中学受験算数の切断を克服する家庭学習法

中学受験算数の切断を克服できない3つの原因

この記事では、中学受験算数の切断が苦手になる原因と、家庭で無理なく克服するための練習方法を順を追って解説します。

立体を頭の中だけで動かそうとしている

切断ができない子の多くは、立方体や直方体を頭の中だけで回転させようとします。

空間をイメージする力は必要ですが、最初からすべてを脳内で処理する必要はありません。むしろ、見えない部分まで無理に想像しようとすると、点や辺の位置関係が分からなくなります。

例えば、立方体の3本の辺上に切断面が通る点が示されている問題では、いきなり完成した断面を思い浮かべるのではなく、まず同じ面にある2点を探します。その2点を結ぶだけなら、空間把握が苦手な子にも取り組めます。

切断を克服する第一歩は、「頭の中で見えるようになること」ではなく、「図に分かる情報を書き込めること」です。

切断面の点を正しい順序で結べていない

切断問題では、与えられた点を自由に結んでよいわけではありません。切断面は一枚の平らな面なので、同じ面にある2点を直線で結びながら、次に通る面を探していきます。

ところが苦手な子は、立体上の離れた点をいきなり結んだり、別の面にある点どうしを図の見た目だけで結んだりします。

ここで確認したいのは、「その2点は立方体の同じ面にあるか」という一点です。

例えば、正面の左辺上の点と、正面の右辺上の点であれば、同じ正面上にあるため直線で結べます。一方、一つが正面、もう一つが背面にしか含まれない場合は、そのまま結べません。

点を結ぶ前に面を確認する習慣が、切断克服の土台になります。

答えを覚えるだけの復習になっている

解説を見た直後は断面を描けても、数日後に解けなくなる場合は、手順ではなく完成図だけを覚えている可能性があります。

切断面が三角形、四角形、五角形になることを覚えても、別の位置に点が置かれれば対応できません。

復習では、答えの形よりも次のような判断を言葉にさせることが大切です。

「最初に同じ面の2点を結んだ」
「その線が右の辺まで伸びた」
「右側の面で次の点と結んだ」

自分が何を根拠に線を引いたのか説明できれば、問題の形が変わっても対応しやすくなります。

切断を克服するために最初に身につけたい基本

同じ面にある2点を直線で結ぶ

切断問題で最初に行うことは、与えられた点のうち、同じ面にある2点を探すことです。

立方体には6つの面があります。正面、背面、上面、下面、左側面、右側面のどこに各点があるかを確認します。

同じ面に2点が見つかったら、その2点を直線で結びます。切断面と立方体の一つの面が交わる部分は、必ず一本の直線になるためです。

子どもが迷ったときは、保護者が「どの点を結ぶの？」と聞くより、「同じ面にある点はどれ？」と尋ねるとよいでしょう。答えを直接教えず、判断の基準に意識を向けられます。

向かい合う面では平行な線を意識する

立方体や直方体では、向かい合う面が平行です。そのため、一枚の切断面が平行な二つの面を横切ると、それぞれの面にできる交線も平行になります。

例えば、正面に引いた切断線と背面に引く切断線は、平行になる場合があります。この性質を使うと、見えない背面上の点を探しやすくなります。

ただし、最初から「とにかく平行線を引く」と覚えさせるのは危険です。どの面とどの面が向かい合っているのかを確認してから使う必要があります。

家庭学習では、立方体の向かい合う面を同じ記号で囲む練習をすると、平行関係を見抜きやすくなります。

切断面が通る辺を一つずつ確認する

切断面は、立体の中で突然途切れることはありません。ある面に引いた線が辺まで到達したら、その辺を共有する隣の面へ続きます。

したがって、一本の線を引いた後は「この線はどの辺にぶつかるか」「その辺の隣にはどの面があるか」と追っていきます。

この作業を繰り返すと、最後は最初の点に戻り、切断面が閉じた図形になります。

途中で線がつながらない場合は、最初に結んだ点や線を伸ばす方向が間違っている可能性があります。完成図を無理に作るのではなく、一つ前の面に戻って確認しましょう。

家庭でできる切断の段階別克服法

第1段階は模型を実際に切って確かめる

切断に強くなるには、最初に実物と図を結びつける経験が必要です。

家庭では、透明な立方体模型がなくても、豆腐、発泡スチロール、粘土、消しゴムなどで代用できます。立方体に近い形を作り、3点に印をつけて、平らな板や糸を当ててみましょう。

実際に切った断面を見ると、「外から見えない場所にも線が続いている」「三角形だと思ったら四角形だった」と気づけます。

ただし、模型だけで終わると図面上で解けるようにはなりません。模型を確認した後、同じ切断面を紙に描かせることが重要です。

第2段階は見える点と見えない点を分けて描く

立体の図では、手前の辺は実線、奥の見えない辺は点線で表されます。切断面も同じように、見える部分と見えない部分を区別すると整理しやすくなります。

最初は、見える面にできる線だけを実線で描かせましょう。その後、立体の奥側を通る線を点線で補います。

一度にすべて描こうとすると、線が重なって混乱します。「まず手前、次に横、最後に奥」という順番を決めると安定します。

また、元の立体が小さく印刷されている場合は、ノートに2倍程度の大きさで描き直すことも効果的です。小さな図の中で何度も線を消すより、正確に考えられます。

第3段階は切断面の形を予想してから解く

基本手順に慣れてきたら、線を引く前に断面の形を予想させます。

「三角形になりそう」
「4本以上の辺を通りそうだから四角形以上かもしれない」

予想は外れても構いません。大切なのは、どの辺を通りそうか考えることです。

例えば、切断面が立方体の3本の辺だけと交われば三角形になります。4本の辺と交われば四角形です。通る辺の本数と断面の頂点の数は対応します。

予想と実際の答えを比べることで、立体の中を面がどのように通っているのかを少しずつイメージできるようになります。

間違えた問題は翌日と1週間後に解き直す

切断は、解説を読んだその日にできても定着したとは限りません。

おすすめは、間違えた問題に印をつけ、翌日と1週間後の2回解き直す方法です。1回目は手順を思い出すため、2回目は自力で再現できるか確かめるために行います。

毎日大量に解く必要はありません。1回15分程度で、基本問題を2～3問扱う方が効果的です。

解き直しでは、同じ問題を眺めるだけでなく、何も書かれていない立体図に切断面を最初から描かせます。正解した場合も、「最初にどの面を見たか」を説明できれば、本当に理解できていると判断できます。

切断を克服するための親の教え方と声かけ

正解を教える前に「どの面を通るか」を聞く

家庭で教えるとき、保護者が完成した切断面を先に描いてしまうと、子どもは答えを写すだけになりやすいものです。

迷っているときは、次のように一段階ずつ問いかけます。

「この2点は同じ面にある？」
「引いた線はどの辺まで届く？」
「その辺の反対側にはどの面がある？」
「最後はどこにつながれば閉じる？」

質問を細かく区切ることで、子ども自身が次の一本を見つけられます。

保護者が切断を得意でなくても、答えを説明する必要はありません。解説と照らし合わせながら、手順を一緒に確認するだけでも十分です。

図が乱れているときは立体を大きく描かせる

切断問題で間違える原因は、理解不足だけではありません。線が重なり、どの点とどの点を結んだのか分からなくなることもあります。

図が乱れたときは、消しゴムで何度も修正させるより、新しい立体を大きく描かせましょう。

定規を使い、点にはA、B、Cなどの記号を書きます。切断面の線は元の辺より少し濃くすると見分けやすくなります。

きれいに描くこと自体が目的ではありません。考えるために必要な情報を整理することが目的です。図を大きく描くだけで正答できるなら、空間把握より作図の習慣に課題があったと分かります。

難問より基本問題の再現性を優先する

切断を早く克服しようとして、複数の立体を同時に切る問題や、体積比まで求める難問に進む必要はありません。

まずは立方体を一枚の平面で切り、断面の形を描く基本問題を安定させます。目安は、同じ難易度の問題を5問解いて4問以上、自力で正しく描ける状態です。

その後、断面の面積、切断後の立体の体積、相似や比を使う問題へ進みます。

基本の切断面が描けない状態で体積計算に進むと、どこで間違えたのか分からなくなります。急いで難問へ進むより、「同じ面の点を結ぶ」という基本動作を再現できることが、結果的には最短の克服法です。

まとめ

中学受験算数の切断を克服するために、最初から立体を頭の中で自由に回転させる必要はありません。

まずは、同じ面にある2点を見つけて直線で結び、線が到達する辺から隣の面へ進みます。向かい合う面の平行関係も利用しながら、切断面が閉じるまで一本ずつ確かめることが基本です。

家庭では、模型で実物を確認した後、紙の図に描き直す練習を取り入れましょう。間違えた問題は翌日と1週間後に解き直し、完成した形ではなく、線を引いた根拠を説明させます。

保護者は答えを先に教えるのではなく、「同じ面にある点はどれ？」「次はどの辺を通る？」と問いかけてください。

切断は、センスの有無で決まる単元ではありません。基本手順を小さく分けて繰り返せば、苦手な子でも少しずつ自力で断面を描けるようになります。