中学受験の算数「投影図」｜見方と解き方のコツ

中学受験算数の投影図とは？まず基本を理解しよう

この記事では、中学受験算数の投影図とは何か、どこでつまずきやすいのか、問題を解く順番と家庭でできる練習法まで、親子で理解できるように順を追って解説します。

投影図は立体を上・正面・横から見た図

中学受験算数でいう投影図とは、立体をある方向から見たときに、どのような形に見えるかを表した図です。

積み木を何個か積んだ立体を、

・上から見る
・正面から見る
・横から見る

と、それぞれ違う形に見えます。

たとえば、積み木を縦に3個積んだ場合、正面から見ると高さ3個分の長方形に見えます。

一方、上から見ると、見えるのは一番上の1個だけなので、1マスにしか見えません。

このように、見る方向によって同じ立体でも見え方が変わるのが投影図の基本です。

最初に子どもへ教えるときは、「投影図」という言葉を覚えさせるより、

「こっちから見たら、どんな形に見える？」

と問いかけるほうが理解しやすいでしょう。

見えているマスだけで立体を判断しない

投影図で特に注意したいのが、図に見えていない部分です。

たとえば正面から見て高さが3マスあったとしても、奥に積み木があるかどうかは、その図だけでは分かりません。

反対に上から見た図では、

「どの場所に積み木があるか」

は分かりますが、

「そこに何個積まれているか」

までは分かりません。

つまり、

上から見た図＝場所を確認する図
正面・横から見た図＝高さを確認する図

と役割を分けて考えることが大切です。

投影図が苦手な子は、1枚の図だけですべてを判断しようとする傾向があります。

複数の図を照らし合わせる意識をつけましょう。

中学受験では積み木問題と組み合わせて出る

中学受験では、単に「正面から見た図を書きなさい」だけでなく、積み木の個数を求める問題として出題されることがあります。

たとえば、

「上から見た図、正面から見た図、右から見た図が次のようになるとき、積み木は最少で何個必要ですか」

という問題です。

さらに、

「最も多い場合は何個か」

と聞かれることもあります。

ここでは立体を想像する力に加えて、

・必要な場所を漏れなく確認する
・高さの条件をそろえる
・最小と最大を区別する

力が必要になります。

そのため投影図は、立体図形の中でも差がつきやすいテーマです。

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投影図の問題でつまずく3つの原因

平面図と立体を頭の中で結びつけられない

最も多いのが、紙に描かれた平面図から立体を想像できないケースです。

大人には簡単に見えても、小学生にとって、

「上から見た図と正面から見た図を同時に考える」

ことは意外に難しいものです。

特に立体図形に慣れていない子は、

「正面図のこの3マスが、実際のどの位置なのか」

が分からなくなります。

この段階では、無理に頭の中だけで考えさせる必要はありません。

実際に積み木を並べて、

「今、正面から見るとこう見える」

と確認したほうが早く理解できます。

隠れている積み木を忘れてしまう

投影図では、手前の積み木の後ろに別の積み木が隠れることがあります。

たとえば正面から見て高さが2でも、

手前に2個積まれているのか、
奥に2個積まれているのか、
両方に積まれているのか

は、正面図だけでは判断できません。

ここで上から見た図を組み合わせます。

上から見た図に2つのマスがあれば、

「手前にも奥にも少なくとも1個ずつある」

ことが分かります。

投影図では、見えている部分より見えていない部分を考えることが重要です。

最大・最小の個数を同じように考えてしまう

中学受験の投影図では、

「積み木の最少個数」
「積み木の最大個数」

を求める問題があります。

この2つでは考え方が違います。

最少の場合は、

投影図の条件を満たす最低限だけ積む

必要があります。

最大の場合は、

条件を壊さない範囲でできるだけ高く積む

と考えます。

この違いを理解せず、何となく積み木を置いていると個数が合いません。

問題文に「最も少ない」「最も多い」と書いてあったら、最初に丸で囲む習慣をつけるとミスを減らせます。

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中学受験の投影図を解く手順とコツ

まず上から見た図で場所を確定する

投影図の問題では、最初に上から見た図を見るのがおすすめです。

上から見た図から分かるのは、

積み木が置かれている場所

です。

たとえば上から見た図が6マスなら、少なくとも6か所には積み木があります。

この時点で、

「積み木は最低でも6個以上」

と判断できます。

まず平面上の配置を決めてから、高さを考えると整理しやすくなります。

正面図と側面図から高さを読み取る

次に正面図と横から見た図を確認します。

正面から見て高さ3なら、その方向に並んでいる積み木のうち、少なくともどこか1列は高さ3でなければなりません。

同じように横から見て高さ2なら、その列のどこかが高さ2になっている必要があります。

ここで大切なのは、

「全部を同じ高さにする必要はない」

ということです。

たとえば1列に3か所積み木があって正面から高さ3に見えるなら、

1個・1個・3個

でも、

3個・2個・1個

でも、正面から見た最大の高さは3になります。

この「その列で一番高いところが見える」という考え方が投影図のポイントです。

最小個数は必要な積み木だけ置く

最少個数を求めるときは、高さをなるべく重ねて条件を満たします。

たとえば、

正面から見ると高さ3
横から見ると高さ3

という条件があった場合、別々の場所に高さ3を2本作るより、可能であれば同じ場所に高さ3を作ったほうが積み木の個数を減らせます。

つまり最小では、

1つの高い柱に複数の条件を担当させる

イメージです。

「この高さ3は、正面と横の両方の条件を同時に満たせないかな？」

と考えると、余分な積み木を減らしやすくなります。

最大個数は高さの上限まで埋める

最大個数では逆の考え方です。

各場所について、

「ここは何個まで積んでも投影図が変わらないか」

を考えます。

たとえば正面から高さ3、横から高さ2と見える場所なら、その位置には3個まで積めるとは限りません。

両方の条件を満たす必要があるため、許される高さは小さいほうに制限されることがあります。

最大を求めるときは、

正面から許される高さ
横から許される高さ

の両方を確認し、低いほうを上限にするのが基本です。

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家庭でできる投影図の教え方と練習法

積み木や箱を使って実物と図を一致させる

投影図が苦手な子に最も効果的なのは、実物を使うことです。

市販の積み木でなくても、

・サイコロ
・小さな箱
・同じ大きさの消しゴム

などで代用できます。

たとえば積み木を、

手前：1個
中央：3個
奥：2個

と積み、

「正面から見ると高さはいくつ？」
「上から見ると何マス？」

と聞いてみます。

実物を見ながら答えることで、紙の図と立体の関係がつながっていきます。

子ども自身に3方向の図をかかせる

見るだけでなく、子ども自身に投影図をかかせる練習もおすすめです。

親が適当に積み木を並べ、

「上から」
「正面から」
「右から」

の3方向を方眼紙にかかせます。

その後、実際に積み木を見る位置を変えて答え合わせをします。

この練習では、

立体→平面図

への変換ができます。

慣れてきたら逆に、

平面図→立体

を作らせると、さらに理解が深まります。

1日5分でも「見る方向」を変える練習をする

投影図は、一度に大量の問題を解くより、短時間でも繰り返し立体を見るほうが効果的です。

たとえば1日5分、

1日目：上から見る
2日目：正面から見る
3日目：横から見る
4日目：3方向を組み合わせる

という形でも構いません。

保護者は答えを教えるより、

「今どこから見ている？」
「奥にある積み木は見える？」
「この高さはどの場所？」

と質問してください。

投影図は公式を覚えて解く単元ではありません。

見る方向を変えながら、頭の中で立体を動かす経験がそのまま実力につながります。

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まとめ｜投影図は暗記より立体を動かして考えよう

中学受験算数の投影図は、立体を上・正面・横などから見たときの形を考える問題です。

基本は、

上から見た図で「場所」
正面・横から見た図で「高さ」

を確認することです。

そして積み木の個数を求める問題では、

最少個数＝条件を満たす最低限
最大個数＝条件を壊さない上限まで積む

と考えます。

投影図が苦手な子は、算数そのものが苦手というより、紙に描かれた図と実際の立体がまだ頭の中でつながっていないことが少なくありません。

そのため、家庭ではいきなり難問を繰り返すより、

積み木を作る→見る方向を変える→投影図をかく

という体験から始めるのがおすすめです。

「上から見るとどう見える？」と問いかけながら、実際に立体を回してみるだけでも立派な学習になります。

慣れてきたら、

「この3枚の投影図になる積み木を作ってみよう」

と逆向きの問題にも挑戦してみましょう。

立体を実際に動かして考える経験を積むことで、少しずつ頭の中だけでも形を組み立てられるようになります。

投影図は公式暗記で乗り切る単元ではありません。

「どこから見ているか」を常に意識すること。

これが、中学受験の投影図を得意にする第一歩です。