中学受験算数の投票算とは？解き方を例題で解説

中学受験算数の投票算とは？まず基本を理解しよう

この記事では、そんな悩みに対して、中学受験算数の投票算とはどんな問題なのか、どこに注目すれば解けるのかを例題を使って順番に解説します。

「投票算」という名前を見ると、特殊な公式を覚えなければならないように感じるかもしれません。

しかし、本質はそれほど複雑ではありません。

大切なのは、

「何票あれば勝てるか」ではなく、「何票だとまだ落選する可能性があるか」

を考えることです。

この考え方が分かると、初めて見る投票問題にも対応しやすくなります。

投票算は、中学受験算数で出題される条件整理の問題の一つです。

たとえば、

「300人が投票して、得票数の多い2人が当選します。確実に当選するには最低何票必要ですか」

といった形で出題されます。

実際に2025年度の慶應義塾中等部では、300人が5人の候補者から2人を選ぶ設定で、「確実に当選するための最少得票数」を考える問題が出題されています。

投票算は「確実に当選する票数」を考える問題

まず理解しておきたいのが、「当選する」と「確実に当選する」は違うということです。

たとえば100票の選挙で上位2人が当選するとします。

Aさんが30票取った場合、

A：30票
B：25票
C：20票
D：15票
E：10票

ならAさんは当選します。

しかし、

A：30票
B：30票
C：30票
D：5票
E：5票

という票の分かれ方もあり得ます。

つまり30票では、「必ず上位2人に入る」とは言い切れません。

投票算で考えるのは、

ほかの票がどのように分かれても当選できる票数

です。

「当選できない最大」を考えるのがコツ

投票算で最も重要なのは、直接「当選できる最少」を考えないことです。

先に、

落選する可能性が残る最大の票数

を求めます。

そして、

その票数＋1票

とすれば、確実に当選できます。

たとえば上位2人が当選する選挙なら、自分以外に2人が自分以上の票を取れば、3位以下になる可能性があります。

そこで、

「自分を含めた3人ができるだけ多い票数で並ぶ」

場合を考えます。

この考え方が投票算の基本です。

投票算は条件整理の力が問われる

投票算は計算そのものが難しいというより、問題文の条件を言い換える力が必要です。

「確実に当選する」

という言葉を、

「落選する可能性がなくなる」

さらに、

「自分以上の得票数の人を、当選人数だけ作れなくなる」

と読み替えます。

中学受験専門塾の解説でも、投票問題ではこの「条件を言い換える力」が重要だと説明されています。

投票算の基本的な解き方を例題で理解する

ここからは実際の数字を使って考えてみましょう。

例題1｜44人から4人を選ぶとき何票必要？

44人のクラスで委員を4人選びます。

候補者の中から得票数の多い4人が委員になります。

1人1票投票するとき、確実に委員に選ばれるためには最低何票必要でしょうか。

答えは、

9票

です。

同じ条件の問題は、2025年度の青山学院横浜英和中学校でも出題されています。

考え方を確認しましょう。

4人が当選するので、自分が落選するためには、

自分以外に4人、自分以上の票を取る人がいる

可能性が必要です。

つまり、自分を含めて5人が同じ票数を取れる最大を考えます。

44÷5＝8あまり4

です。

8票なら、

8票、8票、8票、8票、8票

と5人に配っても40票で、まだ4票余ります。

つまり8票では、自分より上または同票の候補者が4人いる状況を作れます。

したがって、8票では当選確実とは言えません。

そこで、

8＋1＝9票

9票あれば、5人全員が9票以上取るには

9×5＝45票

必要です。

しかし投票総数は44票しかありません。

そのため9票取った人が5位以下になる状況は作れず、確実に上位4人に入れると考えます。

なぜ「全体÷当選人数」ではないのか

ここでよくある間違いがあります。

44人から4人を選ぶため、

44÷4＝11

としてしまうケースです。

しかし、これは「4人に均等に票が入った場合」を考えているだけです。

投票算では、

落選するために何人が自分以上の票を取る必要があるのか

を考えます。

4人当選なら、落選するには自分を含めて5人の争いになる必要があります。

したがって割る数は4ではなく、

4＋1＝5

です。

ここが投票算で最も重要なポイントです。

割り切れる場合と余りが出る場合の考え方

たとえば300票で上位2人が当選するとします。

落選する可能性を残すには、自分を含めて3人が同じ票数を取れる状況を考えます。

300÷3＝100

なので、100票では、

100票
100票
100票

という状態があり得ます。

この場合は3人が同票なので、「必ず上位2人」とは言い切れません。

そこで、

100＋1＝101票

あれば確実です。

基本的には、

総投票数÷（当選人数＋1）

を考え、その票数でも落選する可能性があるかを確認し、そこから1票多い状態を考えます。

ただし、実際の入試では途中経過や候補者ごとの得票数など条件が加わるため、この形だけを公式として丸暗記するのはおすすめできません。

開票途中の投票算はどう解く？

投票算が難しくなるのは、

「200票まで開票したところ……」

のように途中経過が与えられる問題です。

この場合も基本的な考え方は同じですが、現在の得票数を整理する必要があります。

まず当選が確定している人を外す

たとえば上位4人が当選する選挙で、開票途中に、

A：60票
B：50票
C：35票
D：30票
E：25票
F：20票

となっているとします。

残り票が少なく、Aさんにはもう4人が追いつけないのであれば、Aさんの当選は確定しています。

すると残る当選枠についてだけ考えればよくなります。

投票算では、すでに結果が決まっている候補者を整理することで、考える人数を減らせます。

残った候補者が同点になる状況を考える

次に、

「自分が落選するギリギリの状況」

を作ります。

ポイントは、自分より下の候補者がどれだけ票を集めれば追いつけるかです。

たとえばCが35票、Dが30票、Eが25票なら、

DがCに追いつくには5票
EがCに追いつくには10票

必要です。

残り票で両方がCに追いつけるなら、Cはまだ安全ではありません。

反対に、追いつくために必要な票数の合計が残り票を超えていれば、Cの当選が確定する可能性があります。

例題2｜残り票から当選確実になる票数を求める

より簡単な例で考えましょう。

上位2人が当選し、残り30票の時点で、

A：50票
B：40票
C：35票
D：20票

だったとします。

Aはかなり有利なので、まずBとCを中心に考えます。

CがBに追いつくには、

40－35＝5票

必要です。

残り30票あるため、Cが追いつくことは十分可能です。

つまりBは現時点では当選確実とは言えません。

このような途中開票型では、

1. 現在の得票数を並べる
2. 当選確実な人を確認する
3. 下位候補が追いつくための票数を求める
4. 残り票で同点や逆転が可能か考える

という順番に整理すると分かりやすくなります。

実際の投票算の解説でも、現在の得票数と残り票から「ほかの候補者が追いつけるか」を順番に検討する方法が使われています。

中学受験の投票算で間違えやすいポイントと家庭学習

投票算が苦手な子は、計算ができないというより、条件を頭の中だけで処理しているケースがよくあります。

家庭では次の点を意識してください。

「1位になる票数」を求めない

投票算では1位になる必要はありません。

問題が、

「上位4人が当選」

なら、4位以内に入ればよいのです。

ところが子どもは「選挙＝一番多い人が勝つ」と考えてしまい、

過半数
1位になる票数

を求めようとすることがあります。

まず、

「この問題では何位までなら当選？」

と確認させましょう。

同点になった場合まで考える

もう一つ多いのが、

「ほかの人より1票でも多ければいい」

と急いで判断することです。

投票算では、「確実に」という言葉が非常に重要です。

同点になったときの扱いが問題文で決まっていなければ、

同点では確実とは言えない

と考える必要があります。

そのため、「落選する可能性が残る最大票数＋1」という発想が役立ちます。

図や表を書いて候補者と票数を整理する

途中開票型になると、頭の中だけで考えるのは難しくなります。

たとえば、

候補者｜現在の得票
A｜42
B｜35
C｜31
D｜28

のような簡単な表を書きます。

さらに、

B→Aまであと7票
C→Aまであと11票

などと書き加えると、残り票との関係が見えます。

算数が苦手な子ほど、「考える前に書く」習慣をつけることが大切です。

公式暗記ではなく言葉で説明させる

投票算を、

「当選人数に1を足して割る」

とだけ覚えてしまうと、少し条件が変わった問題で止まります。

家庭で復習するときは、

「なぜ5人で分けて考えるの？」

と聞いてみてください。

子どもが、

「4人当選だから、落選するには自分以外に4人必要。だから自分を入れて5人」

と説明できれば、本質を理解しています。

答えを出せること以上に、その数を使った理由を説明できることを目標にしましょう。

まとめ｜投票算は「落選できる最大」を考えると解きやすい

中学受験算数の投票算は、投票数を使って当選確実になる条件を考える問題です。

難しく見えますが、基本となる考え方は一つです。

「最低何票なら当選するか」をいきなり考えず、「何票までならまだ落選する可能性があるか」を考える。

たとえば4人が当選するなら、

「自分以外に4人が自分以上になったら落選する」

と考えます。

つまり、自分を含めた5人に票をできるだけ均等に分けた状態を考えればよいわけです。

また、開票途中の問題では、

現在の票数を整理する
→当選確実な候補者を確認する
→下位候補が追いつくための票数を調べる
→残り票で同点・逆転できるか考える

という順番で進めます。

投票算は、単なる特殊算ではありません。

条件を言い換え、最も厳しい場合を想定して考える問題なので、場合の数や論理問題などにもつながる思考力を鍛えられます。

お子さんが投票算でつまずいたときは、公式を覚えさせる前に、

「この人が落選するとしたら、どんな票の分かれ方になる？」

と聞いてみてください。

この問いから考えられるようになると、複雑に見える投票算も整理して解けるようになります。