中学受験算数の図形と比｜問題の解き方とコツ

中学受験算数で「図形と比」の問題が難しい理由

この記事では、そんな悩みを持つご家庭に向けて、中学受験算数の「図形と比」の問題でなぜつまずくのか、どこを見ればよいのか、家庭でどのように練習すればよいのかを順番に解説します。

図形と比は、中学受験算数の中でも差がつきやすい分野です。

「比の計算はできるのに図形になると解けない」という子も少なくありません。

その理由は、図形と比の問題では、単に「2：3」を計算するだけではなく、図の中から比を利用できる場所を自分で探す必要があるからです。

ただし、見方には一定のパターンがあります。

特に、

「同じ高さ」
「同じ底辺」
「相似」

という3つに注目できるようになると、図形と比の問題はかなり整理して考えられるようになります。

長さの比と面積の比が混ざりやすい

図形と比で最初につまずきやすいのが、長さの比と面積の比を同じように扱ってしまうことです。

たとえば、相似な2つの三角形の対応する辺の長さが、

2：3

だったとします。

このとき面積比は2：3ではありません。

面積は縦方向と横方向の両方が拡大されるため、

2×2：3×3
＝4：9

となります。

ところが子どもは、

「辺が2：3だから面積も2：3」

と考えてしまうことがあります。

一方、同じ高さを持つ2つの三角形なら、面積比は底辺比と同じです。

つまり、問題によって「そのまま比を使う場合」と「2乗する場合」があります。

ここを区別できることが図形と比の第一歩です。

図の中から使える比を見つける必要がある

文章題なら、ある程度「何を使う問題なのか」が文章から読み取れます。

しかし図形問題では、必要な情報が図の中に隠れています。

たとえば三角形ABCの辺BC上に点Dがあり、

BD：DC＝2：3

だったとします。

三角形ABDと三角形ADCに注目すると、この2つは頂点Aから辺BCへの高さが同じです。

したがって、

三角形ABD：三角形ADC
＝BD：DC
＝2：3

となります。

この「高さが同じ」ということが見えるかどうかがポイントです。

子どもが図形と比を苦手にしている場合、計算力ではなく、どの図形同士を比較すればよいか分かっていないケースがよくあります。

公式暗記だけでは応用問題に対応できない

図形分野では公式を覚えることも必要ですが、それだけでは十分ではありません。

たとえば、

「三角形の面積＝底辺×高さ÷2」

を知っていても、図形と比の問題で毎回面積を計算する必要はありません。

同じ高さの三角形なら、

面積比＝底辺比

と考えれば、一瞬で答えられる問題もあります。

図形と比では、「計算する力」よりも共通している部分を見つける力が重要です。

図形と比の問題で最初に身につけたい3つの基本

同じ高さなら三角形の面積比は底辺比

最も重要なルールです。

三角形の面積は、

底辺×高さ÷2

で求めます。

2つの三角形の高さが同じなら、「高さ」と「÷2」は共通なので、面積の違いを決めるのは底辺だけです。

たとえば底辺が、

4cmと6cm

なら面積比は、

4：6＝2：3

です。

実際の入試では長さが書かれておらず、

AB：BC＝2：5

のように比だけ示されることもあります。

それでも高さが同じなら、面積比も2：5です。

家庭で教えるときは、

「面積の公式を見て、同じところを消したら何が残る？」

と聞くと理解しやすくなります。

同じ底辺なら三角形の面積比は高さの比

反対に、底辺が同じ三角形なら、面積比は高さの比になります。

たとえば同じ辺ABを底辺とする三角形ABCと三角形ABDを考えます。

点CとDからABまでの高さが、

3：5

なら、

三角形ABC：三角形ABD＝3：5

です。

特に平行線が含まれる図形では、同じ高さや高さの比を利用する問題がよく出ます。

「底辺が同じ」ことに気づけるだけでも、面積をわざわざ計算する必要がなくなります。

相似では長さの比と面積比を分けて考える

相似図形では、

長さの比＝相似比

ですが、

面積比＝相似比の2乗

です。

たとえば相似比が、

3：4

なら面積比は、

9：16

です。

ここで重要なのは、数字だけを暗記することではありません。

「縦も3：4、横も3：4になるから、面積では3×3：4×4になる」

と理解しておくことです。

この考え方が分かっていれば、

相似比5：7
→面積比25：49

のような問題にも迷わず対応できます。

中学受験の図形と比を解く手順

まず「何の比」を聞かれているか確認する

図形と比の問題を見たら、いきなり計算を始めないことが大切です。

最初に確認するのは、

「何と何の比を求めるのか」

です。

たとえば、

辺の長さの比
三角形の面積比
四角形の面積比

では、使う考え方が異なります。

問題文の「面積比を求めなさい」「AD：DBを求めなさい」といった部分に線を引くだけでも、途中で迷いにくくなります。

分かっている比を図に直接書き込む

次に、問題文に書かれている比を図へ書き込みます。

たとえば、

AB：BC＝2：3

なら、図のAB付近に「2」、BC付近に「3」と書きます。

図形問題が苦手な子ほど、問題文だけを何度も読んでしまいます。

しかし、図形では情報を図へ移すこと自体が問題を解く作業です。

さらに面積比が分かったら、

△ABD：△ACD＝2：3

などと図の余白に書きます。

こうすると、情報が少しずつつながっていきます。

面積比から長さの比へ逆算する

中学受験では、

長さの比→面積比

だけでなく、

面積比→長さの比

を求める問題も頻出です。

たとえば、同じ高さを持つ三角形AとBの面積比が、

3：7

だとします。

同じ高さなら、

面積比＝底辺比

なので、底辺も3：7です。

ここで重要なのは、

「面積比を求める問題」

という固定観念を持たないことです。

図形と比では、長さと面積の間を行き来できるようになると応用力が大きく伸びます。

分からないときは三角形に分ける

複雑な四角形や多角形が出てくると、見ただけで手が止まる子がいます。

そんなときは、

「三角形に分けられないか」

を考えます。

中学受験の図形と比では、三角形が基本単位です。

四角形の面積比を直接考えるのが難しくても、対角線を引いて三角形2つに分ければ、

「この2つは高さが同じ」

「この三角形同士は底辺が同じ」

といった関係が見つかることがあります。

複雑な図を見たら、まず小さな三角形を探す習慣をつけましょう。

図形と比の問題が苦手な子の家庭学習法

答えより「どの三角形を比べたか」を説明させる

家庭学習で保護者が確認したいのは、答えが合っているかだけではありません。

たとえば答えが、

3：5

だったとしても、

「どうして3：5になったの？」

と聞いてみてください。

子どもが、

「この2つの三角形は高さが同じだから、底辺の比がそのまま面積比になる」

と説明できれば理解しています。

一方、

「先生がこうやっていたから」

「解説に書いてあったから」

という状態では、次に少し形を変えられると解けなくなる可能性があります。

図形は、理由を言葉にする学習と相性がよい分野です。

1問を3回解く方が効果的

図形が苦手だからと、毎日大量の新しい問題を解かせる必要はありません。

むしろおすすめなのは同じ問題を、

1回目：解説を理解する
2回目：翌日に何も見ずに解く
3回目：数日後にもう一度解く

という形で繰り返す方法です。

1回目は「分かった」、2回目は「自分でできた」、3回目は「身についた」を確認するイメージです。

特に図形問題では、解説を読んだ直後は簡単に感じても、数日後にもう一度出されると手が止まることがあります。

そこで初めて、本当に定着しているか分かります。

難問より典型問題を優先する

算数の成績が伸びないと、保護者は難しい問題を解かせた方がよいのでは、と考えがちです。

しかし図形と比が苦手な段階では、まず典型的な問題を確実に解けるようにする方が重要です。

優先したいのは、

• 同じ高さと面積比
• 同じ底辺と面積比
• 相似比と面積比
• 面積比から辺の比を求める問題
• 三角形を分割する問題

です。

これらの基本パターンを繰り返すことで、複雑な問題でも、

「ここは同じ高さが使えそう」

「この2つは相似ではないか」

と考えられるようになります。

応用力とは、難問を大量に解いた結果だけで身につくものではありません。

基本的な考え方を、初めて見る図形の中から自分で選べることが本当の応用力です。

まとめ｜図形と比は「同じものを探す」と解きやすくなる

中学受験算数の図形と比は、最初は複雑に見えます。

しかし基本となる考え方はそれほど多くありません。

まず覚えておきたいのは、

同じ高さなら面積比は底辺比、同じ底辺なら面積比は高さの比、相似なら面積比は相似比の2乗

という3つです。

問題を解くときは、いきなり数字を計算するのではなく、

「どの三角形を比べるのか」
「同じ高さはないか」
「同じ底辺はないか」
「相似な図形はないか」

を順番に探してみてください。

図形が苦手な子ほど、答えを覚えさせるのではなく、「なぜその比になるのか」を説明させることが大切です。

たとえば、

「この2つは同じ高さだから」

と子ども自身が一言説明できるだけでも、理解度は大きく変わります。

また、解けなかった問題を次々と増やす必要はありません。

1問の典型問題を翌日、さらに数日後と繰り返し、自分の力で解き方を再現できるようにしていきましょう。

図形と比は、一度「見る場所」が分かると得点源に変わりやすい単元です。

図全体の複雑さに惑わされず、まず同じ高さ・同じ底辺・相似を探す。

この習慣を身につけることが、中学受験の図形問題を安定して解けるようになる第一歩です。