中学受験算数「跳ね返り」の解き方｜点の移動を攻略

中学受験算数の「跳ね返り」とはどんな問題？

この記事では、中学受験算数の「跳ね返り」でつまずく理由から、基本の解き方、応用問題、家庭での教え方まで順を追って解説します。

中学受験算数でいう「跳ね返り」は、点や人などが一定の区間を進み、端まで着いたら向きを変えて戻る問題です。

教材によっては「折り返し」「往復」「点の移動」と表現されることもあります。

一見すると普通の速さの問題ですが、跳ね返った瞬間に進行方向が逆になるため、子どもは「何cm進んだか」と「今どこにいるか」を混同しやすくなります。

端まで進んだら反対向きに進む問題

たとえば、A地点とB地点が12cm離れており、点PがAからBへ毎秒3cmで進むとします。

Bまでにかかる時間は、

12÷3＝4秒

です。

4秒後にBへ着いた点Pは、そこで止まるのではなくAの方向へ跳ね返ります。

したがって、

5秒後にはBから3cm戻った場所、
6秒後にはBから6cm戻った場所

にいます。

ここで「6秒間に18cm動いたからAから18cmの位置」と考えてはいけません。

区間自体は12cmしかないため、端に着いた後の動きを折り返して考える必要があります。

「動いた距離」と「今いる位置」は違う

跳ね返り問題で最も重要なのが、

動いた距離と現在位置を分ける

ことです。

先ほどの例で点Pが毎秒3cmの速さで6秒動けば、移動距離は、

3×6＝18cm

です。

ところが、点Pの位置はAから18cmではありません。

A→Bで12cm進み、残り6cmをB→Aの方向へ戻っているため、

Aからは、

12－6＝6cm

の位置です。

中学受験では、この違いを理解しているだけでも跳ね返り問題がかなり整理しやすくなります。

跳ね返る瞬間を区切ると考えやすい

点の動きを頭の中だけで追い続けると、2回目、3回目の跳ね返りで混乱します。

そこで、

「端に着いた時刻」

を区切りとして考えます。

AとBの距離が12cm、毎秒3cmなら、

4秒後→B
8秒後→A
12秒後→B
16秒後→A

です。

このように書くと、4秒ごとに端へ着き、8秒で1往復していることが分かります。

難しい問題ほど、最初にこの「節目」を整理することが重要です。

算数の跳ね返り問題の基本的な解き方

跳ね返り問題は、点を1秒ずつ追いかける必要はありません。

基本は、

端までの時間→往復の周期→残った時間

の順に考えます。

まず端まで何秒かかるか求める

例題を考えます。

A、Bの距離は20cmです。点PがAから毎秒4cmで出発し、AとBの間を何度も跳ね返りながら進みます。13秒後、点Pはどこにいるでしょうか。

まずAからBまでにかかる時間は、

20÷4＝5秒

です。

したがって、

5秒後→B
10秒後→A

となります。

13秒後は、Aに戻った10秒後からさらに3秒進んだ状態です。

3秒間に進む距離は、

4×3＝12cm

なので、

13秒後の点PはAから12cmの位置

となります。

最初から13秒分の52cmを処理するより、跳ね返る時刻で区切るほうが分かりやすいでしょう。

往復の長さを1周期として考える

跳ね返りが何度も続く場合は、「1往復」を1周期として考えるとさらに速く解けます。

A、B間が20cmなら、

A→B→A

で、

20×2＝40cm

進むと元のAへ戻ります。

先ほどの13秒間では、

4×13＝52cm

進みます。

52÷40＝1あまり12

です。

40cm分は1往復なので、位置はAに戻ります。

そこから残り12cm進むため、Aから12cmの位置です。

時間で考えても距離で考えても同じ答えになります。

子どもが理解しやすいほうを使って構いません。

余りから最後の位置を判断する

もう一つ例を見てみましょう。

A、B間が15cmで、点Pが毎秒2cmでAから進みます。20秒後の位置を求めます。

20秒間に進む距離は、

2×20＝40cm

です。

1往復の距離は、

15×2＝30cm

なので、

40÷30＝1あまり10

となります。

30cm進んだ時点で点PはAへ戻っています。

残り10cmをBに向かって進むため、

Aから10cm

が答えです。

もし余りが20cmならどうでしょうか。

15cmでBまで行き、さらに5cm戻るため、

15－5＝10cm

となります。

つまり余りを出したあと、

「片道の長さを超えているか」

を見ることが重要です。

中学受験で出る跳ね返りの応用問題

入試では単に位置を求めるだけでなく、跳ね返る回数や2点の出会い、面積変化などと組み合わせて出題されます。

ただし、基本は同じです。

何回跳ね返ったかを求める問題

A、B間が18cmで、点Pが毎秒3cmで30秒動くとします。

点Pが進んだ距離は、

3×30＝90cm

です。

端から端まで18cm進むたびに1回跳ね返るため、

90÷18＝5

となります。

したがって30秒後までに、点Pは5回端へ到達しています。

ただし、「30秒より前に跳ね返った回数」と聞かれた場合などは、ちょうど最後に端へ着く時刻を数えるかどうかに注意が必要です。

問題文の「まで」「間」「後」といった言葉まで丁寧に確認しましょう。

2つの点が動いて出会う問題

跳ね返り問題では、点Pと点Qが同時に動くこともあります。

たとえばA、B間が24cmで、

点PはAから毎秒2cm、
点QはBから毎秒4cm

で向かい合って進むとします。

最初に出会うまでは通常の旅人算なので、

24÷（2＋4）＝4秒

です。

4秒後に出会います。

難しくなるのは、その後も両方が端で跳ね返り続ける場合です。

このとき最初からすべてを追うのではなく、

「Pが端に着く時刻」
「Qが端に着く時刻」

を別々に整理します。

動く点が2つある問題でも、1点ずつ整理してから重ねるのが鉄則です。

図形の辺上を動く点と面積問題

中学受験では、長方形や三角形の辺上を点が動き、その点を頂点とする図形の面積を求める問題もあります。

点の移動と図形が組み合わさった典型問題です。

このタイプでも重要なのは、点が頂点に着く時刻です。点が図形の頂点に来ると、進む辺が変わり、面積の増え方や減り方も変化します。点の移動とグラフでは、動く点が頂点に来る場面を区切って考えることが基本になります。

そのため、

「何秒後に頂点へ着くか」

を最初にすべて書き出してから面積を考えると、複雑な問題でも整理しやすくなります。

跳ね返りが苦手な子に家庭でできる教え方

跳ね返り問題を苦手にする子の多くは、速さの計算そのものではなく、「向きが変わる様子」を頭の中だけで処理しようとしています。

家庭では、動きを目で見える形に変えてあげましょう。

数直線を書いて動きを見える化する

たとえばA、B間が12cmなら、

A────────B
0　　　　　　12

という簡単な線を書きます。

そして、

A→B
A←B

と矢印を書くだけでも十分です。

「Bに着いたら矢印の向きが反対になる」

と確認します。

答えを教える前に、鉛筆の先を点Pに見立てて実際に線の上を動かしてみるのも効果的です。

端に着く時刻を先に書き込む

毎秒3cm、A、B間が12cmなら、

4秒→B
8秒→A
12秒→B
16秒→A

と最初に書きます。

たとえば「14秒後は？」と聞かれたら、

12秒後にBにいる
↓
そこから2秒戻る
↓
3×2＝6cm戻る

と考えられます。

14秒間すべてを頭の中で追う必要はありません。

この方法は、算数が苦手な子ほど効果を感じやすい整理方法です。

「進んだ距離＝位置」にしない練習をする

家庭でぜひ確認してほしいのが、

「18cm進んだら、今いる場所もAから18cm？」

という問いです。

子どもが「そう」と答えたら、跳ね返りの意味がまだ曖昧です。

たとえばA、B間が10cmなら、

15cm進んだ場合は、

AからBまで10cm
＋
Bから5cm戻る

ので、現在地はAから5cmです。

このような短い問題を2～3問繰り返すだけでも、

移動距離と現在位置は別

という感覚が定着していきます。

難問を大量に解くより、まずこの違いを確実に理解させることが大切です。

まとめ｜跳ね返りは往復を1周期と考えると解きやすい

中学受験算数の「跳ね返り」は、点が端まで進んだあとに向きを変えるため、普通の速さの問題より複雑に見えます。

しかし、押さえるポイントはそれほど多くありません。

まず、

片道に何秒かかるか

を求めます。

次に、

どの時刻に端へ着くか

を書き出します。

何度も往復する問題なら、

A→B→Aを1周期

として考えましょう。

そして最後に残った時間や距離だけを処理すれば、点の位置を簡単に求められます。

特に注意したいのは、

「進んだ距離」と「現在位置」は同じではない

という点です。

たとえば10cmの区間を15cm進めば、現在位置は15cm地点ではなく、端まで10cm進んで5cm戻った場所になります。

家庭で教えるときは、式を先に説明するより、

「最初にどちらへ進む？」
「何秒で端に着く？」
「端に着いたら次はどちら向き？」
「今まで全部で何cm動いた？」
「では、今どこにいる？」

と順番に質問してみてください。

子ども自身が動きを言葉にできるようになると、点が2つ動く問題や、図形の辺上を動く問題にも対応しやすくなります。

跳ね返り問題は、特殊な公式を暗記する単元ではありません。

動きを区切ること、往復を周期として見ること、現在位置を最後に考えること。

この3点を意識して練習すれば、中学受験算数の複雑な点の移動問題にも落ち着いて取り組めるようになります。