中学受験算数「等積変形」の解き方とコツ

中学受験算数の等積変形とは？基本を理解しよう

この記事では、中学受験算数の等積変形について、基本となる面積の考え方から典型問題、補助線の使い方、応用問題、家庭での教え方まで順を追って解説します。

等積変形とは、面積を変えずに図形の形だけを変える考え方です。

中学受験では、複雑な図形の面積を直接計算するのではなく、分かりやすい三角形や四角形に変えて求める問題がよく出ます。

見た目は大きく変わっても、面積が同じであれば計算は簡単になります。

等積変形は面積を変えずに形を変える考え方

例えば、三角形の一部を切り取り、別の場所へ移すことで、長方形や別の三角形に変える場合があります。

ここで大切なのは、切り取った部分を移動するだけなら、図形全体の面積は変わらないということです。

たとえば、底辺8cm、高さ5cmの三角形なら、

8×5÷2＝20㎠

です。

形を変えても、同じ面積になるように移動していれば20㎠のままです。

等積変形では、「どこを動かすか」より、「なぜ面積が変わらないか」を理解することが重要です。

同じ底辺・同じ高さなら三角形の面積は等しい

等積変形で最も重要な基本が、

同じ底辺と同じ高さをもつ三角形は面積が等しい

という関係です。

三角形の面積は、

底辺×高さ÷2

で求めます。

底辺と高さが同じなら、面積も必ず同じです。

例えば、底辺6cm、高さ4cmの三角形なら、

6×4÷2＝12㎠

です。

頂点が左右に移動しても、高さ4cmを保っていれば面積は12㎠のままです。

この性質を利用して、複雑な図形を別の形に変えて考えます。

平行線が等積変形の重要な手掛かりになる

図の中に平行な線がある場合は、等積変形を疑いましょう。

例えば、底辺ABを共通にする2つの三角形があり、頂点CとDがABと平行な直線上にあるとします。

このとき、CとDからABまでの高さは同じです。

したがって、

三角形ABC＝三角形ABD

という面積関係が成り立ちます。

中学受験の等積変形では、平行線が「高さが同じ」という条件を表していることが多いです。

等積変形の基本問題を例題で解説

等積変形は、図を実際に動かすイメージが大切です。

ここでは代表的なパターンを確認します。

三角形を別の三角形に移す問題

例題1：底辺ABを共通にする三角形ABCと三角形ABDがあり、CとDはABに平行な直線上にあります。三角形ABCの面積が30㎠のとき、三角形ABDの面積はいくつですか。

2つの三角形は底辺ABが共通です。

さらにCとDはABと平行な直線上にあるため、高さも同じです。

したがって、

三角形ABC＝三角形ABD

です。

答えは30㎠です。

計算をしなくても、底辺と高さが同じことから判断できます。

四角形を三角形に変える問題

四角形の一部を移して、1つの三角形にまとめる問題もあります。

例えば四角形ABCDがあり、対角線ACを引いたとします。

三角形ABCの一部と同じ面積の三角形を別の場所へ移せる条件があるなら、四角形全体をより単純な三角形へ変形できます。

このとき、元の四角形の面積を直接求める必要はありません。

「この三角形と同じ面積の三角形はどこか」を探し、面積を移して考えるのがポイントです。

複雑な図形の面積を簡単な形に変える問題

例題2：複雑な四角形の一部を移動すると、底辺10cm、高さ6cmの三角形になるとします。元の図形の面積はいくつですか。

等積変形なので、元の図形と変形後の三角形の面積は同じです。

したがって、

10×6÷2＝30㎠

です。

答えは30㎠です。

元の図形が複雑でも、変形後が単純なら計算は簡単です。

面積の差を利用する問題

等積変形では、「同じ面積を引けば、残りも同じ」という考え方も使います。

例えば、大きな三角形ABCと三角形ABDの面積が等しいとします。

両方から共通する三角形ABEを引けば、

三角形ABC－三角形ABE

と

三角形ABD－三角形ABE

も等しいです。

つまり、残った部分同士の面積も等しくなります。

この考え方は、影をつけた部分の面積を求める問題でよく使われます。

中学受験で差がつく等積変形の応用

入試では、単純に平行線が描かれているだけでなく、相似や面積比、動点と組み合わされることがあります。

補助線を引いて等しい面積を見つける

図形の中に等積関係が見えない場合は、補助線を引くことがあります。

例えば、四角形の対角線を引くと、2つの三角形に分かれます。

その結果、

「この2つは底辺が同じ」
「この頂点は平行線上にある」

という関係が見えてくることがあります。

補助線は何となく引くのではなく、

「同じ底辺を作れないか」
「同じ高さの三角形を作れないか」

と考えて引きましょう。

相似や面積比と組み合わせる

等積変形は、相似と一緒に使われることもあります。

例えば、相似な三角形で辺の比が2：3なら、面積比は4：9です。

さらに別の三角形と等積関係がある場合、

「この三角形の面積＝別の三角形の面積」

と置き換えることで、複雑な面積比を整理できます。

図形問題が難しくなるほど、

等積
相似
面積比

を単独で使うのではなく、組み合わせて考える必要があります。

動点問題で面積が変わらない場合を見抜く

点Pが平行線上を動く問題でも、等積変形の考え方が使えます。

例えば、底辺ABを固定し、点PがABに平行な直線上を動くとします。

三角形ABPは、点Pがどこに移動しても高さが変わりません。

したがって、面積も変わりません。

「点が動く＝面積も変わる」とは限らないのです。

動点問題では、

「底辺は変わっているか」
「高さは変わっているか」

をそれぞれ確認しましょう。

複数の図形をまとめて移動する

難しい問題では、一部分だけでなく、複数の三角形をまとめて移すことがあります。

このときは、一度に全部を見ると混乱します。

まず、

「この三角形をこちらへ移す」
「次にこの部分を補う」

と1段階ずつ考えます。

図に矢印を書きながら整理すると、どの部分が移動したのか分かりやすくなります。

等積変形が苦手な子への家庭での教え方

等積変形は、公式を覚えるだけでは得意になりにくい単元です。

家庭では、実際に図を動かす感覚を育てることが大切です。

公式ではなく「底辺と高さ」を確認する

子どもが、

「この2つの三角形は同じ面積」

と言ったら、

「どうして同じなの？」

と聞いてみましょう。

答えが、

「底辺と高さが同じだから」

なら、基本を理解しています。

一方、

「先生がそう言ったから」
「この形だから」

という答えなら、まだ暗記に頼っている可能性があります。

毎回、底辺と高さを確認する習慣をつけましょう。

紙を切って実際に動かしてみる

等積変形がイメージしにくい子には、紙を使う方法がおすすめです。

三角形や四角形を紙に描き、一部を切り取ります。

それを別の場所へ移して、

「形は変わったけれど、紙の量は変わっていない」

ことを確認します。

実際に動かすことで、「面積を保ったまま形を変える」という意味を感覚的に理解しやすくなります。

図に同じ高さを書き込む

図を見るだけで高さを判断できない場合は、垂線を書き込みます。

例えば、平行な2直線の間にある三角形なら、底辺から反対側の平行線までの高さを書きます。

その高さに同じ印を付けると、

「この2つは高さが同じ」

と分かりやすくなります。

慣れてきたら、実際に垂線を書かなくても見抜けるようになります。

基本図形から複合問題へ段階的に進む

学習順序は、

1. 同じ底辺・同じ高さの三角形
2. 平行線を使う等積問題
3. 面積の差を使う問題
4. 四角形の等積変形
5. 相似や面積比との複合問題

という流れがおすすめです。

基本問題で迷う状態なら、難しい入試問題へ進む必要はありません。

一度解説を読んだ問題は、翌日にも解き直し、

「どの底辺と高さが同じだったか」

を説明できるか確認しましょう。

まとめ｜等積変形は「同じ底辺・同じ高さ」を見抜こう

中学受験算数の等積変形は、面積を変えずに図形の形を変える考え方です。

中心となるのは、

同じ底辺・同じ高さをもつ三角形は面積が等しい

という性質です。

平行線がある場合は、高さが同じになる可能性が高いため、等積変形を使えないか考えてみましょう。

また、同じ面積の図形から共通部分を引けば、残った部分同士も同じ面積になります。

入試では、相似・面積比・動点と組み合わせて出題されることもあります。

家庭では、公式を覚えさせるのではなく、紙を切って動かしたり、図に高さを書き込んだりして、「なぜ面積が変わらないのか」を理解させることが大切です。

等積変形を得意にするコツは、図を無理に覚えることではなく、「底辺は同じか」「高さは同じか」を毎回確認することです。