中学受験算数の断面図を攻略｜立体の切り方とコツ

中学受験算数の断面図が難しく感じる理由

この記事では、中学受験算数の断面図でつまずく理由から、立方体や直方体を切るときの基本ルール、典型問題の考え方、家庭での練習方法まで順を追って解説します。

断面図とは、立体を1つの平面で切ったときに現れる切り口の形です。

たとえば食パンを包丁で切れば、切った面に長方形や正方形のような形が現れます。この「切り口」が断面です。

中学受験では、立方体や直方体の辺上にある3点を通るように切ったとき、

「断面は何角形になるか」
「どの辺を通るか」
「断面の面積はいくらか」

などが問われます。

立体を頭の中だけで切ろうとすると混乱しやすい

断面図が苦手な子は、図を見た瞬間に頭の中で立体を切ろうとします。

しかし紙に描かれた立体は二次元です。

実際には奥にある辺もあり、見えていない面もあります。

そのため、

「この線は表側？」
「次はどの辺に出てくるの？」

と分からなくなります。

断面問題では、立体全体を一度に想像する必要はありません。

1つの面ずつ切り口を追うことが基本です。

見えている点だけを結ぶと間違えやすい

たとえば立方体の3本の辺上に点P・Q・Rがあるとします。

子どもはP、Q、Rをそのまま三角形のように結びたくなります。

しかしPとQが同じ面上にあっても、QとRが同じ面上とは限りません。

立体では、

「同じ面にある2点なら結べる」

というルールが重要です。

見た目が近いから結ぶのではなく、その2点が同じ面にあるかどうかを確認します。

断面の形を先に決めようとすると迷いやすい

「これは六角形になりそう」

と最初に形を予想すると、無理にその形へ合わせて線を引いてしまうことがあります。

断面は、結果として三角形や四角形、六角形になります。

最初から形を決めるのではなく、

1つ目の面で線を引く
↓
その線が次の辺に到達する
↓
隣の面へ移る

という順番で追いましょう。

断面図の基本｜立体を切るときの3つのルール

断面問題には、覚えておくと考えやすくなる基本があります。

特に重要なのは次の3つです。

同じ面上の2点は直線で結ぶ

まず最重要ルールです。

同じ平面上にある2点を切断面が通るなら、その2点を直線で結びます。

たとえば立方体の前面に点PとQがあれば、

P――Q

と結びます。

この線が、その面に現れる切り口です。

次に、その線の端から隣の面へ切り口をつないでいきます。

断面図では、立体全体より先に「どの面に2点あるか」を探すことがポイントです。

切る平面は立体の内部でもつながっている

断面は、バラバラの線ではありません。

立体を1枚の平面で切っているので、切り口はぐるっと一周して閉じた図形になります。

途中で線が1本だけ止まっている場合は、まだ断面が完成していません。

たとえば、

P→Q→S→T→P

のように、最後は出発点へ戻ります。

この「閉じる」感覚を持つだけでも、線の引き忘れを減らせます。

向かい合う平行な面では切り口も平行になる

立方体や直方体では、向かい合う面どうしが平行です。

1つの平面でこれらを切ると、それぞれの面にできる切り口も平行になります。

たとえば前面で切り口が斜め右上がりなら、後ろの平行な面にも同じ向きの線が現れます。

この性質は、3点しか分かっていないときに4点目、5点目を見つける手掛かりになります。

断面図では非常によく使う考え方です。

中学受験でよく出る断面図の考え方

中学受験では、立方体や直方体の3点を通る平面で切断する問題が中心です。

典型的な考え方を押さえておきましょう。

3点を通る切断面はまず同じ面の点から結ぶ

空間内で一直線上にない3点が決まると、その3点を通る平面は1つに決まります。

ただし小学生がこの性質を難しく覚える必要はありません。

問題ではまず、

「3点のうち、同じ面にある2点はどれか」

を探します。

たとえばPとQが前面、QとRが右側面にあるなら、

前面でPとQを結ぶ
右側面でQとRを結ぶ

ところから始めます。

すると切断面の方向が少しずつ見えてきます。

立方体の断面は三角形・四角形・六角形などになる

立方体を1つの平面で切ると、断面は多角形になります。

よく現れるのは、

三角形
四角形
五角形
六角形

などです。

たとえば、1つの頂点から出る3本の辺をそれぞれ切るような平面なら、断面は三角形になります。

一方、立方体の6つの面すべてを通るように切れば六角形になることもあります。

ただし、形を暗記するだけでは不十分です。

「何面を通ったか」を確認すると、断面の辺の本数も分かります。

6つの面を通れば、基本的には断面は6辺を持つ図形になります。

辺の中点を通る問題は対称性に注目する

中学受験では、

「辺ABの中点P」
「辺CDの中点Q」

のように、中点が指定される問題も多くあります。

中点が複数出てくる場合、立方体の対称性を利用できることがあります。

たとえば対応する辺の中点どうしを結ぶことで、断面が正三角形や正六角形のような対称的な形になる場合があります。

ただし、見た目だけで「正六角形だ」と判断するのは危険です。

辺の長さや角度が本当に等しいかは、必要に応じて別に確認しましょう。

断面の面積は平面図形として考える

断面が完成した後は、その断面を1つの平面図形として考えます。

たとえば断面が長方形なら、

たて×よこ

で面積を求めます。

三角形なら、

底辺×高さ÷2

です。

難しいのは、断面上の辺の長さを立体の辺や面から求める部分です。

たとえば一辺6cmの立方体で、ある面の対角線が断面の辺になっているなら、その長さは正方形の対角線として考えます。

中学受験では三平方の定理を使わず、同じ長さの関係や面積比などを利用して求める問題もあります。

重要なのは、

断面を作る作業と、断面の面積を求める作業を分けること

です。

断面図が苦手な子に家庭でできる勉強法

断面図は、紙の問題だけを繰り返すより、立体を実際に触ったほうが理解しやすい単元です。

立方体の箱や消しゴムを使って実物で確認する

家庭で最も効果的なのは、立方体に近い物を使うことです。

たとえば、

立方体型の箱
発泡スチロール
粘土
大きめの消しゴム

などを使います。

実際に切らなくても、輪ゴムや紙を立体に当てて、

「この平面で切ったら、どの面を通る？」

と確認できます。

可能なら粘土やスポンジを安全に切り、断面を直接見ると理解が深まります。

立体図形が苦手な子は、「頭の中で想像できない」のではなく、そもそも実物経験が少ないこともあります。

頂点と辺に記号をつけて順番に追う

断面図では記号を付けるだけで混乱が減ります。

立方体の頂点を、

A、B、C、D
E、F、G、H

などと決めます。

問題に点P、Q、Rが出たら、

Pは辺AB上
Qは辺BF上
Rは辺FG上

のように整理します。

「PとQは同じ面にある」

と文章で確認しながら線を引くと、勘で結ぶことが減ります。

最初は断面の形だけを当てる練習から始める

断面問題が苦手なのに、いきなり面積まで求める問題を解かせると負担が大きくなります。

最初は、

「三角形か四角形か」
「何面を通るか」

だけを答える練習で十分です。

たとえば1日3題、

今日は断面の形だけ
翌日は切り口を描く
その次に長さや面積

という順番で進めます。

断面を正しく描けるようになってから、計算へ進むほうが定着します。

間違えた問題は「どの面で切り口を失ったか」を見る

断面図で間違えたときに、

「もう一度全部やり直そう」

だけでは改善しにくいものです。

途中まで合っていることも多いからです。

確認したいのは、

前面までは合っていた
右側面で違う辺につないだ
後ろの面へ移れなかった

など、どの時点で切り口を見失ったかです。

断面問題では、答えよりも切り口を追った経路を確認することが復習のポイントです。

まとめ｜断面図は立体を面ごとに追えば解ける

中学受験算数の断面図は、立体を頭の中だけで一気に切ろうとすると難しく感じます。

しかし基本はシンプルです。

同じ面にある2点を結ぶ
切り口を隣の面へつなぐ
平行な面では切り口も平行になる
最後は閉じた図形にする

この順番で追えば、断面の形が少しずつ見えてきます。

特に大切なのは、最初から「三角形」「六角形」などと形を決めないことです。

1つの面ずつ確認し、その結果として断面の形を完成させましょう。

家庭では、立方体型の箱や消しゴム、粘土などを使って、

「ここからここへ切ったら、次はどの面に出る？」

と実物を見ながら考えるのがおすすめです。

断面図は、特別な空間認識力がある子だけが解ける単元ではありません。

立体を面ごとに分け、切り口を順番に追う習慣が身につけば、苦手な子でも安定して解けるようになります。

まずは断面の形を正しく描けることを目標にし、その後に辺の長さや面積へ進みましょう。