中学受験算数の集合算｜ベン図でわかる解き方とコツ

中学受験算数の集合算とは？まず基本を理解しよう

この記事では、中学受験算数の集合算について、基本的な考え方からベン図を使った解き方、間違いやすいポイント、家庭での教え方まで順を追って解説します。

集合算は、中学受験算数の中でも「計算自体は難しくないのに、なぜか間違える」子が多い単元です。

たとえば、

「サッカーが好きな人」
「野球が好きな人」
「両方好きな人」

の人数が与えられ、条件に当てはまる人数を求めます。

足し算や引き算そのものは小学校低学年でもできる内容ですが、どの人数を足し、どの人数を引くのかを整理できないと正解できません。

そのため集合算では、公式を覚えること以上に「人の重なりを図で見えるようにする力」が重要です。

集合算は、ある条件に当てはまる人や物をグループに分け、それぞれの人数や個数を求める問題です。

中学受験では、アンケートやクラブ活動、好きな教科、習い事などを題材にして出題されることがあります。

集合算は「条件に当てはまる人数」を整理する問題

たとえば40人のクラスで、

算数が好きな人……25人
理科が好きな人……20人
両方好きな人……10人

だったとします。

ここで、

25＋20＝45人

としてはいけません。

なぜなら「両方好きな10人」が、算数の25人にも理科の20人にも入っているからです。

そのまま足すと、この10人を2回数えてしまいます。

したがって、

25＋20－10＝35人

となり、算数または理科の少なくとも一方が好きな人は35人です。

集合算の基本は、この「重なっている人を二重に数えないこと」にあります。

「両方」と「少なくとも一方」の違い

集合算では言葉の意味を正確に理解する必要があります。

「両方好きな人」は、算数も理科も好きな人です。

一方、

「少なくとも一方が好きな人」

には、

算数だけ好き
理科だけ好き
両方好き

のすべてが含まれます。

この違いが分からないと、計算方法を知っていても間違えてしまいます。

家庭では、問題文を読んだときに、

「これはどの人たちのこと？」

と聞きながら整理するとよいでしょう。

集合算ではベン図を使うと整理しやすい

集合算では、2つの円を重ねた「ベン図」を使うと理解しやすくなります。

左の円を「算数が好きな人」、右の円を「理科が好きな人」とします。

2つの円が重なった部分が「両方好きな人」です。

先ほどの例なら、まず中央に10人と書きます。

算数が好きな25人の中には両方好きな10人が含まれているので、

25－10＝15人

が「算数だけ好きな人」です。

理科も同様に、

20－10＝10人

が「理科だけ好きな人」になります。

すると、

15＋10＋10＝35人

と図を見ながら求められます。

算数が苦手な子ほど、いきなり式を書かせず、まずベン図を完成させることが大切です。

集合算の基本的な解き方を例題で理解しよう

集合算では、問題文からどの数字をどこに書くかを判断することがポイントです。

基本問題で手順を確認しましょう。

2つの集合は「重なり」を最初に考える

例題です。

ある学校の6年生は50人います。

国語が好きな人は30人、算数が好きな人は28人、両方好きな人は15人です。

国語または算数の少なくとも一方が好きな人は何人でしょう。

まず、

国語30人＋算数28人＝58人

と考えます。

しかし両方好きな15人を2回数えているため、

58－15＝43人

となります。

答えは43人です。

ベン図を使う場合も、まず中央の「両方好きな15人」を書きます。

集合算では「重なりから先に処理する」と覚えると安定します。

どちらにも当てはまらない人数の求め方

では、先ほどの50人の中で、国語も算数も好きではない人は何人でしょう。

少なくとも一方が好きな人が43人なので、

50－43＝7人

です。

この7人は、2つの円の外側にいる人です。

集合算では、

全体
円の中
円の外

という関係を意識する必要があります。

親が教える場合は、

「クラス全員50人のうち、円の中には何人いる？」

と聞くと理解しやすくなります。

逆算する集合算の考え方

中学入試では、重なりの人数そのものを求める問題も出ます。

たとえば40人のクラスで、

サッカーが好きな人……24人
野球が好きな人……22人
少なくとも一方が好き……35人

だったとします。

両方好きな人を求めます。

24＋22＝46人

ですが、実際に少なくとも一方が好きな人は35人です。

つまり、

46－35＝11人

が2回数えられていたことになります。

したがって両方好きな人は11人です。

公式としては、

A＋B－両方＝少なくとも一方

ですが、丸暗記させるより、

「何人を2回数えている？」

と考えさせる方が応用が利きます。

3つの集合になるときの解き方と注意点

中学受験では、2つではなく3つの条件が登場する集合算もあります。

ここから一気に苦手になる子が増えます。

3つすべてに当てはまる部分から考える

たとえば、

算数が好き
国語が好き
理科が好き

という3つの円がある場合です。

3つの円の中央には、

「算数も国語も理科も好き」

という人が入ります。

3つの集合では、まず最も中心にある「3つすべてに当てはまる人数」から書き始めるのが基本です。

外側から書くと、重なっている人数を引き忘れやすくなります。

「AとBの両方」の意味を確認する

3つの集合で特に注意したいのが、

「算数と国語の両方が好きな人」

という表現です。

問題によっては、この人数の中に「算数・国語・理科の3つすべて好きな人」が含まれている場合があります。

たとえば、

算数と国語の両方が好き……12人
3教科すべて好き……5人

なら、

算数と国語だけ好きな人は

12－5＝7人

です。

ここを12人と書いてしまうと、後の計算がすべてずれてしまいます。

外側からではなく重なりの深い部分から埋める

3つの集合では、

3つすべて
↓
2つだけ
↓
1つだけ
↓
どれにも当てはまらない

という順番で人数を埋めると整理しやすくなります。

家庭で教えるときも、

「まず一番重なっているところはどこ？」

と聞いてください。

この順番を習慣にすると、複雑な問題でも落ち着いて処理できるようになります。

中学受験の集合算で間違える原因と家庭での教え方

集合算が苦手な子には、いくつか共通する特徴があります。

原因を見つければ、家庭での復習もしやすくなります。

数字だけで計算しようとしている

最も多いのが、ベン図を書かずに、

30＋25－10……

と頭の中だけで処理するケースです。

簡単な問題なら正解しても、条件が増えると混乱します。

集合算では「図を書くことも解答の一部」と考えてください。

ベン図を書き、数字を正しい位置に置いてから式を作ります。

「両方」を2回数えてしまう

集合算の典型的なミスです。

Aの人数とBの人数をそのまま足すと、AにもBにも入る人が2回数えられます。

そこで家庭では、

「この人は今、何回数えられている？」

と問いかけるのがおすすめです。

たとえば両方好きな人を指して、

「算数の人数にも入っている？」
「理科の人数にも入っている？」

と確認すると、なぜ1回引く必要があるのか理解しやすくなります。

問題文の条件をベン図に書き込む習慣をつける

集合算では、問題文を読んだだけで考えないことが大切です。

数字が出てきたら、

全体
A
B
AとB
どちらでもない

のどこに当てはまるか考えます。

親がすべて図を書いてしまうのではなく、

「この15人はどこに書く？」

と子どもに判断させましょう。

自分で数字を配置することが、そのまま読解練習になります。

答えより「どこを数えたか」を説明させる

正解した問題でも、

「どうして35人になったの？」

と聞いてみましょう。

「30＋20－15だから」

だけでは十分ではありません。

「両方好きな15人を2回数えているから1回引いた」

まで説明できれば、考え方を理解できています。

中学受験算数では、答えが合ったかだけでなく、理由を説明できるかを確認することが重要です。

まとめ｜集合算はベン図で重なりを整理すれば解きやすい

中学受験算数の集合算は、計算そのものより「重なりを正しく整理すること」が重要な単元です。

基本となる考え方は、

Aの人数＋Bの人数－両方に入る人数

です。

ただし、公式だけを暗記する必要はありません。

「なぜ両方の人数を引くのか」を理解することの方が大切です。

集合算を解くときは、

全体人数を確認する
↓
ベン図を書く
↓
重なっている部分から数字を書く
↓
それぞれだけに当てはまる人数を求める
↓
必要なら円の外側を求める

という順番を意識してください。

3つの集合が出てきても同じです。

最も重なっている「3つすべて」の部分から順番に埋めれば、数字を整理しやすくなります。

家庭で教えるときも、親が式を教えるより、

「この数字はベン図のどこ？」
「この人は何回数えている？」
「両方に入っている人はどこ？」

と質問する方が効果的です。

集合算は、一度ベン図の意味を理解すると急に解きやすくなる子も多い単元です。

逆に、図を書かずに数字だけを追い続けると、少し条件が変わっただけで混乱しやすくなります。

まずは簡単な2つの集合から、「重なりを1回だけ数える」という感覚を身につけましょう。

その基本が定着すれば、3つの集合や逆算する問題でも、自分で条件を整理して答えにたどり着けるようになります。