中学受験算数「葉っぱ型」の面積を攻略！公式と解き方

中学受験算数の「葉っぱ」とはどんな図形？

この記事では、中学受験算数でよく出る「葉っぱ型」の正体から、面積の基本的な求め方、公式の意味、応用問題への対応まで順番に解説します。

中学受験算数で「葉っぱ」と呼ばれるのは、正式な図形の名称ではなく、2本の円弧に囲まれた葉っぱのような形を指すことが一般的です。

典型的なのは、正方形の中に2つの4分の1円を描き、その重なった中央部分の面積を求める問題です。

見た目が特殊なので難しく感じますが、実際には新しい公式を使う図形ではありません。

使うのは、

円・扇形の面積
三角形の面積
正方形の面積

という基本だけです。実際の葉っぱ型も「扇形－三角形」を利用して求められます。

2つの円弧が重なってできる葉っぱ型

典型的な問題を考えてみましょう。

一辺10cmの正方形があり、向かい合う2つの頂点を中心として、それぞれ半径10cmの4分の1円を描きます。

すると、2つの円弧に挟まれた部分が葉っぱのような形になります。

子どもが最初につまずきやすいのは、

「葉っぱ型の面積の公式を知らない」

からではありません。

そもそも、

「この曲線はどの円の一部なのか」

が見えていないことが原因です。

円弧を見たら、まず円の中心を探す習慣をつけましょう。

正方形の一辺が円の半径になる

葉っぱ型では、正方形の頂点が円の中心になっていることがよくあります。

一辺が10cmなら、その頂点から隣の頂点まで10cmです。

したがって円の半径も10cmになります。

ここが分かれば、

半径10cm、中心角90度の扇形

が隠れていることに気づけます。

算数が苦手な子には、

「葉っぱを見ないで、まず4分の1円を探してみよう」

と声をかけるとよいでしょう。

複雑な図形を既知の図形へ戻すことは、中学受験の平面図形全体で重要な考え方です。

葉っぱ型は「半分」に分けると簡単になる

葉っぱ型を中央で半分に分けると、一方は、

4分の1円－直角二等辺三角形

になっています。

ここが最大のポイントです。

したがって、

葉っぱの半分
＝4分の1円－三角形

葉っぱ全体
＝（4分の1円－三角形）×2

と求められます。

葉っぱという見慣れない図形をそのまま計算するのではなく、「知っている図形の差」に変えるわけです。

葉っぱ型の面積の基本的な解き方

では、実際に数字を使って計算してみましょう。

一辺10cmの正方形の中にできる典型的な葉っぱ型を考えます。円周率は3.14とします。

扇形から三角形を引いて2倍する

まず半径10cmの4分の1円の面積を求めます。

10×10×3.14÷4
＝78.5㎠

次に、底辺10cm、高さ10cmの直角三角形の面積です。

10×10÷2
＝50㎠

したがって、

78.5－50
＝28.5㎠

これが葉っぱ型の半分です。

最後に2倍します。

28.5×2
＝57㎠

答えは57㎠です。

同じ考え方を使った葉っぱ型の基本例でも、「4分の1円－直角二等辺三角形」を求めて2倍する方法が示されています。

一辺10cmの葉っぱ型を実際に計算

計算の順序だけを見ると、

①4分の1円を求める
②三角形を求める
③引く
④2倍する

という4段階です。

家庭では、いきなり式を一本にまとめさせなくても構いません。

むしろ算数が苦手な子には、

「まず扇形はいくつ？」
「そこから何を取る？」
「今求めたのは葉っぱ全部？半分？」

と一段階ずつ確認したほうが理解しやすくなります。

途中で「28.5㎠」と出たときに、その数字が何を表しているのか言わせることも大切です。

「葉っぱの半分」

と答えられれば、図形と式がつながっています。

「0.57倍」の公式はなぜ成り立つ？

中学受験対策では、

「葉っぱ型の面積＝正方形の面積×0.57」

と覚える方法もあります。

実際、一辺10cmなら、

10×10×0.57
＝57㎠

で答えが出ます。葉っぱ型を正方形の面積の0.57倍として処理する方法も紹介されています。

では、なぜ0.57なのでしょうか。

一辺を1と考えます。

4分の1円は、

1×1×3.14÷4
＝0.785

三角形は、

1×1÷2
＝0.5

その差は、

0.785－0.5
＝0.285

葉っぱはこれが2つあるので、

0.285×2
＝0.57

となります。

つまり0.57は魔法の数字ではありません。

「4分の1円から三角形を引いて2倍した結果」です。

この意味まで理解してから覚えると、忘れても自分で作り直せます。

中学受験で出る葉っぱ型の応用問題

入試では、基本形をそのまま「葉っぱの面積を求めなさい」と聞くだけとは限りません。

葉っぱの周囲に色がついていたり、円が増えたりして、見た目を変えて出題されます。

葉っぱの外側を求める問題

よくあるのが、

「正方形の中で葉っぱ以外の部分を求めなさい」

という問題です。

一辺10cmなら正方形全体は、

10×10＝100㎠

です。

葉っぱ型が57㎠なので、

100－57＝43㎠

となります。

ここで大切なのは、葉っぱ型の公式をもう一つ覚えることではありません。

求めたい部分が、

全体－葉っぱ

になっていると見抜くことです。

図形問題では「直接求めにくければ、全体から引けないか」と考える習慣が役立ちます。

半円や複数の葉っぱが重なる問題

さらに難しくなると、

葉っぱ型が2個ある
半円と葉っぱ型が組み合わされている
同じ形が4個並んでいる

といった問題も出てきます。

この場合も、一度に全体を見ようとしないことです。

まず、

「同じ葉っぱが何個あるか」

を探します。

同じ形が4個なら、

1個分を求める
↓
4倍する

と考えられます。

中学受験図形では、複雑な形ほど「同じ形」「移動できる部分」「全体から引ける部分」を探すことが重要です。重なった円の面積でも、葉っぱ型を別の場所へ移して考える方法が使われます。

公式がそのまま使えない図形に注意

注意したいのは、葉っぱのように見えれば何でも0.57倍になるわけではないことです。

0.57が使えるのは、

正方形をもとにする
半径が正方形の一辺と同じ
90度の扇形が2つ重なる

という基本形です。

円の中心が違う、中心角が90度ではない、長方形の中に描かれている、といった場合はそのまま使えません。

「葉っぱに見えるから0.57」

ではなく、

「基本形と同じ構造だから0.57」

と判断させる必要があります。

葉っぱ型が苦手な子への家庭での教え方

葉っぱ型で点が取れない子に、公式を何度も書かせるだけでは根本的な改善にならないことがあります。

家庭では「図をどう見るか」を中心に教えましょう。

公式より先に中心と半径を探す

円弧が出てきたら、最初に聞きたいのは、

「この丸い線の中心はどこ？」

です。

次に、

「半径はどこ？」

と確認します。

中心と半径が分かると、円弧が4分の1円なのか、半円なのか判断できます。

葉っぱ型を「特殊な図形」として覚えるのではなく、

円
扇形
三角形

へ分解できるようにすることが重要です。

色を塗る代わりに「足す・引く」を言葉にする

算数が苦手な子には、式を書く前に、

「何から何を引けば、この部分になる？」

と聞いてみましょう。

葉っぱ型の半分なら、

「4分の1円から三角形を引く」

と言えれば十分です。

次に、

「それが何個ある？」

と聞きます。

「2個」

と答えれば、

（扇形－三角形）×2

という式が自然にできます。

式を先に暗記するより、「日本語→図→式」の順番で考えるほうが応用問題にも対応しやすくなります。

0.57は最後に覚えればよい

葉っぱ型の0.57倍は、入試で計算時間を短縮できる便利な知識です。

ただし、最初から、

「葉っぱ＝0.57」

だけを覚えさせるのはおすすめしません。

まず3～5問程度は、

4分の1円
↓
三角形
↓
差を求める
↓
2倍する

という基本手順で解かせます。

そのあと、

「毎回同じ計算になるね。まとめると0.57倍になるよ」

と教えると、公式と意味がつながります。

私は図形を教えるとき、「公式を忘れても戻れるか」を一つの理解度の目安にしています。

0.57を忘れても、扇形と三角形から57㎠を出せるなら、本当に理解できている状態です。

まとめ｜葉っぱ型は扇形と三角形に戻せば解ける

中学受験算数で登場する「葉っぱ型」は、一見すると公式を知らなければ解けない特殊な図形に見えます。

しかし、基本形の正体は、

4分の1円－直角二等辺三角形

を2つ合わせたものです。

したがって、

葉っぱ型の面積
＝（4分の1円の面積－三角形の面積）×2

で求められます。

一辺10cm、円周率3.14なら、

（78.5－50）×2
＝57㎠

です。

さらに基本形では、

正方形の面積×0.57

と短時間で計算することもできます。

ただし、中学受験で本当に大切なのは「0.57」という数字そのものではありません。

円弧を見て中心を探す。
半径を確認する。
扇形を見つける。
三角形との差を考える。

この一連の見方を身につけることです。

葉っぱ型が苦手なお子さんには、「この公式を覚えて」と言う前に、

「この丸い線は、どこを中心に描いた円かな？」

と聞いてみてください。

円の中心と半径が見つかれば、葉っぱ型はもう正体不明の図形ではありません。

扇形と三角形という、すでに習った図形に戻せます。

この「複雑な図形を知っている形に戻す力」が身につくと、葉っぱ型だけでなく、円の重なり、花びら型、色のついた部分の面積など、中学受験のさまざまな平面図形にも対応しやすくなります。