中学受験算数の約数を攻略｜基本から応用まで解説

中学受験算数の約数とは？まず基本を理解しよう

この記事では、中学受験算数の約数について、基本的な意味から最大公約数、約数の個数、入試でよく出る文章題まで順を追って分かりやすく解説します。

約数は、中学受験算数の整数分野で非常に重要なテーマです。

単に「12の約数を答えなさい」という問題だけではありません。

最大公約数、余りの問題、図形、数の性質など、さまざまな問題の土台になります。

そのため、約数を単なる暗記として覚えるのではなく、「なぜその数が約数になるのか」を理解しておくことが大切です。

約数は「割り切れる数」と考える

約数とは、ある整数を割り切ることのできる整数です。

たとえば12について考えてみます。

12÷1＝12
12÷2＝6
12÷3＝4
12÷4＝3
12÷6＝2
12÷12＝1

どれも余りなく割り切れます。

したがって、12の約数は、

1、2、3、4、6、12

です。

子どもが「約数って何？」と聞いてきたときは、難しい言葉を使わず、

「その数を余りなく割れる数だよ」

と説明すると理解しやすいでしょう。

また、どんな整数でも1とその数自身は必ず約数になります。

12なら1と12、30なら1と30です。

約数はペアで探すと漏れにくい

約数を全部書き出すときに、1から順番に割っていく方法もあります。

ただ、中学受験では数が大きくなることもあり、この方法では時間がかかります。

そこでおすすめなのが「かけ算のペア」で探す方法です。

たとえば36なら、

1×36
2×18
3×12
4×9
6×6

と考えます。

したがって36の約数は、

1、2、3、4、6、9、12、18、36

です。

この方法なら、約数が左右のペアになって見えるため、抜けを防ぎやすくなります。

家庭学習では「何×何で36になる？」と問いかけながら探すとよいでしょう。

倍数との違いを整理する

約数と倍数は、混同しやすい言葉です。

たとえば12の場合、

12の約数
→1、2、3、4、6、12

12の倍数
→12、24、36、48、60……

となります。

約数は基本的に数が有限ですが、倍数はどこまでも続きます。

また、

「3は12の約数」
「12は3の倍数」

というように、同じ関係を反対側から見ています。

ここをしっかり区別できると、整数問題の理解がかなり安定します。

約数問題で必ず身につけたい基本の解き方

約数をすべて求める方法

たとえば48の約数を求めてみましょう。

かけ算の組を探すと、

1×48
2×24
3×16
4×12
6×8

となります。

したがって、

1、2、3、4、6、8、12、16、24、48

が48の約数です。

ここで大切なのは、途中で適当に終わらせないことです。

「6×8まで来たから、次は8×6になって重複する」

と確認できれば、すべて探し終えたと判断できます。

この感覚がつくと、約数の書き漏らしが減ります。

公約数と最大公約数の考え方

2つ以上の数に共通する約数を「公約数」といいます。

たとえば12と18について考えます。

12の約数
1、2、3、4、6、12

18の約数
1、2、3、6、9、18

両方に共通するのは、

1、2、3、6

です。

これが公約数です。

その中で最も大きい6を「最大公約数」といいます。

最大公約数は、中学受験の文章題で非常によく使います。

特に、

「できるだけ大きく」
「同じ大きさに分ける」
「余りなく分ける」

といった表現が出てきたら、最大公約数を疑うのが基本です。

素因数分解を使って約数を整理する

数が大きくなると、約数を一つずつ探すより素因数分解した方が便利です。

たとえば72なら、

72＝2×2×2×3×3

つまり、

72＝2³×3²

と表せます。

この形にしておくと、約数の個数や最大公約数を考えやすくなります。

中学受験では、中学校数学のような難しい表記を必ず使う必要はありません。

ただ、

72
÷2
36
÷2
18
÷2
9
÷3
3
÷3
1

のように、小さい素数で順番に割っていく方法は身につけておくと便利です。

約数の個数を求める考え方

中学受験では、「約数を全部書く」のではなく「約数はいくつありますか」と聞かれることもあります。

たとえば72＝2³×3²です。

72の約数を作るとき、2は、

0個使う
1個使う
2個使う
3個使う

の4通りがあります。

3は、

0個使う
1個使う
2個使う

の3通りです。

したがって、

4×3＝12通り

となり、72の約数は12個あります。

つまり、

2³×3²

なら、

（3＋1）×（2＋1）＝12

と計算できます。

ただし、この公式だけを暗記させるのではなく、「何個使うかの選び方を数えている」と理解させることが重要です。

中学受験でよく出る約数の典型問題

できるだけ大きく同じ数ずつ分ける問題

たとえば、

「赤い玉24個と白い玉36個を、それぞれ余りが出ないように同じ数ずつ袋に分けます。1袋に入れる玉の数をできるだけ多くすると何個ですか」

という問題を考えます。

24と36の両方を割り切れる数を考えるので、公約数の問題です。

そのうち「できるだけ多く」とあるため、最大公約数を求めます。

24と36の最大公約数は12。

したがって、1袋に入れる数は12個です。

文章題では「最大公約数を求めなさい」と直接書いていない点がポイントです。

正方形に区切る問題

約数は図形問題にも登場します。

たとえば、

「たて24cm、横36cmの長方形を、同じ大きさの正方形に余りなく分けます。最も大きい正方形の一辺は何cmですか」

という問題です。

正方形の一辺の長さは、24と36の両方を割り切らなければなりません。

さらに「最も大きい」とあるので、最大公約数を使います。

24と36の最大公約数は12。

したがって、正方形の一辺は12cmです。

この問題では、

「余りなく」
＋
「最も大きい」

という言葉が最大公約数を使うサインになります。

余りが同じになる数を求める問題

少し応用になると、

「68と92をある整数で割ると、どちらも余りが4になりました。考えられる整数のうち最大のものを求めなさい」

という問題が出ます。

余りが4なので、まず4を引きます。

68－4＝64
92－4＝88

すると、求める整数は64と88の両方を割り切る数です。

つまり64と88の最大公約数を求めます。

最大公約数は8なので、答えは8です。

このタイプでは、

「同じ余りなら、その余りを引く」

という考え方が重要です。

約数の個数から整数を考える問題

難関校では、

「約数が3個ある整数を求めなさい」

のような逆向きの問題もあります。

たとえば4の約数は、

1、2、4

の3個です。

9なら、

1、3、9

の3個です。

実は約数が3個になる数は、

2²、3²、5²……

のような「素数の2乗」です。

このように約数の個数から元の数を考える問題は、単純な計算ではなく数の仕組みを理解しているかを問われます。

まず基本問題で約数を正確に書き出せるようになってから取り組むとよいでしょう。

約数が苦手な子におすすめの家庭学習法

九九から約数を探す練習をする

約数が苦手な子は、最初から大きな数を扱わない方がよいでしょう。

まず12、18、24、36程度の数から練習します。

たとえば24なら、

1×24
2×12
3×8
4×6

とペアを作ります。

九九を使える範囲から始めることで、約数を「割り算」ではなく「かけ算の組」として捉えやすくなります。

「なぜ割り切れるか」を言葉で確認する

答えだけを書かせるより、

「6は24の約数なのはなぜ？」

と聞いてみてください。

「24÷6＝4で余りがないから」

と説明できれば、意味を理解しています。

一方、「なんとなく」「表にあったから」という答えなら、まだ暗記に頼っています。

中学受験算数では、少し形を変えられただけで解けなくなることがあります。

自分の言葉で説明する練習が、応用力につながります。

最大公約数を文章題と結びつける

最大公約数を計算だけで練習していると、文章題で使う場面を判断できないことがあります。

そこで、

「余りなく分ける」
「同じ大きさ」
「できるだけ大きく」

という言葉と最大公約数をセットで覚えましょう。

家庭では、

「24個と36個を同じ数ずつ分けるなら？」

のように、日常的な場面に置き換えて問いかけるのも効果的です。

ミスしやすいポイントを固定して確認する

約数問題では、

・1を書き忘れる
・その数自身を書き忘れる
・約数と倍数を逆にする
・最大公約数なのに公約数をすべて答えてしまう

といったミスがよくあります。

問題を解いた後は、

「1と自分自身はある？」
「聞かれているのは約数？最大公約数？」

の2点を確認するだけでも、失点を減らせます。

難しい問題を増やすより、まず基本問題を正確に解ける状態を作ることが大切です。

まとめ｜約数は「割り切れる」と「共通」に注目する

中学受験算数の約数では、まず、

「約数＝その数を余りなく割り切れる数」

という基本を理解することが出発点です。

そのうえで、

・約数はかけ算のペアで探す
・2つの数に共通する約数が公約数
・最も大きい公約数が最大公約数
・「余りなく」「できるだけ大きく」は最大公約数のサイン

という流れを身につけていきましょう。

約数は、単独で出題されるだけでなく、図形、余り、整数の性質など多くの問題につながります。

だからこそ、公式だけを覚えるより、「なぜこの数で割れるのか」「なぜ最大公約数を使うのか」を言葉で説明できる状態を目指すことが重要です。

約数が苦手な子には、まず小さな数を使って、かけ算のペアをすべて見つける練習から始めてみてください。

基本が固まれば、最大公約数や応用問題もぐっと理解しやすくなります。