中学受験算数の面積比問題｜解き方と頻出パターン

中学受験算数の面積比問題は「高さ」に注目すると分かりやすい

この記事では、そんな悩みに対して、中学受験算数の面積比問題で何を見るべきか、典型問題の解き方から家庭での練習法まで順を追って解説します。

面積比は、中学受験算数の図形問題で非常によく使われる考え方です。

単独で「面積比を求めなさい」と出題されるだけでなく、相似、比、補助線、図形の移動などと組み合わされることも少なくありません。

そのため、「公式を覚えたのに解けない」という状態になりやすい単元でもあります。

ただし、面積比には見る順番があります。

特に重要なのは、いきなり面積を計算するのではなく、

「高さが同じか」
「底辺が同じか」
「相似な図形があるか」

の順番で図を見ることです。

この見方が身につくと、複雑に見える問題でも式を立てやすくなります。

面積比を苦手とする子の多くは、図形を見るとすぐに「面積を計算しよう」とします。

しかし、中学受験の面積比問題では、実際の面積を求めなくても答えられる問題が多くあります。

最初に覚えたいのが、三角形の面積

「底辺×高さ÷2」

です。

この式から考えると、面積比の基本が見えてきます。

三角形は高さが同じなら面積比＝底辺の比

たとえば、三角形ABCの辺BC上に点Dがあるとします。

三角形ABDと三角形ADCを比べてみましょう。

この2つの三角形は、AからBCに下ろした高さが共通です。

そのため、

BD：DC＝2：3

なら、

三角形ABD：三角形ADC＝2：3

となります。

面積そのものを求める必要はありません。

高さが共通なので、底辺の長さだけを比べればよいのです。

これは面積比問題の最重要基本です。

お子さんに教えるときは、

「高さが同じだから、底辺が2倍なら面積も2倍になるね」

と説明すると理解しやすくなります。

底辺が同じなら面積比＝高さの比

反対に、底辺が同じ三角形では、高さの比がそのまま面積比になります。

たとえば、三角形ABCと三角形DBCがあり、どちらも底辺BCを使っているとします。

AからBCまでの高さが6cm、DからBCまでの高さが4cmなら、

三角形ABC：三角形DBC
＝6：4
＝3：2

です。

面積比では、

「同じ高さ」
「同じ底辺」

のどちらかを見つけられるかが第一段階です。

まず「同じ高さ・同じ底辺」を探す習慣をつける

問題演習では、答えを出す前に図へ印をつける習慣をおすすめします。

たとえば、

・共通の底辺に下線を引く
・高さが共通の三角形を同じ記号で囲む
・分かっている辺の比を書き込む

といった作業です。

図形問題が苦手な子ほど、頭の中だけで処理しようとします。

しかし、面積比は「図に情報を書き込む力」が得点に直結する単元です。

中学受験で頻出の面積比問題3パターン

中学受験の面積比問題には、繰り返し出題される典型パターンがあります。

初めから難問ばかり解くよりも、まず代表的な型を理解するほうが効果的です。

パターン1｜三角形を線で分けた面積比

最も基本的なのが、三角形の辺上に点を取り、線で分割する問題です。

たとえば三角形ABCで、辺BCを

BD：DC＝3：2

に分ける点Dを取ります。

AとDを結んだとき、

三角形ABD：三角形ADC＝3：2

です。

理由は、2つの三角形の高さが同じだからです。

ここで大切なのは、

「3：2という数字を覚える」

ことではなく、

「高さが共通だから底辺比がそのまま面積比になる」

と説明できることです。

入試では図の向きや記号が変わるため、理由まで理解していなければ応用が利きません。

パターン2｜相似と面積比を組み合わせる問題

次に重要なのが相似です。

相似な図形では、

辺の比が2：3なら、
面積比は4：9

になります。

つまり、

面積比＝辺の比×辺の比

です。

辺の比が3：5なら、

面積比＝9：25

となります。

ここは非常に間違えやすいポイントです。

子どもが

「辺が2：3だから面積も2：3」

としてしまうことがあります。

そんなときは、正方形を例にすると分かりやすくなります。

一辺2cmの正方形の面積は4cm²。

一辺3cmの正方形の面積は9cm²。

したがって、

辺の比2：3に対して面積比は4：9

です。

目で確認できる例を使うと、丸暗記になりにくくなります。

パターン3｜面積比から辺の比を逆算する問題

中学受験では逆向きの問題も出ます。

たとえば、

相似な2つの三角形の面積比が9：16

なら、対応する辺の比は

3：4

です。

なぜなら、

3×3＝9
4×4＝16

だからです。

面積比から辺の比を求める問題では、

9：16 → 3：4
25：49 → 5：7
4：25 → 2：5

のような数字がよく使われます。

ここは計算というより、「平方数」に慣れているかどうかが大切です。

2×2＝4、3×3＝9、4×4＝16、5×5＝25くらいまでは、すぐに出せるようにしておくと有利です。

面積比問題が苦手になる3つの原因

面積比で点数が伸びない場合、単に演習量が足りないとは限りません。

どこで考え方が止まっているのかを確認する必要があります。

公式だけ覚えて図を見ていない

「高さが同じなら底辺比＝面積比」

というルールを覚えていても、図の中で高さが共通の三角形を見つけられなければ使えません。

そのため、家庭学習では答えだけでなく、

「どの2つの三角形を比べたの？」

と聞いてみてください。

図を指さしながら説明できれば、理解できている可能性が高いです。

逆に説明できない場合は、公式だけを機械的に使っていることがあります。

辺の比と面積比を混同している

特に相似では、

辺の比2：3
面積比4：9

という違いを混同しやすくなります。

ここは、

長さは1回比べる
面積は縦と横の2方向を比べる

と説明すると分かりやすいでしょう。

最初のうちは、

辺の比 → 面積比

の間に

2：3
↓
2×2：3×3
↓
4：9

と途中式を書かせるのがおすすめです。

補助線や書き込みが少ない

難しい面積比問題ほど、最初から答えにつながる比が書かれているとは限りません。

「ここにも同じ高さの三角形がある」
「この2つは相似」
「全体を5と考えられる」

といった情報を自分で見つける必要があります。

そのため、図をきれいなまま使おうとする子ほど苦戦することがあります。

図形問題では、むしろ積極的に数字や比を書き込むことが大切です。

家庭でできる面積比問題の教え方と練習法

面積比が苦手な子に対して、いきなり難関校レベルの問題を何問も解かせる必要はありません。

基本原理を実感できる練習から始めるほうが効果的です。

最初は面積を実際に計算して比べる

面積比の意味が分からない段階では、あえて実際の面積を計算してみましょう。

たとえば高さ4cmで、

底辺3cmの三角形
底辺6cmの三角形

を考えます。

面積はそれぞれ、

3×4÷2＝6
6×4÷2＝12

です。

したがって、

面積比は6：12＝1：2

となります。

底辺も3：6＝1：2です。

このように数字で確認すると、

「高さが同じなら底辺の比と面積比が同じ」

という仕組みを実感できます。

「なぜその比になる？」を言葉で説明させる

家庭学習で特に効果的なのは、子どもに説明してもらうことです。

正解した問題でも、

「どうして3：2になったの？」

と聞いてみてください。

「高さが同じだから底辺の比と同じ」

と答えられれば、理解が定着しています。

逆に、

「先生がそう言っていたから」
「公式だから」

という答えなら、まだ理解が浅い可能性があります。

保護者が長く説明するよりも、子ども自身に30秒程度説明させるほうが理解度を確認しやすくなります。

1日3問でも同じ型を繰り返す

面積比は、一度解き方を理解しただけでは定着しにくい単元です。

ただし、大量演習をする必要はありません。

たとえば、

1問目：同じ高さ
2問目：同じ底辺
3問目：相似と面積比

というように、1日3問程度を繰り返す方法でも十分です。

特に間違えた問題は、その日のうちだけでなく、2～3日後にもう一度解かせましょう。

その際、答えを覚えているかではなく、

「最初にどこを見る？」

と確認することがポイントです。

「同じ高さか同じ底辺を探す」

と答えられるようになれば、考える順番が身についてきています。

まとめ｜面積比問題は図形を見る順番を身につければ伸ばせる

中学受験算数の面積比問題は、一見すると複雑ですが、基本となる考え方はそれほど多くありません。

まず覚えたいのは、

高さが同じなら面積比＝底辺の比
底辺が同じなら面積比＝高さの比
相似なら面積比＝辺の比の2乗

という3つです。

ただし、本当に大切なのは公式を暗記することではありません。

問題を見たときに、

「同じ高さはある？」
「同じ底辺はある？」
「相似な図形はある？」

と順番に確認できることです。

面積比が苦手な子ほど、いきなり答えを求めようとしてしまいます。

家庭では「答えは何？」と聞くより、

「最初にどこを見た？」

と問いかけてみてください。

見る順番が身につけば、面積比だけでなく、相似や比を使った図形問題全体にも強くなっていきます。