中学受験算数の素因数分解｜やり方と使い方

中学受験算数の素因数分解とは？まず意味を理解しよう

この記事では、中学受験算数で使う素因数分解の意味から具体的なやり方、入試問題への応用、家庭での教え方まで順を追って解説します。

「素因数分解」という言葉を聞くと、中学校の数学のように感じる保護者もいるかもしれません。

しかし中学受験算数では、約数・倍数・平方数・整数問題などを考える場面で、数を素数のかけ算に分ける考え方が役立ちます。

大切なのは難しい用語を覚えることではありません。

例えば60という数を、

60＝2×2×3×5

と分解し、「60がどんな数からできているのか」を見えるようにすることです。

これが分かると、約数の個数や最小公倍数など、それまで面倒だった問題が整理しやすくなります。

素数とは1と自分自身だけで割り切れる数

素因数分解を理解する前に、「素数」を確認しましょう。

素数とは、1より大きい整数のうち、

1と自分自身以外では割り切れない数

のことです。

代表的なのは、

2、3、5、7、11、13、17、19……

です。

例えば7は、1と7でしか割り切れないので素数です。

一方、6は、

6＝2×3

と分けられるので素数ではありません。

なお、1は素数ではありません。

ここは中学受験でも混乱しやすいので、「素数は2から始まる」と覚えておくとよいでしょう。

素因数分解は整数を素数のかけ算に分けること

素因数分解とは、ある整数を素数だけのかけ算に分けることです。

例えば12なら、

12＝2×6
　＝2×2×3

となります。

最後に残った2、2、3はすべて素数なので、ここで終了です。

別の例として90なら、

90＝2×45
　＝2×3×15
　＝2×3×3×5

です。

つまり90は、

2、3、3、5

という素数をかけ合わせた数だと分かります。

素因数分解は、数字を「材料」まで分解する作業だと説明すると、小学生にも伝わりやすくなります。

中学受験では「素因数分解」という言葉を知らなくても使う

中学受験では、学校や教材によって「素因数分解」という名称を前面に出さない場合もあります。

それでも、

約数はいくつあるか
ある数を平方数にするには何をかけるか
最大公約数を求める
最小公倍数を求める

といった問題では、同じ考え方を使います。

つまり、「素因数分解という用語を暗記したか」ではなく、「数を素数の積に分けて考えられるか」が大切です。

中学受験算数で使える素因数分解のやり方

小さい素数から順番に割っていく

素因数分解では、小さい素数から順番に割るとミスが減ります。

例えば120を分解してみましょう。

120÷2＝60
60÷2＝30
30÷2＝15
15÷3＝5
5÷5＝1

したがって、

120＝2×2×2×3×5

となります。

最初は、

2、3、5、7……

の順番で「割れるかな？」と確認すれば十分です。

慣れるまでは頭の中だけで処理させず、割り算を縦に書いていくと分かりやすくなります。

同じ素数が何個あるか整理する

素因数分解では、同じ素数が何回出てくるかが重要です。

例えば72なら、

72＝2×2×2×3×3

です。

ここで、

2が3個
3が2個

あることに注目します。

中学校以降では指数を使って簡潔に表しますが、中学受験算数では「2が3個、3が2個」と理解できれば問題ありません。

この個数が、後で約数の個数を求めるときに役立ちます。

よくある間違いは合成数を残してしまうこと

子どもがよくする間違いが、

36＝4×9

で終わってしまうことです。

4も9も素数ではありません。

さらに分けて、

4＝2×2
9＝3×3

とする必要があります。

したがって、

36＝2×2×3×3

です。

家庭では最後に、

「残っている数は全部素数？」

と確認させる習慣をつけましょう。

この一言だけでも途中で分解をやめるミスを減らせます。

素因数分解が中学受験で役立つ代表問題

約数の個数を求める問題

素因数分解が特に便利なのが、約数の個数を求める問題です。

例えば、

72＝2×2×2×3×3

とします。

72の約数を作るとき、2は

0個使う
1個使う
2個使う
3個使う

の4通りです。

3は、

0個使う
1個使う
2個使う

の3通り。

したがって約数の個数は、

4×3＝12個

となります。

すべての約数を書き出すより、はるかに速く求められます。

ただし、仕組みを理解せず「個数に1を足してかける」とだけ暗記させるのは避けましょう。

なぜ4通りと3通りになるのかを説明できることが重要です。

最小公倍数・最大公約数を考える問題

例えば12と18を素因数分解すると、

12＝2×2×3
18＝2×3×3

です。

最大公約数では、両方に共通している

2×3＝6

を取ります。

最小公倍数なら、両方を作るのに必要な材料をすべてそろえて、

2×2×3×3＝36

となります。

数字が大きくなるほど、倍数を何個も書き出すより素因数に分けた方が整理しやすくなります。

平方数を作る問題

中学受験でよくあるのが、

「ある整数に最小の整数をかけて平方数にしなさい」

という問題です。

例えば72なら、

72＝2×2×2×3×3

です。

同じ素数が2個ずつペアになると、

2×2
3×3

のように平方を作れます。

ところが2が1個余っています。

そこで、もう1つ2をかければ、

72×2＝144

となり、

144＝12×12

という平方数になります。

答えは2です。

このタイプの問題では、「同じ素数を2個ずつそろえる」と考えると小学生にも理解しやすくなります。

整数・余り・規則性の難問にもつながる

素因数分解は、単純な計算方法だけではありません。

難度が上がると、

何個の約数を持つ数か
ある条件を満たす整数を探す
何乗するとある数で割り切れるか

など、数の性質を考える問題にも使われます。

特に難関校では、公式をそのまま使うより、「この数はどの素数からできているのか」を見抜くことが解法の入口になる場合があります。

だからこそ、小5・小6で数の性質を学ぶ際には、素因数分解を単なる作業として終わらせないことが大切です。

素因数分解が苦手な子への家庭での教え方

まず2・3・5・7の倍数を見抜けるようにする

素因数分解が遅い子は、「何で割ればいいのか」が分からず止まっていることがあります。

まず、

偶数なら2
各位の数字の和が3の倍数なら3
一の位が0か5なら5

という基本を確認しましょう。

例えば138なら偶数なので、まず2で割れます。

138÷2＝69

69は、

6＋9＝15

なので3で割れます。

こうした判断ができるだけで、分解のスピードは大きく上がります。

樹形図のように分解してもよい

割り算形式が分かりにくい子には、数を枝分かれさせる方法もおすすめです。

例えば84なら、

84
→12×7
→3×4×7
→3×2×2×7

と分けていきます。

最終的に、

2×2×3×7

と、すべて素数になれば完成です。

途中の分け方は、

84＝2×42

から始めても構いません。

どの道を通っても、最後には同じ素数の組み合わせになります。

この経験は、「分け方が違っても答えは同じ」という数の面白さにもつながります。

暗記より「これ以上分けられない」を確認する

家庭で素因数分解を教えるとき、手順だけを暗記させないことが重要です。

例えば45を、

45＝5×9

まで分けた子に、すぐ「違う」と言うのではなく、

「9はもう分けられないかな？」

と聞いてみます。

9＝3×3

と気づけば、

45＝3×3×5

になります。

「最後は全部素数になる」というゴールを理解できれば、途中で止まるミスは自然に減ります。

1日5問程度で正確さを身につける

素因数分解だけを30分、1時間と練習する必要はありません。

例えば、

24
36
60
84
150

のような5問を1日分にしても十分です。

最初は正確に分解できることを優先し、慣れてきたら約数や平方数の問題と組み合わせます。

おすすめの流れは、

素因数分解2～3問
↓
約数の個数1問
↓
平方数1問

です。

「分解して終わり」にせず、何のために使うのかまで経験すると、中学受験算数の道具として定着しやすくなります。

まとめ｜中学受験算数の素因数分解は数の性質を理解する武器になる

中学受験算数で使う素因数分解とは、整数を素数だけのかけ算に分けることです。

例えば60なら、

60＝2×2×3×5

となります。

最初は単純な分解作業に見えますが、実際には、

約数の個数
最大公約数
最小公倍数
平方数
整数問題

など、数の性質を扱う多くの問題につながっています。

素因数分解が苦手な子には、難しい問題を増やす前に、

2・3・5・7で割れるか確認する
小さい素数から順番に割る
最後に全部素数になっているか確認する

という3点を徹底しましょう。

また、「公式として覚える」だけでは応用が利きません。

72＝2×2×2×3×3なら、

「2が3個、3が2個ある」

と数の中身を見られるようにすることが大切です。

そこから、

「2をもう1個加えれば全部ペアになる」
「2は0～3個使えるから4通り」

という考え方へつながります。

中学受験算数では、数の性質の問題ほど、仕組みを理解した子が強くなります。

素因数分解も「難しい中学数学の先取り」と考える必要はありません。

数を小さな材料へ分けて観察する方法として身につければ、約数・倍数から難関校の整数問題まで幅広く役立つ武器になります。