中学受験算数の直角三角形｜入試で使える解き方のコツ

中学受験算数で直角三角形が重要な理由

この記事では、中学受験算数の直角三角形について、基本事項から入試問題での見つけ方・解き方、家庭でできる練習方法まで順番に解説します。

直角三角形そのものは、小学校算数でも早い段階で学ぶ図形です。

ところが中学受験では、単に「面積を求めなさい」で終わるとは限りません。

二等辺三角形、正三角形、相似、面積比、図形の移動などと組み合わされ、「隠れている直角三角形に気づけるか」が問われます。

つまり直角三角形は、ひとつの単元というより、図形問題を解くための重要な道具なのです。

中学受験の平面図形では、直角三角形を見つけるだけで問題が急に解きやすくなることがあります。

まずは、なぜ重要なのかを整理しましょう。

直角三角形はさまざまな図形問題の土台になる

直角三角形は、

・角度
・面積
・相似
・図形の分割
・面積比
・点の移動

など、多くの問題に登場します。

たとえば長方形に対角線を1本引けば、2つの直角三角形ができます。

正方形でも同様です。

台形や複雑な多角形であっても、垂直な補助線を引くことで直角三角形に分けられる場合があります。

そのため、「問題文に直角三角形と書いてあるか」ではなく、「図の中に直角三角形を作れないか」という視点が大切です。

「直角がある」だけで使える情報が増える

直角は90度です。

三角形の3つの角の和は180度なので、直角三角形では残り2つの角の和が必ず90度になります。

たとえば1つの角が35度なら、残りの角は、

90－35＝55度

です。

さらに残りの角が45度と分かれば、もう一方も45度なので、直角二等辺三角形だと分かります。

このように「90度」という情報から、別の角度や辺の関係へ考えを広げられるのが直角三角形の強みです。

公式暗記だけでは入試問題に対応できない

「三角形の面積＝底辺×高さ÷2」はもちろん重要です。

しかし、中学受験で差がつくのは公式を覚えているかではありません。

どの辺を底辺と考えるか、そのとき高さはどこなのかを判断できるかです。

図が斜めになっただけで、高さが見えなくなる子も少なくありません。

家庭で確認するときは、

「公式は何？」

だけでなく、

「この三角形なら、どの2本の辺を使うと面積を求めやすい？」

と聞いてみましょう。

直角三角形の基本をまず整理しよう

難しい図形問題へ進む前に、直角三角形から確実に読み取れる基本情報を整理しておくことが重要です。

直角は90度、残り2つの角の和も90度

直角三角形で最優先に見るのは、直角を示す小さな四角い印です。

直角が1つあれば90度なので、

残り2つの角の和＝180－90＝90度

となります。

たとえば、

90度、30度、□度

なら、

□＝60度

です。

角度問題では、いきなり複雑な計算をするより、まず図の中に90度がないか確認する習慣をつけましょう。

正方形や長方形の角も90度ですから、そこから直角三角形を見つけられることもあります。

直角をはさむ2辺を使って面積を求める

直角三角形では、直角を作っている2辺が互いに垂直です。

そのため、この2辺を「底辺」と「高さ」にすると面積を簡単に求められます。

たとえば直角をはさむ2辺が6cmと8cmなら、

6×8÷2＝24

したがって面積は24cm²です。

ここで大切なのは、「下に描かれている辺が底辺」という思い込みをなくすことです。

図形が回転していても、直角を作る2辺は底辺と高さの関係になります。

三角形を2つ合わせる考え方を覚える

直角三角形は、長方形や正方形の半分として考えると理解しやすくなります。

たとえば縦6cm、横8cmの長方形を対角線で切ると、同じ大きさの直角三角形が2つできます。

長方形の面積は、

6×8＝48cm²

なので、その半分は24cm²です。

この「大きな図形を半分にする」という考え方は、面積比や図形の分割問題にもつながります。

公式だけを暗記するより、「なぜ÷2なのか」まで理解している子のほうが応用問題に強くなります。

中学受験でよく出る直角三角形の問題と解き方

入試では、直角三角形単独よりも、別の図形と組み合わされた形で出題されることが多くなります。

代表的なパターンを押さえておきましょう。

45度があれば直角二等辺三角形を疑う

直角三角形に45度の角が1つあれば、残りの角も、

180－90－45＝45度

です。

したがって45度、45度、90度の三角形になります。

これは直角二等辺三角形です。

2つの45度に向かい合う辺の長さは等しくなります。

たとえば一方が5cmなら、もう一方も5cmです。

中学受験では、辺の長さが直接書かれていなくても、45度を手がかりに「同じ長さ」を発見させる問題がよくあります。

角度を見たら、角度だけで終わらず、辺の関係まで考えることがポイントです。

30度・60度を含む図形は正三角形に注目する

30度、60度、90度の直角三角形も頻出です。

中学数学のように三角比を使う必要はありません。

中学受験では、正三角形を半分にすると30度・60度・90度の直角三角形ができる、という図形的な理解が役立ちます。

正三角形は3つの角がすべて60度です。

頂点から底辺へ垂直な線を引くと、底辺が半分になり、30度・60度・90度の直角三角形が2つできます。

そのため「60度」「二等分」「垂直」といった条件が出てきたら、正三角形との関係を考えてみましょう。

相似な直角三角形を見つけて辺の比を利用する

難関校の図形問題では、大小2つの直角三角形が相似になっているケースがあります。

相似とは、形が同じで大きさだけが違う関係です。

たとえば小さい三角形の対応する辺が、

3cm：4cm

で、大きい三角形の一方が6cmなら、

3→6で2倍

なので、もう一方も、

4×2＝8cm

と分かります。

重要なのは、数字だけを見るのではなく、

「どの角とどの角が同じか」
「どの辺とどの辺が対応するか」

を先に確認することです。

直角同士は対応する可能性が高いため、相似を探す重要な目印になります。

複雑な図形は直角三角形に分けて考える

一見すると難しそうな多角形も、補助線を1本入れることで簡単な直角三角形に分けられることがあります。

特に台形や、階段のような形、正方形の中に斜線が引かれた問題では有効です。

「この図形の面積を一気に求めよう」

とすると難しく感じますが、

「長方形と直角三角形に分けられないか」

と考えると、知っている公式だけで解けるケースがあります。

図形問題が苦手な子ほど、複雑な形をそのまま眺め続ける傾向があります。

「知っている形に分ける」ことを意識させましょう。

直角三角形が苦手な子への家庭での教え方

直角三角形の問題が解けないとき、すぐに解法を説明するより、どの情報に気づけていないのかを確認することが大切です。

長さを求める前に分かっている情報を書き込む

問題を読んだら、計算より先に図へ情報を書き込みます。

たとえば、

90度
45度
同じ長さの印
平行を示す印

などです。

さらに、45度・45度・90度だと分かったら、等しい辺にも自分で印をつけます。

算数が苦手な子の場合、「分かっている情報は頭の中に置いておく」だけでは途中で抜け落ちます。

図そのものをメモ用紙として使う習慣をつけると、考える負担が減ります。

補助線は「直角三角形を作れないか」と考える

補助線が苦手な子に「どこかに線を引いてみて」と言っても、なかなか引けません。

そこで目的を具体的にします。

「ここから垂直に線を引いたら直角三角形ができないかな？」

と考えさせてみてください。

特に台形や正三角形では、頂点から底辺へ垂直な線を引くことで、見慣れた直角三角形が現れることがあります。

補助線はひらめきだけに頼るものではありません。

「直角を作る」「同じ形に分ける」「知っている図形を作る」という目的から逆算すると引きやすくなります。

間違えた問題は答えより「気づけなかった点」を確認する

解き直しでは、正しい答えを書き写すだけでは十分ではありません。

たとえば、

「45度があるのに直角二等辺三角形だと気づかなかった」

「長方形の角が90度だと使えなかった」

「相似な三角形は見えたが対応する辺を間違えた」

というように、止まった原因を具体的にします。

家庭であれば、

「最初に何に気づけば解けたと思う？」

と聞くだけでも効果があります。

「直角を見つける」という視点が身につくと、初見問題でも解法の入口を見つけやすくなります。

まとめ｜直角三角形は「見つける力」が得点につながる

中学受験算数の直角三角形で大切なのは、面積公式を覚えることだけではありません。

まず押さえたい基本は、

直角は90度
残り2つの角の和は90度
直角を作る2辺を使えば面積を求めやすい

という3点です。

さらに入試問題では、

45度があれば直角二等辺三角形
30度・60度があれば正三角形との関係
同じ角があれば相似
複雑な図形なら直角三角形に分割

と考えることで、解法の糸口を見つけやすくなります。

直角三角形が苦手な子に、難しい公式を次々と覚えさせる必要はありません。

まずは問題を見たときに、

「90度はどこ？」
「同じ角はない？」
「直角三角形を作れない？」

と確認する習慣をつけてください。

図形問題では、「計算できるか」より前に「使える形を見つけられるか」が重要です。

直角三角形を図の中から見つけられるようになると、角度・面積・相似など、それまで別々に見えていた問題がつながり始めます。

直角三角形をひとつの公式として覚えるのではなく、図形問題を整理するための「道具」として使えるようになることが、中学受験算数で得点を伸ばす近道です。