中学受験算数の図形・面積問題を攻略するコツ

中学受験算数の図形・面積問題でつまずく理由

この記事では、中学受験算数の図形・面積問題でなぜつまずくのかを整理し、基本的な考え方から補助線、等積変形、面積比まで家庭でも説明できるように解説します。

中学受験算数の中でも、図形の面積問題は苦手意識を持ちやすい分野です。

長方形なら「たて×横」、三角形なら「底辺×高さ÷2」と公式を覚えているのに、入試問題になると急に手が止まることがあります。

その理由は、中学受験の図形問題では公式を知っていることより、どの図形として見るかを判断する力が必要になるからです。

複雑に見える図形でも、基本に戻れば長方形や三角形の組み合わせであることが少なくありません。

まずは「公式を増やす」のではなく、「図をどう見るか」を身につけていきましょう。

公式を覚えていても解けない理由

図形問題が苦手な子に、

「三角形の面積の公式は？」

と聞くと、

「底辺×高さ÷2」

と答えられることは珍しくありません。

それでも問題を解けないのは、どこを底辺にして、どこを高さと見ればよいのか判断できていないからです。

たとえば斜めになった三角形を見ると、「高さは斜めの辺ではないの？」と混乱する子がいます。

高さとは、底辺に対して垂直になっている長さです。

つまり、三角形の向きが変わっても、

底辺と、その底辺に垂直な高さ

を見つければ面積は求められます。

公式を暗記するときも、式だけではなく「どの長さを使う公式なのか」まで理解させることが重要です。

図の中から必要な長さを見つけられない

中学受験の面積問題では、必要な長さがすべて数字で書かれているとは限りません。

たとえば長方形の一部が三角形に分かれている問題では、長方形の反対側の辺が同じ長さであることを使う場合があります。

また、正方形なら、

• 4辺はすべて同じ
• 4つの角は90度

という性質も利用できます。

算数が苦手な子は、問題文に書かれた数字だけを使おうとしがちです。

家庭では、

「この図から、数字が書いてなくても分かる長さはない？」

と問いかけてみてください。

図形の性質から新しい情報を見つけることが、面積問題を解く第一歩になります。

補助線を引く目的が分かっていない

図形問題では「補助線を引けば解ける」とよく言われます。

しかし、苦手な子にとっては「どこに線を引けばいいの？」という状態でしょう。

補助線は、適当に引くものではありません。

目的は、複雑な図形を自分が面積を求められる基本図形に変えることです。

たとえば、

• 長方形にする
• 三角形を作る
• 同じ高さの三角形を見つける
• 左右に分割する

といった目的があります。

子どもが補助線を引いたら、「この線を引くと何ができる？」と確認してください。

線を引く理由まで説明できるようになると、応用問題でも使える力になります。

図形の面積問題で最初に身につけたい基本

基本図形の面積公式を意味ごと理解する

中学受験でまず確実にしておきたいのは、基本図形の面積です。

代表的なものは、

長方形
たて×横

正方形
一辺×一辺

三角形
底辺×高さ÷2

平行四辺形
底辺×高さ

台形
（上底＋下底）×高さ÷2

です。

ここで大切なのは、公式を唱えられるだけで終わらせないことです。

たとえば、平行四辺形の面積が「底辺×高さ」になるのは、端の三角形を反対側へ移すと長方形になるからです。

台形も、同じ台形を上下逆さにして組み合わせると平行四辺形になります。

公式の意味を図で理解している子は、公式を忘れても自分で考え直せます。

「全体から引く」と「分けて足す」を使い分ける

複雑な図形の面積を求める基本的な方法は、大きく2つあります。

1つ目は、

大きな図形の面積－不要な部分

です。

たとえば、長方形の中に三角形が切り取られているなら、

長方形の面積－三角形の面積

で求められます。

2つ目は、

いくつかの基本図形に分けて足す

方法です。

L字型の図形なら、長方形を2つに分けて、

長方形A＋長方形B

と求められます。

どちらを使えばよいか迷ったときは、

「引くほうが計算が少ない？」
「分けるほうが簡単？」

と考えさせるとよいでしょう。

図形問題では、同じ答えに複数の解き方があることも珍しくありません。

高さが同じ三角形は底辺に注目する

中学受験で特に重要なのが、同じ高さを持つ三角形です。

たとえば、底辺が3cmと6cmで、高さが同じ2つの三角形があるとします。

面積は、

3×高さ÷2

と

6×高さ÷2

なので、面積の比は、

3：6＝1：2

になります。

つまり、高さが同じ三角形では、面積の比は底辺の比と同じです。

この考え方は、面積比や相似、複雑な図形問題で頻繁に使われます。

面積を毎回実際に計算しなくても、辺の長さだけで比を出せるようになると、解ける問題が一気に増えます。

中学受験で頻出の面積問題の解き方

等積変形は「底辺と高さ」を見る

等積変形とは、形を変えても面積が同じになる性質を利用する考え方です。

言葉だけ聞くと難しく感じますが、ポイントは単純です。

三角形の面積は、

底辺×高さ÷2

なので、底辺と高さが同じなら形が傾いていても面積は同じです。

たとえば、同じ底辺を持ち、頂点が底辺と平行な直線上を動く三角形を考えます。

頂点の位置が横にずれても高さは変わりません。

したがって面積も変わりません。

等積変形が苦手な子には、「形を見る」のではなく、

「底辺は同じ？」
「高さは同じ？」

の2点を確認させると理解しやすくなります。

面積比は辺の比との関係を押さえる

面積比では、すぐに面積を計算しようとしないことがポイントです。

たとえば、同じ高さの三角形AとBで、底辺の比が2：3なら、

面積比も2：3

です。

また、相似な図形で辺の長さの比が2：3なら、面積比は、

2×2：3×3
＝4：9

となります。

ここは中学受験算数で非常に間違いやすいところです。

辺の比が2：3だから面積も2：3、としてはいけません。

相似な図形の面積比は、辺の比を2乗する

という関係を、具体的な正方形で確認すると理解しやすくなります。

一辺2cmの正方形の面積は4cm²、一辺3cmなら9cm²です。

実際に数字で確かめることで、「なぜ2乗するのか」が納得できます。

複合図形は知っている形に分解する

円、三角形、長方形などが組み合わさった複合図形は、一見すると難しく見えます。

しかし、中学受験の面積問題の多くは、

「知っている図形に分解できないか」

と考えることで整理できます。

たとえば正方形の中に4分の1円がある問題なら、

正方形－4分の1円

と考えます。

また、複雑な多角形なら、

「ここに線を引けば三角形が2つになる」

というように分割します。

図を見た瞬間に式を作ろうとするのではなく、

何の形に変えれば自分は面積を求められるか

を考える習慣をつけましょう。

これが図形問題で最も重要な「見方」です。

家庭でできる図形・面積問題の練習法

補助線を書き込む練習をする

図形問題は、眺めるだけでは上達しにくい分野です。

家庭学習では、問題用紙やコピーした図にどんどん書き込ませてください。

たとえば、

• 同じ長さに印をつける
• 平行な辺に印をつける
• 高さを書き入れる
• 補助線を引く
• 分かった角度を書き込む

などです。

きれいに解く必要はありません。

むしろ、図が少し汚れるくらい情報を書き込むほうが、考えやすくなります。

図形が苦手な子ほど、頭の中だけで考えようとする傾向があります。

「分かったことは全部図に書こう」と伝えてみてください。

答えより「なぜその線を引いたか」を説明させる

図形問題を解き終わったら、答え合わせだけで終わらせないようにしましょう。

おすすめなのは、

「どうしてここに線を引いたの？」

と聞くことです。

子どもが、

「長方形にしたかったから」
「高さが同じ三角形を作りたかったから」
「全体から引けるようにしたかったから」

と答えられれば、解法を理解しています。

一方、

「解説にそう書いてあったから」

であれば、まだ自分の考え方になっていません。

答えを再現できることより、補助線の目的を説明できることのほうが応用力につながります。

同じ考え方の問題を3回に分けて復習する

図形問題は、一度解説を読んだだけでは定着しにくい単元です。

おすすめは、

その日
→2～3日後
→1週間後

と時間を空けて解き直すことです。

ただし、まったく同じ問題だけでなく、2回目以降は数字や図の向きが少し違う類題も入れると効果的です。

たとえば「全体から三角形を引く問題」ができたら、次は図の向きが変わった問題を解かせます。

そこで同じ考え方を使えれば、本当に理解できていると判断できます。

図形は「問題の形を覚える」のではなく、形が変わっても同じ考え方を見つけられる状態を目指しましょう。

まとめ｜図形の面積問題は公式より「見方」を身につけよう

中学受験算数の図形・面積問題では、公式を暗記するだけでは十分ではありません。

大切なのは、

• 基本図形の面積公式を意味まで理解する
• 図形の性質から必要な長さを見つける
• 全体から引くか、分けて足すかを考える
• 高さが同じ三角形では底辺と面積の比に注目する
• 等積変形では底辺と高さを見る
• 相似な図形では辺の比と面積比の違いを理解する
• 補助線を引く目的を説明できるようにする

という力です。

図形が苦手な子を見ると、「もっと公式を覚えさせなければ」と考えがちですが、実際には公式不足よりも、図を整理する経験が足りないケースが少なくありません。

家庭では、答えをすぐ教えるより、

「何の形なら面積を求められそう？」
「同じ高さの三角形はない？」
「全体から引けないかな？」

と問いかけてみてください。

最初は補助線一本を引くのにも時間がかかるかもしれません。

しかし、自分で図を書き、知っている形へ変える経験を重ねることで、複雑な中学受験の面積問題も少しずつ整理して見られるようになります。

図形問題で本当に伸ばしたいのは、答えを覚える力ではなく、複雑な図の中から解ける形を見つける力です。

その「見方」が身につけば、面積問題は苦手分野から得点源へ変えていけます。