えています。

つまり、

2番目になるまでに増えた回数は1回。

5番目になるまでに増えた回数は4回です。

この「1つ少ない」という関係が、等差数列で最も多いつまずきです。

公式は意味を理解してから覚える

等差数列の何番目かを求める基本的な考え方は、

初めの数＋増える数×（何番目－1）

です。

たとえば、

4、7、10、13……

の10番目なら、

4＋3×（10－1）

です。

なぜ10ではなく9を掛けるのでしょうか。

1番目の4から10番目まで進む間に、3を足すのは9回だからです。

4＋3×9＝31

となります。

この「－1」を理由なく暗記すると間違えやすいため、

「1番目はまだ増えていない」

と理解させることが大切です。

等差数列で必ず身につけたい3つの解き方

中学受験の等差数列では、基本的に「何番目」「何個あるか」「和」の3種類を押さえておけば、多くの問題に対応できます。

何番目の数を求める方法

問題です。

3、8、13、18……

と並ぶ数列の20番目はいくつでしょうか。

初めの数は3、増える数は5です。

20番目までに増える回数は、

20－1＝19回

なので、

3＋5×19
＝3＋95
＝98

です。

ここで子どもが、

3＋5×20

としてしまったら、

「1番目の3は、もう5を1回足した数かな？」

と聞いてみてください。

実際に最初の3～4項を書かせると、19回増える理由が見えやすくなります。

ある数が何番目かを求める方法

今度は逆です。

4、10、16、22……

という数列で、100は何番目でしょうか。

初めの4から100までに増えた量は、

100－4＝96

です。

1回につき6ずつ増えるので、

96÷6＝16回

増えています。

ここで注意が必要です。

16回増えたから16番目ではありません。

最初の4が1番目なので、

16＋1＝17番目

です。

このタイプは、

「増えた回数＋1＝何番目」

と整理すると分かりやすくなります。

最初から最後までの和を求める方法

等差数列では、並んでいる数を全部足す問題も頻出です。

たとえば、

1＋2＋3＋……＋100

です。

一つずつ足すのは大変ですが、

最初と最後を組み合わせると、

1＋100＝101
2＋99＝101
3＋98＝101

と、同じ和の組ができます。

この考え方から、

（最初の数＋最後の数）×個数÷2

で求められます。

つまり、

（1＋100）×100÷2
＝5050

です。

ただし、この公式を覚えるだけでは応用できません。

「最初と最後をペアにすると同じ和になる」

という理由まで理解しておきましょう。

中学受験の等差数列でよくある応用問題

入試では、単純に公式へ当てはめるだけではなく、少し形を変えて出題されます。

途中から始まる数列は「何回増えたか」を考える

たとえば、

17、22、27、32……

の30番目を求める問題です。

初めの数が17でも考え方は同じです。

増える数は5。

30番目までに増える回数は29回なので、

17＋5×29
＝162

です。

等差数列では「1から始まる」と思い込む必要はありません。

初めの数が何であっても、

最初の数から何回変化したか

を考えれば解けます。

等差数列の和は平均×個数でも考えられる

等差数列の和は、

（最初＋最後）×個数÷2

で求められます。

これは、

平均×個数

と考えることもできます。

たとえば、

5、8、11、14、17

の平均は、

（5＋17）÷2＝11

です。

全部で5個あるので、

11×5＝55

となります。

実際に足しても、

5＋8＋11＋14＋17＝55

です。

「最初と最後の真ん中が平均になる」という見方ができると、公式を忘れても考え直せます。

図形や規則性と組み合わされた問題に注意する

中学受験では、「これは等差数列の問題です」と書いてあるとは限りません。

たとえば正方形を横につないでいき、

1個のとき4本
2個のとき7本
3個のとき10本

のマッチ棒が必要だとします。

本数を見ると、

4、7、10……

と3ずつ増えています。

つまり、図形問題のように見えても中身は等差数列です。

このタイプでは、

「図形が1個増えると、何本増える？」

と考えます。

中学受験では、数列そのものより、「問題の中に隠れている等差数列を見つける力」が重要になります。

等差数列が苦手な子に家庭でできる教え方

等差数列が苦手な子には、最初から公式を覚えさせるより、数字を書き出して変化を確認するほうが効果的です。

最初は公式を隠して数を書き出す

たとえば、

2、6、10、14……

の6番目を求めるなら、まず実際に書きます。

1番目　2
2番目　6
3番目　10
4番目　14
5番目　18
6番目　22

ここで、

「6番目になるまでに、4を何回足した？」

と聞きます。

答えは5回です。

この経験をしたあとで、

6番目－1＝5回

と結びつけると、「－1」の意味が理解しやすくなります。

「何番目」と「増えた回数」を分けて考える

等差数列で最も多いミスは、

10番目だから10回増える

と考えてしまうことです。

家庭では、紙に、

何番目　｜　増えた回数
1番目　｜　0回
2番目　｜　1回
3番目　｜　2回
4番目　｜　3回

と書いてみましょう。

並べると、

「増えた回数は、何番目より1少ない」

ことが一目で分かります。

ここを理解するだけでも、等差数列のミスはかなり減ります。

間違いを3種類に分けて復習する

等差数列で間違えたら、すべてを「分からなかった」で終わらせないようにしましょう。

たとえば、

• 差を見つけられなかった
• 何番目と回数を間違えた
• 計算ミスをした

の3種類に分けます。

5問中3問間違えても、3問とも「－1を忘れた」だけなら、理解すべきポイントは一つです。

原因を絞ることで、必要以上に問題をやり直さずに済みます。

基本問題を短時間で繰り返す

等差数列は、一度公式を覚えて終わりにすると忘れやすい単元です。

おすすめは、

1回目：考え方を確認しながら解く
2回目：翌日に自力で解く
3回目：数日後に別の数字で解く

という復習です。

1日10問、20問と大量に解く必要はありません。

「何番目」
「何番目か」
「和」

をそれぞれ1～2問ずつ解き、自分で理由を説明できれば十分です。

家庭では、

「公式は何？」

ではなく、

「何回増えたの？」

と聞いてみてください。

等差数列の本質を確認できる質問です。

まとめ｜等差数列は「何回増えたか」が分かれば解ける

中学受験算数の等差数列では、公式を覚えること以上に、

「初めの数から何回増えたのか」

を理解することが重要です。

基本となる考え方は、

何番目の数
＝初めの数＋増える数×（何番目－1）

です。

ただし、「－1」を丸暗記するのではなく、

「1番目ではまだ一度も増えていないから」

と説明できるようにしましょう。

また、等差数列では、

• 何番目の数を求める
• ある数が何番目か求める
• 数列の和を求める

という3つの基本パターンを確実にしておくことが大切です。

さらに中学受験では、図形・マッチ棒・規則性などの中に等差数列が隠れていることがあります。

問題を見たときに、

「1つ増えると何がいくつ増える？」

と考える習慣をつけると、数列以外の問題にも応用できます。

等差数列が苦手な子に、最初から公式だけを覚えさせる必要はありません。

まず数を書き出し、

「何番目？」
「何回増えた？」
「1回でいくつ増える？」

を整理することから始めましょう。

この3点が自分で確認できるようになれば、等差数列は暗記する単元ではなく、仕組みを理解して解ける得点源へ変わっていきます。