中学受験算数の碁石問題｜規則性の解き方と数え方

中学受験算数の碁石問題でつまずく3つの理由

この記事では、中学受験算数の碁石問題でつまずく理由から、正方形や三角形の数え方、規則性の見つけ方、家庭での教え方まで順を追って解説します。

中学受験算数では、碁石やおはじき、点などを規則的に並べ、「全部で何個あるか」「何番目には何個になるか」を求める問題がよく登場します。

一見すると単純な数え上げに見えますが、実際には「規則性」「植木算」「図形の周り」「等差数列的な考え方」など、複数の考え方が含まれています。

そのため、目で追って数えるだけでは途中から対応できなくなります。

大切なのは、碁石そのものを数えることではありません。

どのようなまとまりで並び、1段階進むごとに何個増えるのかを見抜くことです。

碁石問題が苦手な子には、共通したつまずき方があります。

まずは「なぜ間違えるのか」を知ると、家庭でも教えやすくなります。

一つずつ数えると途中で混乱する

最初の図に碁石が10個程度しかなければ、一つずつ数えても答えは出せます。

ところが入試では、

「同じ規則で20番目まで並べたとき」

「一辺に50個の碁石を並べたとき」

といった問題も出てきます。

50個、100個の碁石を実際に書いて数えることは現実的ではありません。

たとえば、

1番目：4個
2番目：8個
3番目：12個

となっていれば、重要なのは「12個ある」ことより、

4、8、12……

と4個ずつ増えていることです。

碁石問題では、数そのものより増え方を見る習慣をつけることが重要です。

角の碁石を二重に数えてしまう

正方形の周りに碁石を並べる問題では、角の数え方が典型的なミスになります。

たとえば、一辺に5個ずつ碁石が並んだ正方形を考えます。

単純に、

5×4＝20個

としたくなりますが、これは正しくありません。

四隅の碁石は、縦の辺にも横の辺にも含まれています。

そのため、同じ角を2回数えてしまっています。

正しくは、

5×4－4＝16個

です。

あるいは、

1辺につき角を一つ除いて4個ずつ

と考えて、

4×4＝16個

としても構いません。

碁石問題では、重なって数えている場所がないかを確認することが大切です。

並び方の規則を式にできない

「規則は何となく分かるけれど式にできない」という子も少なくありません。

たとえば、

1番目：5個
2番目：8個
3番目：11個
4番目：14個

という並びなら、毎回3個ずつ増えています。

5から始まり、1番目からn番目までは「3個増えること」がn－1回あります。

したがって、

5＋3×（n－1）

と表せます。

小学生にいきなり文字式を覚えさせる必要はありません。

まずは、

「最初は5個」
「次になるたび3個増える」
「10番目までなら、増えるのは9回」

と日本語で整理できれば十分です。

碁石問題の基本は「まとまり」と「増え方」を見る

中学受験の碁石問題では、すべてを一つずつ数えるのではなく、まとまりを作って数えます。

さらに、図が何段階も変化する場合は「前の図から何個増えたか」に注目します。

正方形の周りに並べる碁石の数え方

一辺に6個の碁石を置いて正方形を作る問題を考えてみましょう。

4辺あるので、

6×4＝24

と考えたくなります。

しかし四隅はそれぞれ2回ずつ数えているため、

24－4＝20個

です。

もう一つの考え方は、

一辺につき角を片方だけ含めて、

6－1＝5個

とする方法です。

5×4＝20個

となります。

このように中学受験算数では、同じ答えでも複数の数え方があります。

家庭学習では「公式はこれ」と一つに固定するより、

「ほかの数え方はない？」

と問いかけるほうが応用力につながります。

一辺の個数と間の数を混同しない

碁石問題では「個数」と「間の数」の違いにも注意が必要です。

一直線上に碁石を5個並べると、

●―●―●―●―●

碁石は5個ですが、その間は4か所です。

つまり、

間の数＝碁石の数－1

です。

これは植木算と同じ考え方です。

「隣り合う碁石の間を3cmずつ空け、一列に10個並べました。端から端まで何cmですか」

という問題なら、

間は10－1＝9個

なので、

3×9＝27cm

です。

碁石が10個あるからといって、3×10＝30cmではありません。

「物の数」と「すき間の数」を区別できるかどうかは、中学受験算数で非常に重要です。

段が増える問題は差に注目する

三角形や階段状に碁石が増えていく問題では、「前より何個増えたか」を書き出します。

たとえば、

1段：1個
2段：3個
3段：6個
4段：10個

という並びなら、

増えた数は、

2、3、4……

となっています。

つまり、

1段目に1個
2段目に2個追加
3段目に3個追加
4段目に4個追加

という構造です。

5段目なら、

10＋5＝15個

になります。

大きな図を全部書かなくても、増え方が分かれば続きを求められます。

中学受験の碁石問題を解く3つのパターン

碁石問題にはさまざまな見た目がありますが、基本的な考え方はいくつかの型に整理できます。

代表的な3パターンを押さえておきましょう。

正方形・長方形の周りに碁石を並べる問題

このタイプでは、

「角を二重に数えていないか」

が最大のポイントです。

たとえば縦に5個、横に8個の碁石を長方形状に並べる場合、

上と下：8個ずつ
左と右：5個ずつ

なので、

8×2＋5×2＝26

となります。

しかし角4個を2回ずつ数えているため、

26－4＝22個

です。

別の考え方として、

上と下を8個ずつ数え、

左右は角を除いて3個ずつ

とすれば、

8×2＋3×2＝22個

となります。

「重複した分を後から引く」のか、「最初から重ならないように分ける」のか、子どもが分かりやすい方法を選ばせて構いません。

三角形状に碁石を並べる問題

碁石を、

1個
2個
3個
4個……

と段ごとに増やして三角形に並べるタイプも頻出です。

5段なら、

1＋2＋3＋4＋5＝15個

です。

10段なら、

1＋2＋3＋……＋10

となります。

小学生の場合は、

1と10
2と9
3と8
4と7
5と6

のように両端を組み合わせると、

11が5組

なので、

11×5＝55個

と求められます。

「全部足す」だけではなく、同じ和になる組を作ることが計算を速くするポイントです。

図形が増えていく規則性の問題

正方形を横につないでいくような問題では、図を一つ追加するたびに同じ数の碁石が増えることがあります。

たとえば、

1個の正方形：4個
2個つなぐ：6個
3個つなぐ：8個

なら、

4、6、8……

と2個ずつ増えています。

なぜ2個ずつなのかを見ると、正方形を一つ増やすたびに1辺を共有し、新しく必要な碁石が2個だけ増えるからです。

ここで大切なのは数字の並びだけでなく、

「なぜ2個ずつ増えるのか」

まで説明できることです。

理由が分かっていれば、図の向きや数字が変わっても対応できます。

碁石問題が苦手な子への家庭での教え方

碁石問題は、家庭で比較的教えやすい単元です。

特別な教材がなくても、紙と鉛筆だけで十分練習できます。

実際に丸を書いて数えさせる

最初から公式を教えるより、まずは○を使って図を書かせてみましょう。

たとえば、

「一辺に4個の碁石がある正方形」

なら、実際に○を並べます。

そのうえで、

「上は4個」
「右は何個数えれば重ならない？」
「下と左は？」

と一緒に確認します。

子ども自身が角の重複に気づけば、

「だから4を引くのか」

と納得できます。

実物の碁石がなくても、おはじき、硬貨、ボタンなどで代用できます。

「何個増えた？」を言葉で説明させる

規則性の問題では、

「次は何個になる？」

だけではなく、

「前から何個増えた？」

と質問してください。

さらに、

「どうしてその数だけ増えるの？」

まで説明させます。

たとえば、

「正方形を一つ増やすと、共有する辺があるから新しく2個増える」

と説明できれば、単なる数字の暗記ではなく構造を理解できています。

親が説明する時間より、子どもが説明する時間を増やすことがポイントです。

答えより数え方を複数考えさせる

碁石問題は、一つの答えに対して複数の考え方ができる良い教材です。

たとえば正方形の周りなら、

「4辺を数えて角を4個引く」

という方法もあれば、

「各辺で角を1個ずつ除いて数える」

という方法もあります。

どちらも正解です。

家庭では、

「もっと簡単に数える方法はない？」
「違う分け方でもできる？」

と声をかけてみてください。

一つの解き方を覚えるだけでなく、数え方を工夫する経験が、中学受験算数で必要な思考力につながります。

まとめ｜碁石問題は全部数えず規則を見つけよう

中学受験算数の碁石問題では、一つずつ正確に数える力よりも、まとまりや規則を見つける力が重要です。

特に意識したいのは、

「角を二重に数えていないか」

「碁石の個数と間の数を混同していないか」

「前の図から何個増えたか」

の3点です。

正方形や長方形の周りを数える問題では、角の重複を確認します。

三角形状に増える問題では、1、2、3、4……という段ごとの増え方に注目します。

図形が連続して増える問題では、毎回新しく追加される部分だけを見ると規則を見つけやすくなります。

家庭で教えるときも、すぐに公式を示す必要はありません。

まず実際に小さな図を書き、

「どんなふうに増えている？」
「どこを2回数えている？」
「全部数えなくても求められない？」

と問いかけてみてください。

碁石問題は、規則性・植木算・数列・図形など、中学受験算数のさまざまな分野につながる単元です。

小さい図を丁寧に観察し、そこから規則を言葉や式にする練習を重ねれば、大きな数字が出てきても慌てずに解けるようになります。